Darstellbarkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie Es beschreibt den Umstand dass es fur gewisse Konstruktionen klassifizierende Objekte gibt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Siehe auchDefinition BearbeitenEin kontravarianter Funktor F C S e t displaystyle F colon C to mathbf Set nbsp von einer Kategorie C displaystyle C nbsp in die Kategorie der Mengen heisst darstellbar wenn es ein Paar X u displaystyle X u nbsp bestehend aus einem Objekt von C displaystyle C nbsp und einem Element u F X displaystyle u in F X nbsp gibt so dass H o m C T X F T f F f u displaystyle mathrm Hom C T X to F T quad f mapsto F f u nbsp fur alle Objekte T displaystyle T nbsp von C displaystyle C nbsp bijektiv ist Man schreibt dann auch einfach F T H o m C T X displaystyle F T mathrm Hom C T X nbsp Ein kovarianter Funktor G C S e t displaystyle G colon C to mathbf Set nbsp heisst darstellbar wenn es ein analoges Paar X u displaystyle X u nbsp gibt so dass H o m C X T G T f G f u displaystyle mathrm Hom C X T to G T quad f mapsto G f u nbsp bijektiv ist Weitere Bezeichnungen Fur ein Element von F T displaystyle F T nbsp heisst der entsprechende Morphismus T X displaystyle T to X nbsp auch klassifizierender Morphismus X displaystyle X nbsp heisst darstellendes Objekt auch wenn durch X displaystyle X nbsp selbst die naturliche AquivalenzF H o m C X displaystyle F cong mathrm Hom C X nbsp bzw G H o m C X displaystyle G cong mathrm Hom C X nbsp dd noch nicht festgelegt ist u displaystyle u nbsp wird oft universell genannt weil jedes Element von F T displaystyle F T nbsp fur irgendein Objekt T displaystyle T nbsp Bild von u displaystyle u nbsp unter F f displaystyle F f nbsp mit einem geeigneten Morphismusf T X displaystyle f colon T to X nbsp dd ist Analoges gilt im Fall kovarianter Funktoren Eigenschaften BearbeitenWird ein kontravarianter Funktor F displaystyle F nbsp wie oben einerseits durch X 1 u 1 displaystyle X 1 u 1 nbsp andererseits aber auch durch X 2 u 2 displaystyle X 2 u 2 nbsp dargestellt so gibt es genau einen Isomorphismus i X 1 X 2 displaystyle i colon X 1 to X 2 nbsp fur den F i u 2 u 1 displaystyle F i u 2 u 1 nbsp gilt Er ist der klassifizierende Morphismus von u 1 F X 1 displaystyle u 1 in F X 1 nbsp bezuglich X 2 u 2 displaystyle X 2 u 2 nbsp Darstellbare Funktoren sind linksexakt d h F c o l i m X i lim F X i displaystyle F mathrm colim X i lim F X i nbsp bzw G lim X i lim G X i displaystyle G lim X i lim G X i nbsp dd Beispiele BearbeitenDie Bildung der Potenzmenge P T displaystyle mathcal P T nbsp einer Menge T displaystyle T nbsp kann als kontravarianter Funktor P S e t S e t displaystyle mathcal P colon mathbf Set to mathbf Set nbsp betrachtet werden fur eine Abbildung f T S displaystyle f colon T to S nbsp von Mengen sei die induzierte Abbildung P f P S P T displaystyle mathcal P f mathcal P S to mathcal P T nbsp das Urbild von Teilmengen P f U f 1 U displaystyle mathcal P f U f 1 U nbsp Dieser Funktor wird durch das Paar 0 1 1 displaystyle 0 1 1 nbsp dargestellt denn ist T displaystyle T nbsp ein Objekt das heisst eine Menge so ist H o m T 0 1 P T f P f 1 f 1 1 displaystyle mathrm Hom T 0 1 rightarrow mathcal P T f mapsto mathcal P f 1 f 1 1 nbsp bijektiv Die klassifizierende Abbildung einer Teilmenge U T displaystyle U subseteq T nbsp ist also die charakteristische Funktion x U displaystyle chi U nbsp von U displaystyle U nbsp denn x U 1 1 U displaystyle chi U 1 1 U nbsp Die folgenden Vergissfunktoren sind darstellbar von nach dargestellt durchAbelsche Gruppen Mengen Z 1 displaystyle mathbb Z 1 nbsp Vektorraume uber einem Korper K displaystyle K nbsp Mengen K 1 displaystyle K 1 nbsp unitare Ringe Mengen Z T T displaystyle mathbb Z T T nbsp Topologische Raume Mengen displaystyle nbsp ein einpunktiger Raum Ein Beispiel aus der kommutativen Algebra bilden die Kahler Differentiale mit der universellen Derivation Die Fundamentalgruppe eines punktierten topologischen Raumes ist per definitionem ein darstellbarer Funktor auf der Kategorie der punktierten topologischen Raume mit den Homotopieklassen punktierter Abbildungen als Morphismen p 1 X x 0 S 1 X x 0 displaystyle pi 1 X x 0 S 1 X x 0 nbsp dd Die erste Kohomologiegruppe H 1 X Z displaystyle H 1 X mathbb Z nbsp mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen ist ein kontravarianter Funktor der durch die 1 Sphare S 1 displaystyle S 1 nbsp zusammen mit einem der beiden Erzeuger vonH 1 S 1 Z Z displaystyle H 1 S 1 mathbb Z cong mathbb Z nbsp dd dargestellt wird Allgemein gibt es darstellende Raume K p n displaystyle K pi n nbsp fur die Funktoren H n p displaystyle H n pi nbsp fur beliebige abelsche Gruppen p displaystyle pi nbsp und naturliche Zahlen n displaystyle n nbsp Sie heissen Eilenberg MacLane Raume Siehe auch BearbeitenOben vorgestellte Abbildungen der Form H o m C T X F T f F f u displaystyle mathrm Hom C T X to F T f mapsto F f u nbsp kommen auch beim Yoneda Lemma vor Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Darstellbarkeit Kategorientheorie amp oldid 188802879
