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Konkrete Kategorie Eine konkrete Kategorie ist in der Mathematik eine Kategorie zusammen mit einem treuen Funktor von ih

Konkrete Kategorie

Eine konkrete Kategorie ist in der Mathematik eine Kategorie zusammen mit einem treuen Funktor von ihr in die Kategorie der Mengen. Dieser Funktor heißt Vergissfunktor. Eine Kategorie, zu der solch ein Vergissfunktor existiert, heißt konkretisierbare Kategorie. Vermöge dieses Vergissfunktors kann man sich die Objekte der an sich abstrakten Kategorie auch als Mengen mit einer zusätzlichen mathematischen Struktur vorstellen, wobei die Morphismen genau die mit dieser Struktur verträglichen Abbildungen zwischen den entsprechenden Mengen sind.

Motivation Bearbeiten

Viele wichtige Kategorien sind ohnehin in folgender Form gegeben:

  • Objekte haben eine zugrunde liegende Menge bzw. sind Mengen mit zusätzlichen Strukturen,
  • Morphismen sind mit der Zusatzstruktur verträgliche Abbildungen zwischen diesen Mengen,
  • die Komposition von Morphismen ist einfach das Hintereinanderausführen von Abbildungen,
  • der Identitätsmorphismus eines Objekts ist durch die identische Abbildung gegeben.

Durch den offensichtlichen Funktor in die Kategorie der Mengen sind solche Kategorien konkretisierbar. Dies ist insbesondere der Fall für die Kategorie Top der topologischen Räume (mit stetigen Abbildungen als Morphismen), für die Kategorie Grp der Gruppen und trivialerweise auch für die Kategorie Set der Mengen selbst. Wenn man auf diese Weise von Elementen eines Objektes sprechen kann, ermöglicht dies beispielsweise einfache und anschauliche Definitionen von Begriffen wie Kern und Bild eines Morphismus und das Beweisverfahren der Diagrammjagd. Eine wichtige Aussage in dieser Richtung liefert etwa der Einbettungssatz von Mitchell.

Definition Bearbeiten

Sei eine Kategorie, die sogenannte Basiskategorie. Eine konkrete Kategorie über ist ein Paar aus einer Kategorie und einem treuen Funktor in die Basiskategorie. Eine Kategorie heißt über konkretisierbar, wenn es eine über konkrete Kategorie , d. h. einen treuen Funktor gibt.

Falls die Kategorie Set der Mengen und Abbildungen ist, heißt auch schlicht konkrete Kategorie und konkretisierbar. Einige Autoren bezeichnen eine konkrete Kategorie auch als Konstrukt.

Der Funktor wird auch als Vergissfunktor bezeichnet, der jedem Objekt von sein zugrunde liegendes -Objekt (bzw. zugrunde liegende Menge) und jedem Morphismus in seinen zugrunde liegenden -Morphismus (bzw. zugrunde liegende Abbildung) zuordnet.

Bemerkungen Bearbeiten

  • Die Untersuchung relativer Konkretheit (d. h. mit einer anderen Basiskategorie als ) ist insbesondere in der Theorie der Topoi üblich und man kann beispielsweise Modelle einer Theorie mit Sorten als Objekte einer konkreten Kategorie über ansehen. Nachfolgend wird jedoch durchweg als Basiskategorie betrachtet.
  • Anders als man per Intuition vermuten mag, ist Konkretheit keine Eigenschaft, die einer Kategorie entweder zukommt oder nicht. Vielmehr kann ein und dieselbe Kategorie durchaus mehrere verschiedene treue Funktoren nach haben und somit verschiedene konkrete Kategorien zu einer gegebenen Kategorie existieren. In der Praxis ist jedoch meist klar, welcher Vergissfunktor gemeint ist, und man spricht dann verkürzt von der „konkreten Kategorie “. Beispielsweise ist „die konkrete Kategorie “ genau genommen die konkrete Kategorie , wobei der Identitätsfunktor ist.
  • Die Voraussetzung, dass treu ist, bedeutet, dass verschiedenen Morphismen zwischen zwei gegebenen Objekten verschiedene Abbildungen zuordnet. Es kann jedoch durchaus sein, dass verschiedenen Objekten die gleiche Menge zuordnet. In dem Fall ordnet durchaus verschiedenen Morphismen (mit verschiedenen Quellen und/oder Zielen) dieselbe Abbildung zu. Als Beispiel denke man bei topologischen Räumen an dieselbe Menge, die einmal mit der Klumpentopologie, einmal mit der diskreten Topologie versehen ist.

Beispiele Bearbeiten

  • Jede kleine Kategorie ist konkretisierbar: Für ein Objekt sei zunächst die Menge aller Morphismen nach . Für einen Morphismus kann man die Abbildung durch definieren. Dass auf diese Weise ein treuer Funktor U: C → Set definiert wird, lässt sich unmittelbar verifizieren.
  • Ist eine Gruppe, so kann man hierzu eine Kategorie C mit nur einem einzigen Objekt und definieren. Operiert treu auf einer Menge , so ist (C,U) mit dem durch und gegebenen Funktor eine konkrete Kategorie.
  • Eine teilgeordnete Menge lässt sich als Kategorie auffassen, deren Objekte die Elemente von sind und mit einem Pfeil genau dann, wenn . Indem man definiert und jedem Pfeil die identische Abbildung auf zuordnet, erhält man eine konkrete Kategorie.
  • Zusammen mit dem kontravarianten Potenzmengenfunktor Setop → Set, der jeder Menge die Potenzmenge und jeder Abbildung die Abbildung , zuordnet, wird Setop zu einer konkreten Kategorie.
  • Aus dem vorstehenden Beispiel folgt, dass die duale Kategorie zu einer konkretisierbaren Kategorie ebenfalls konkretisierbar ist: Mit ist auch konkret.
  • Bei der Kategorie Ban der Banachräume und linearen Kontraktionen benutzt man meist nicht den „offensichtlichen“ Vergissfunktor, sondern ordnet einem Raum nur seine (abgeschlossene) Einheitskugel zu, um aus diesem eine Rechtsadjunktion zu machen.

Gegenbeispiele Bearbeiten

  • Die Homotopie-Kategorie hTop, deren Objekte topologische Räume und deren Morphismen die Homotopieklassen stetiger Abbildungen sind, ist eine nicht konkretisierbare Kategorie. Zwar sind die Objekte bereits Mengen (mit einer Zusatzstruktur), aber die Morphismen sind eben keine Abbildungen zwischen diesen, sondern Äquivalenzklassen solcher Abbildungen. Der erste Beweis, dass dieser Mangel nicht behebbar ist, dass es also überhaupt keinen treuen Funktor von hTop nach Set gibt, stammt von Peter Freyd.
  • Die Kategorie der kleinen Kategorien mit natürlichen Äquivalenzklassen von Funktoren als Morphismen ist ebenfalls nicht konkretisierbar.

Literatur Bearbeiten

  • Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. John Wiley & Sons, New York 1990, ISBN 0-471-60922-6 (englisch, katmat.math.uni-bremen.de [PDF; abgerufen am 12. Oktober 2010]).
  • Jiří Rosický: Concrete categories and infinitary languages. In: Journal of Pure and Applied Algebra. Band 22, Nr. 3, 1981, S. 309–339, doi:10.1016/0022-4049(81)90105-5 (englisch).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Saunders MacLane, Garrett Birkhoff: Algebra. 3. Auflage. AMS, Chelsea 1999, ISBN 978-0-8218-1646-2 (englisch).
  2. Peter Freyd: Homotopy is not concrete. In: Franklin Peterson (Hrsg.): The Steenrod Algebra and its Applications: A conference to celebrate N. E. Steenrod’s 60th birthday (= Springer Lecture Notes in Mathematics. Nr. 168). Springer, 1970, ISBN 3-540-05300-X (englisch, Reprints in Theory and Applications of Categories. [abgerufen am 11. Oktober 2010]).
  3. Peter Freyd: On the concreteness of certain categories. In: Symposia Mathematica. Band IV. Academic Press, London 1970, S. 431–456 (englisch).

Adámek, Herrlich, Strecker: Abstract and Concrete Categories: the joy of cats.

  1. S. 61
  2. vgl. S. 63
  3. S. 62, (4)
  4. S. 62, (3)
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Eine konkrete Kategorie ist in der Mathematik eine Kategorie zusammen mit einem treuen Funktor von ihr in die Kategorie der Mengen Dieser Funktor heisst Vergissfunktor Eine Kategorie zu der solch ein Vergissfunktor existiert heisst konkretisierbare Kategorie Vermoge dieses Vergissfunktors kann man sich die Objekte der an sich abstrakten Kategorie auch als Mengen mit einer zusatzlichen mathematischen Struktur vorstellen wobei die Morphismen genau die mit dieser Struktur vertraglichen Abbildungen zwischen den entsprechenden Mengen sind Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Definition 3 Bemerkungen 4 Beispiele 5 Gegenbeispiele 6 Literatur 7 EinzelnachweiseMotivation BearbeitenViele wichtige Kategorien sind ohnehin in folgender Form gegeben 1 Objekte haben eine zugrunde liegende Menge bzw sind Mengen mit zusatzlichen Strukturen Morphismen sind mit der Zusatzstruktur vertragliche Abbildungen zwischen diesen Mengen die Komposition von Morphismen ist einfach das Hintereinanderausfuhren von Abbildungen der Identitatsmorphismus eines Objekts ist durch die identische Abbildung gegeben Durch den offensichtlichen Funktor in die Kategorie der Mengen sind solche Kategorien konkretisierbar Dies ist insbesondere der Fall fur die Kategorie Top der topologischen Raume mit stetigen Abbildungen als Morphismen fur die Kategorie Grp der Gruppen und trivialerweise auch fur die Kategorie Set der Mengen selbst Wenn man auf diese Weise von Elementen eines Objektes sprechen kann ermoglicht dies beispielsweise einfache und anschauliche Definitionen von Begriffen wie Kern und Bild eines Morphismus und das Beweisverfahren der Diagrammjagd Eine wichtige Aussage in dieser Richtung liefert etwa der Einbettungssatz von Mitchell Definition BearbeitenSei X displaystyle X nbsp eine Kategorie die sogenannte Basiskategorie Eine konkrete Kategorie uber X displaystyle X nbsp ist ein Paar C U displaystyle C U nbsp aus einer Kategorie C displaystyle C nbsp und einem treuen Funktor U C X displaystyle U colon C to X nbsp in die Basiskategorie Eine Kategorie C displaystyle C nbsp heisst uber X displaystyle X nbsp konkretisierbar wenn es eine uber X displaystyle X nbsp konkrete Kategorie C U displaystyle C U nbsp d h einen treuen Funktor U C X displaystyle U colon C to X nbsp gibt Falls X displaystyle X nbsp die Kategorie Set der Mengen und Abbildungen ist heisst C U displaystyle C U nbsp auch schlicht konkrete Kategorie und C displaystyle C nbsp konkretisierbar Einige Autoren bezeichnen eine konkrete Kategorie auch als Konstrukt Der Funktor U displaystyle U nbsp wird auch als Vergissfunktor bezeichnet der jedem Objekt von C displaystyle C nbsp sein zugrunde liegendes X displaystyle X nbsp Objekt bzw zugrunde liegende Menge und jedem Morphismus in C displaystyle C nbsp seinen zugrunde liegenden X displaystyle X nbsp Morphismus bzw zugrunde liegende Abbildung zuordnet acc 1 Bemerkungen BearbeitenDie Untersuchung relativer Konkretheit d h mit einer anderen Basiskategorie als S e t displaystyle mathbf Set nbsp ist insbesondere in der Theorie der Topoi ublich und man kann beispielsweise Modelle einer Theorie mit N displaystyle N nbsp Sorten als Objekte einer konkreten Kategorie uber S e t N displaystyle mathbf Set N nbsp ansehen Nachfolgend wird jedoch durchweg S e t displaystyle mathbf Set nbsp als Basiskategorie betrachtet Anders als man per Intuition vermuten mag ist Konkretheit keine Eigenschaft die einer Kategorie entweder zukommt oder nicht Vielmehr kann ein und dieselbe Kategorie durchaus mehrere verschiedene treue Funktoren nach S e t displaystyle mathbf Set nbsp haben und somit verschiedene konkrete Kategorien C U displaystyle C U nbsp zu einer gegebenen Kategorie C displaystyle C nbsp existieren In der Praxis ist jedoch meist klar welcher Vergissfunktor gemeint ist und man spricht dann verkurzt von der konkreten Kategorie C displaystyle C nbsp Beispielsweise ist die konkrete Kategorie S e t displaystyle mathbf Set nbsp genau genommen die konkrete Kategorie S e t I displaystyle mathbf Set I nbsp wobei I S e t S e t displaystyle I colon mathbf Set to mathbf Set nbsp der Identitatsfunktor ist Die Voraussetzung dass U displaystyle U nbsp treu ist bedeutet dass U displaystyle U nbsp verschiedenen Morphismen zwischen zwei gegebenen Objekten verschiedene Abbildungen zuordnet Es kann jedoch durchaus sein dass U displaystyle U nbsp verschiedenen Objekten die gleiche Menge zuordnet In dem Fall ordnet U displaystyle U nbsp durchaus verschiedenen Morphismen mit verschiedenen Quellen und oder Zielen dieselbe Abbildung zu acc 2 Als Beispiel denke man bei topologischen Raumen an dieselbe Menge die einmal mit der Klumpentopologie einmal mit der diskreten Topologie versehen ist Beispiele BearbeitenJede kleine Kategorie ist konkretisierbar Fur ein Objekt X Ob C displaystyle X in operatorname Ob C nbsp sei zunachst U X displaystyle U X nbsp die Menge aller Morphismen nach X displaystyle X nbsp Fur einen Morphismus f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp kann man die Abbildung U f U X U Y displaystyle U f colon U X to U Y nbsp durch g f g displaystyle g mapsto f circ g nbsp definieren Dass auf diese Weise ein treuer Funktor U C Set definiert wird lasst sich unmittelbar verifizieren Ist G displaystyle G nbsp eine Gruppe so kann man hierzu eine Kategorie C mit nur einem einzigen Objekt displaystyle ast nbsp und Mor G displaystyle operatorname Mor ast ast G nbsp definieren Operiert G displaystyle G nbsp treu auf einer Menge M displaystyle M nbsp so ist C U mit dem durch U M displaystyle U ast M nbsp und U g m g m displaystyle U g colon m mapsto g cdot m nbsp gegebenen Funktor eine konkrete Kategorie Eine teilgeordnete Menge P displaystyle P leq nbsp lasst sich als Kategorie auffassen deren Objekte die Elemente von P displaystyle P nbsp sind und mit einem Pfeil x y displaystyle x to y nbsp genau dann wenn x y displaystyle x leq y nbsp Indem man U x displaystyle U x emptyset nbsp definiert und jedem Pfeil die identische Abbildung auf displaystyle emptyset nbsp zuordnet erhalt man eine konkrete Kategorie Zusammen mit dem kontravarianten Potenzmengenfunktor Setop Set der jeder Menge A displaystyle A nbsp die Potenzmenge Pot A displaystyle operatorname Pot A nbsp und jeder Abbildung f B A displaystyle f colon B to A nbsp die Abbildung Pot A Pot B displaystyle operatorname Pot A to operatorname Pot B nbsp S f 1 S x B f x S displaystyle S mapsto f 1 S x in B mid f x in S nbsp zuordnet wird Setop zu einer konkreten Kategorie Aus dem vorstehenden Beispiel folgt dass die duale Kategorie zu einer konkretisierbaren Kategorie ebenfalls konkretisierbar ist Mit C U displaystyle C U nbsp ist auch C op Pot U op displaystyle C operatorname op operatorname Pot circ U operatorname op nbsp konkret acc 3 Bei der Kategorie Ban der Banachraume und linearen Kontraktionen benutzt man meist nicht den offensichtlichen Vergissfunktor sondern ordnet einem Raum nur seine abgeschlossene Einheitskugel zu um aus diesem eine Rechtsadjunktion zu machen acc 4 Gegenbeispiele BearbeitenDie Homotopie Kategorie hTop deren Objekte topologische Raume und deren Morphismen die Homotopieklassen stetiger Abbildungen sind ist eine nicht konkretisierbare Kategorie Zwar sind die Objekte bereits Mengen mit einer Zusatzstruktur aber die Morphismen sind eben keine Abbildungen zwischen diesen sondern Aquivalenzklassen solcher Abbildungen Der erste Beweis dass dieser Mangel nicht behebbar ist dass es also uberhaupt keinen treuen Funktor von hTop nach Set gibt stammt von Peter Freyd 2 Die Kategorie der kleinen Kategorien mit naturlichen Aquivalenzklassen von Funktoren als Morphismen ist ebenfalls nicht konkretisierbar 3 Literatur BearbeitenJiri Adamek Horst Herrlich George E Strecker Abstract and Concrete Categories The Joy of Cats John Wiley amp Sons New York 1990 ISBN 0 471 60922 6 englisch katmat math uni bremen de PDF abgerufen am 12 Oktober 2010 Jiri Rosicky Concrete categories and infinitary languages In Journal of Pure and Applied Algebra Band 22 Nr 3 1981 S 309 339 doi 10 1016 0022 4049 81 90105 5 englisch Einzelnachweise Bearbeiten Saunders MacLane Garrett Birkhoff Algebra 3 Auflage AMS Chelsea 1999 ISBN 978 0 8218 1646 2 englisch Peter Freyd Homotopy is not concrete In Franklin Peterson Hrsg The Steenrod Algebra and its Applications A conference to celebrate N E Steenrod s 60th birthday Springer Lecture Notes in Mathematics Nr 168 Springer 1970 ISBN 3 540 05300 X englisch Reprints in Theory and Applications of Categories abgerufen am 11 Oktober 2010 Peter Freyd On the concreteness of certain categories In Symposia Mathematica Band IV Academic Press London 1970 S 431 456 englisch Adamek Herrlich Strecker Abstract and Concrete Categories the joy of cats S 61 vgl S 63 S 62 4 S 62 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Konkrete Kategorie amp oldid 234069633