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Potenzmengenfunktor Ein ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein Funktor in der Kategorie der Mengen d

Potenzmengenfunktor

Ein Potenzmengenfunktor ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein Funktor in der Kategorie der Mengen, der einer Menge ihre Potenzmenge zuordnet. Für die Operation auf Morphismen unterscheidet man eine kovariante und eine kontravariante Version.

Im Folgenden sei die Kategorie der Mengen, das heißt die Objekte sind die Mengen und die Morphismen sind die Abbildungen zwischen den Mengen. Üblicherweise werden beide Funktoren, der kovariante und der kontravariante Funktor, mit bezeichnet. Zur Unterscheidung innerhalb dieses Artikels bezeichnen wir den kovarianten Funktor mit .

Der kovariante Potenzmengenfunktor Bearbeiten

Sei der wie folgt auf Objekten und Morphismen definierte Endofunktor:

  • für eine Menge sei die Potenzmenge von ,
  • für eine Abbildung sei definiert durch für , wobei das Bild von unter sei. wird oft mit bezeichnet.

Das Bild von unter wird häufig auch mit bezeichnet. Wir verwenden hier eine andere Schreibweise, weil sowohl als Element als auch als Teilmenge von vorkommen kann und daher eine solche Unterscheidung nötig wird.

Da und für alle und Abbildungen und , liegt tatsächlich ein kovarianter Funktor vor.

Der kovariante Potenzmengenfunktor ist nicht darstellbar, denn gäbe es eine Menge mit für alle Mengen , so wäre insbesondere , was aus Mächtigkeitsgründen nicht sein kann.

Der kovariante Potenzmengenfunktor ist eine Monade. Einheit und Multiplikation sind gegeben durch und . Algebren dieser Monade sind gerade vollständige Verbände.

Der kontravariante Potenzmengenfunktor Bearbeiten

Sei auf Objekten und Morphismen wie folgt definiert:

  • für eine Menge sei die Potenzmenge von ,
  • für eine Abbildung sei definiert durch für , wobei das Urbild von unter sei.

wird oft mit bezeichnet.

Da und für alle und Abbildungen und , liegt tatsächlich ein kontravarianter Funktor vor.

Der kontravariante Potenzmengenfunktor ist darstellbar, denn bekanntlich besteht eine natürliche Isomorphie , die eine Teilmenge auf die Indikatorfunktion dieser Teilmenge abbildet.

Der kontravariante Potenzmengenfunktor ist ein kovarianter Funktor , wobei die duale Kategorie bezeichnet. (Das ist nicht der oben beschriebene kovariante Potenzmengenfunktor , denn der ist ja auf anderen Kategorien definiert und anders auf Morphismen.) Genauso hat man einen kovarianten Funktor , der genau wie definiert ist, aber andere Kategorien als Definitionsbereich bzw. Bildbereich hat und daher anders bezeichnet wird. Es besteht die Adjunktion . Das ergibt sich aus obiger Darstellbarkeit und folgender Kette natürlicher Isomorphismen:

Der kontravariante Potenzmengenfunktor ist monadisch, genauer gilt: ist monadisch.

Der Potenzmengenfunktor in einem Topos Bearbeiten

Ein Topos ist eine Kategorie , die alle endlichen Limites enthält, mit einem Objekt und einer Funktion , die jedem Objekt aus ein weiteres zuordnet, so dass es in natürliche Isomorphismen

gibt.

Dies ist eine der möglichen Definitionen eines Topos. ist der Unterobjektfunktor. ist der Unterobjekt-Klassifizierer des Topos und lässt sich durch passende Definition auf Morphismen zu einem kontravarianten Funktor ausbauen, den man den Potenzmengenfunktor des Topos nennt.

Im Falle des Topos der Mengen erhält man den oben beschriebenen kontravarianten Potenzmengenfunktor. Viele Eigenschaften dieses Funktors können für beliebige Topoi verallgemeinert werden.

Man erhält kovariante Funktoren und und wie schon in der Kategorie der Mengen besteht die wichtige Adjunktion .

Der Potezmengenfunktor ist auch in einem Topos monadisch, genauer gilt: ist monadisch. Dies ist ein wichtiger Baustein im Beweis der Aussage, dass jeder Topos auch alle endlichen Kolimites enthält.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. Band 5). 2. Auflage. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-90035-7, Seite 13.
  2. Roy L. Crole: Categories for Types, Cambridge University Press 2008, ISBN 0-521-45701-7, Kap 2.3. Beispiel (3)
  3. Daniel Rosiak: Sheaf Theory through Examples: A User's Guide, The MIT Press 2022, ISBN 0-2625-4215-3, Seite 181, Beispiel 151
  4. Emily Riehl: Category Theory in Context. AMS Dover Publications, 2016, ISBN 0-486-80903-X, Beispiel 5.1.5.(i), S. 157.
  5. Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. Band 5). 2. Auflage. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-90035-7, Seite 33.
  6. Roy L. Crole: Categories for Types, Cambridge University Press 2008, ISBN 0-521-45701-7, Kap 2.3. Beispiel (4)
  7. Emily Riehl: Category Theory in Context. AMS Dover Publications, 2016, ISBN 0-486-80903-X, Theorem 5.5.9, S. 177.
  8. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory. Universitext, Berlin 1992, ISBN 0-387-97710-4, erste Definition in Kap. IV.1
  9. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory. Universitext, Berlin 1992, ISBN 0-387-97710-4. Kap IV.5 Theorem 1
  10. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory. Universitext, Berlin 1992, ISBN 0-387-97710-4. Kap IV.5 Theorem 3
  11. P. T. Johnstone: Topos Theory, Dover Publications Inc. 1977, ISBN 0-486-49336-9
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Ein Potenzmengenfunktor ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein Funktor in der Kategorie der Mengen der einer Menge ihre Potenzmenge zuordnet Fur die Operation auf Morphismen unterscheidet man eine kovariante und eine kontravariante Version Im Folgenden sei S e t displaystyle mathcal Set die Kategorie der Mengen das heisst die Objekte sind die Mengen und die Morphismen sind die Abbildungen zwischen den Mengen Ublicherweise werden beide Funktoren der kovariante und der kontravariante Funktor mit P displaystyle P bezeichnet Zur Unterscheidung innerhalb dieses Artikels bezeichnen wir den kovarianten Funktor mit P displaystyle tilde P Inhaltsverzeichnis 1 Der kovariante Potenzmengenfunktor 2 Der kontravariante Potenzmengenfunktor 3 Der Potenzmengenfunktor in einem Topos 4 EinzelnachweiseDer kovariante Potenzmengenfunktor BearbeitenSei P S e t S e t displaystyle tilde P colon mathcal Set rightarrow mathcal Set nbsp der wie folgt auf Objekten und Morphismen definierte Endofunktor fur eine Menge A displaystyle A nbsp sei P A displaystyle tilde P A nbsp die Potenzmenge von A displaystyle A nbsp fur eine Abbildung f A B displaystyle f colon A rightarrow B nbsp sei P f P A P B displaystyle tilde P f colon tilde P A rightarrow tilde P B nbsp definiert durch P f X f X displaystyle tilde P f X f X nbsp fur X P A displaystyle X in P A nbsp wobei f X displaystyle f X nbsp das Bild von X displaystyle X nbsp unter f displaystyle f nbsp sei P f displaystyle P f nbsp wird oft mit f displaystyle f nbsp bezeichnet 1 2 Das Bild von X displaystyle X nbsp unter f displaystyle f nbsp wird haufig auch mit f X displaystyle f X nbsp bezeichnet Wir verwenden hier eine andere Schreibweise weil X displaystyle X nbsp sowohl als Element als auch als Teilmenge von A displaystyle A nbsp vorkommen kann und daher eine solche Unterscheidung notig wird Da P i d A X i d A X X i d P A X displaystyle tilde P mathrm id A X mathrm id A X X mathrm id tilde P A X nbsp und P f g X f g X f g X P f P g X P f P g X displaystyle tilde P f circ g X f circ g X f g X tilde P f tilde P g X tilde P f circ tilde P g X nbsp fur alle X P A displaystyle X in tilde P A nbsp und Abbildungen g A B displaystyle g colon A rightarrow B nbsp und f B C displaystyle f colon B rightarrow C nbsp liegt tatsachlich ein kovarianter Funktor vor Der kovariante Potenzmengenfunktor ist nicht darstellbar denn gabe es eine Menge B displaystyle B nbsp mit H o m B A P A displaystyle mathrm Hom B A cong tilde P A nbsp fur alle Mengen A displaystyle A nbsp so ware insbesondere H o m B 0 P 0 0 displaystyle mathrm Hom B 0 cong tilde P 0 emptyset 0 nbsp was aus Machtigkeitsgrunden nicht sein kann 3 Der kovariante Potenzmengenfunktor ist eine Monade Einheit h 1 S e t P displaystyle eta colon 1 mathcal Set rightarrow tilde P nbsp und Multiplikation m P 2 P displaystyle mu colon tilde P 2 rightarrow tilde P nbsp sind gegeben durch h A A P A a a displaystyle textstyle eta A colon A rightarrow tilde P A a mapsto a nbsp und m A P P A P A X X displaystyle textstyle mu A colon tilde P tilde P A rightarrow tilde P A X mapsto bigcup X nbsp 4 Algebren dieser Monade sind gerade vollstandige Verbande Der kontravariante Potenzmengenfunktor BearbeitenSei P S e t S e t displaystyle P colon mathcal Set rightarrow mathcal Set nbsp auf Objekten und Morphismen wie folgt definiert fur eine Menge A displaystyle A nbsp sei P A displaystyle P A nbsp die Potenzmenge von A displaystyle A nbsp fur eine Abbildung f A B displaystyle f colon A rightarrow B nbsp sei P f P B P A displaystyle P f colon P B rightarrow P A nbsp definiert durch P f X f 1 X displaystyle P f X colon f 1 X nbsp fur X P B displaystyle X in P B nbsp wobei f 1 X displaystyle f 1 X nbsp das Urbild von X displaystyle X nbsp unter f displaystyle f nbsp sei P f displaystyle P f nbsp wird oft mit f displaystyle f nbsp bezeichnet 5 6 Da P i d A X i d A 1 X X i d P A X displaystyle P mathrm id A X mathrm id A 1 X X mathrm id P A X nbsp und P f g X f g 1 X g 1 f 1 X P g P f X P g P f X displaystyle P f circ g X f circ g 1 X g 1 f 1 X P g P f X P g circ P f X nbsp fur alle X P A displaystyle X in P A nbsp und Abbildungen g C B displaystyle g colon C rightarrow B nbsp und f B A displaystyle f colon B rightarrow A nbsp liegt tatsachlich ein kontravarianter Funktor vor Der kontravariante Potenzmengenfunktor ist darstellbar denn bekanntlich besteht eine naturliche Isomorphie P A H o m A 0 1 displaystyle P A cong mathrm Hom A 0 1 nbsp die eine Teilmenge X A displaystyle X subset A nbsp auf die Indikatorfunktion dieser Teilmenge abbildet Der kontravariante Potenzmengenfunktor P displaystyle P nbsp ist ein kovarianter Funktor P S e t o p S e t displaystyle P colon mathcal Set op rightarrow mathcal Set nbsp wobei S e t o p displaystyle mathcal Set op nbsp die duale Kategorie bezeichnet Das ist nicht der oben beschriebene kovariante Potenzmengenfunktor P displaystyle tilde P nbsp denn der ist ja auf anderen Kategorien definiert und anders auf Morphismen Genauso hat man einen kovarianten Funktor P o p S e t S e t o p displaystyle P op colon mathcal Set rightarrow mathcal Set op nbsp der genau wie P displaystyle P nbsp definiert ist aber andere Kategorien als Definitionsbereich bzw Bildbereich hat und daher anders bezeichnet wird Es besteht die Adjunktion P o p P displaystyle P op dashv P nbsp Das ergibt sich aus obiger Darstellbarkeit und folgender Kette naturlicher Isomorphismen H o m S e t A P B H o m S e t A H o m S e t B 0 1 H o m S e t A B 0 1 H o m S e t B A 0 1 H o m S e t B H o m S e t A 0 1 H o m S e t B P A H o m S e t o p P o p A B displaystyle begin aligned mathrm Hom mathcal Set A P B amp cong mathrm Hom mathcal Set A mathrm Hom mathcal Set B 0 1 cong mathrm Hom mathcal Set A times B 0 1 amp cong mathrm Hom mathcal Set B times A 0 1 cong mathrm Hom mathcal Set B mathrm Hom mathcal Set A 0 1 cong mathrm Hom mathcal Set B P A amp cong mathrm Hom mathcal Set op P op A B end aligned nbsp Der kontravariante Potenzmengenfunktor ist monadisch genauer gilt P S e t o p S e t displaystyle P colon mathcal Set op rightarrow mathcal Set nbsp ist monadisch 7 Der Potenzmengenfunktor in einem Topos BearbeitenEin Topos ist eine Kategorie E displaystyle mathcal E nbsp die alle endlichen Limites enthalt mit einem Objekt W displaystyle Omega nbsp und einer Funktion P displaystyle P nbsp die jedem Objekt B displaystyle B nbsp aus E displaystyle mathcal E nbsp ein weiteres P B displaystyle P B nbsp zuordnet so dass es in A displaystyle A nbsp naturliche Isomorphismen S u b E A H o m E A W displaystyle mathrm Sub mathcal E A cong mathrm Hom mathcal E A Omega nbsp H o m E B A W H o m E A P B displaystyle mathrm Hom mathcal E B times A Omega cong mathrm Hom mathcal E A P B nbsp gibt Dies ist eine der moglichen Definitionen eines Topos 8 S u b E displaystyle mathrm Sub mathcal E nbsp ist der Unterobjektfunktor W displaystyle Omega nbsp ist der Unterobjekt Klassifizierer des Topos und P displaystyle P nbsp lasst sich durch passende Definition auf Morphismen zu einem kontravarianten Funktor E E displaystyle mathcal E rightarrow mathcal E nbsp ausbauen den man den Potenzmengenfunktor des Topos nennt Im Falle des Topos der Mengen S e t displaystyle mathcal Set nbsp erhalt man den oben beschriebenen kontravarianten Potenzmengenfunktor Viele Eigenschaften dieses Funktors konnen fur beliebige Topoi verallgemeinert werden Man erhalt kovariante Funktoren P E o p E displaystyle P colon mathcal E op rightarrow mathcal E nbsp und P o p E E o p displaystyle P op colon mathcal E rightarrow mathcal E op nbsp und wie schon in der Kategorie der Mengen besteht die wichtige Adjunktion P o p P displaystyle P op dashv P nbsp 9 Der Potezmengenfunktor ist auch in einem Topos monadisch genauer gilt P E o p E displaystyle P colon mathcal E op rightarrow mathcal E nbsp ist monadisch 10 11 Dies ist ein wichtiger Baustein im Beweis der Aussage dass jeder Topos auch alle endlichen Kolimites enthalt Einzelnachweise Bearbeiten Saunders Mac Lane Categories for the Working Mathematician Graduate Texts in Mathematics Band 5 2 Auflage Springer New York 1998 ISBN 0 387 90035 7 Seite 13 Roy L Crole Categories for Types Cambridge University Press 2008 ISBN 0 521 45701 7 Kap 2 3 Beispiel 3 Daniel Rosiak Sheaf Theory through Examples A User s Guide The MIT Press 2022 ISBN 0 2625 4215 3 Seite 181 Beispiel 151 Emily Riehl Category Theory in Context AMS Dover Publications 2016 ISBN 0 486 80903 X Beispiel 5 1 5 i S 157 Saunders Mac Lane Categories for the Working Mathematician Graduate Texts in Mathematics Band 5 2 Auflage Springer New York 1998 ISBN 0 387 90035 7 Seite 33 Roy L Crole Categories for Types Cambridge University Press 2008 ISBN 0 521 45701 7 Kap 2 3 Beispiel 4 Emily Riehl Category Theory in Context AMS Dover Publications 2016 ISBN 0 486 80903 X Theorem 5 5 9 S 177 Saunders Mac Lane Ieke Moerdijk Sheaves in geometry and logic a first introduction to topos theory Universitext Berlin 1992 ISBN 0 387 97710 4 erste Definition in Kap IV 1 Saunders Mac Lane Ieke Moerdijk Sheaves in geometry and logic a first introduction to topos theory Universitext Berlin 1992 ISBN 0 387 97710 4 Kap IV 5 Theorem 1 Saunders Mac Lane Ieke Moerdijk Sheaves in geometry and logic a first introduction to topos theory Universitext Berlin 1992 ISBN 0 387 97710 4 Kap IV 5 Theorem 3 P T Johnstone Topos Theory Dover Publications Inc 1977 ISBN 0 486 49336 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Potenzmengenfunktor amp oldid 230114935