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Topos Mathematik Topos pl Topoi griech Ort ist ein Begriff der Kategorientheorie der in zwei engverwandten Ausprägungen

Topos (Mathematik)

Topos (pl. Topoi, griech. Ort) ist ein Begriff der Kategorientheorie, der in zwei engverwandten Ausprägungen vorkommt, nämlich

  • als Elementartopos, der eine verallgemeinerte Kategorie aller Mengen ist, mit dem Ziel einer nicht-mengentheoretischen Grundlegung der Mathematik.
  • als Grothendieck-Topos, der ein verallgemeinerter topologischer Raum ist und Anwendungen in der algebraischen Geometrie findet.

Elementartopos Bearbeiten

Motivation Bearbeiten

Die Idee eines Elementartopos geht ursprünglich auf William Lawvere (1937–2023) zurück, welcher sich 1963 zum Ziel setzte, die Mathematik auf ein rein kategorientheoretisches Fundament zu stellen (anstatt der bis heute üblichen Mengenlehre). In Zusammenarbeit mit Myles Tierney formulierte er gegen Ende der 1960er Jahre schließlich die Axiome für einen Elementartopos. Dieses ist, vereinfacht gesagt, eine Art Universum (informell gesprochen), in dem es möglich ist, Mathematik zu betreiben. Ein Elementartopos enthält genügend Struktur, um darin einen abstrakten Mengenbegriff zu definieren und damit Mathematik und Logik zu betreiben. Insbesondere besitzt ein Elementartopos eine sogenannte interne Logik, welche nicht unbedingt klassisch sein muss.

Definition Bearbeiten

Ein Elementartopos ist eine Kategorie mit

  • (d) einem Exponential mit zugehörigem Evaluations-Pfeil für je zwei Objekte , mit der universellen Eigenschaft, dass für jedes Objekt und jeden Pfeil genau ein Pfeil existiert, sodass folgendes Diagramm kommutiert:

Die Eigenschaften (a) und (b) lassen sich kurz zusammenfassen, indem man sagt sei endlich vollständig (d. h. alle endlichen Limites existieren). Die Eigenschaften (c) und (d) scheinen im ersten Moment extrem künstlich und abstrakt zu sein, sind jedoch beide durch die Kategorie aller Mengen motiviert. Kürzer schreibt man oft für (d), dass der Funktor für alle einen Rechtsadjungierten (meist mit bezeichnet) besitzt.

Die ursprüngliche Definition eines Elementartopos enthielt auch die Forderung, dass dieser endlich ko-vollständig sein soll (d. h., dass alle endlichen Kolimites existieren). Diese Forderung folgt jedoch, nach einem nicht-trivialen Resultat von Mikkelsen.

Elementartopos als Abstraktion der Kategorie aller Mengen Bearbeiten

Wie schon gesagt, sollte mit Hilfe der Topostheorie ein kategorientheoretisches Fundament für die Mathematik gelegt werden. Dies bedeutet insbesondere, dass die Kategorie aller Mengen dadurch beschrieben werden muss. Entsprechend ist dies wohl auch das wichtigste Beispiel, was die Motivation der verschiedenen Konzepte der Topostheorie angeht. In ist schlicht die Menge aller Abbildungen von nach und entsprechend . Weiter ist (man beachte, dass hier als finite Ordinalzahl zu verstehen ist), und die übliche charakteristische Funktion von als Teilmenge von .

Die Eigenschaft, dass nur zwei Elemente enthält bedeutet, dass es sich bei um einen sogenannten booleschen Topos handelt und dieser ist elementar für die klassische Mathematik (klassisch im Sinne von nicht-intuitionistisch).

Um abstrakt gegenüber allgemeinen Elementartopoi auszuzeichnen, werden gewöhnlich die folgenden Axiome verwendet.

  • Es gibt ein Anfangsobjekt (Nichttrivialität).
  • Sind Pfeile, so ist oder es existiert ein mit (Wohlpunktiertheit).
  • Es gibt ein Objekt natürlicher Zahlen, d. h. ein Objekt zusammen mit Pfeilen
sodass für jedes Objekt mit Pfeilen ein eindeutig bestimmter Pfeil existiert mit und .
  • Für jeden Epimorphismus existiert ein Pfeil mit (Auswahlaxiom).

Grothendieck-Topos Bearbeiten

Ein Grothendieck-Topos ist definiert als eine Kategorie, die äquivalent ist zur Kategorie der Garben (von Mengen) auf einem Situs. Nach einem Satz von Jean Giraud ist eine Kategorie genau dann ein Grothendieck-Topos, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

  • (c) Äquivalenzrelationen in sind universell effektiv.
  • (d) besitzt eine erzeugende Familie von Objekten.

Es sei angemerkt, dass jeder Grothendieck-Topos immer auch ein Elementartopos ist.

Literatur Bearbeiten

  • Michael Artin, Alexander Grothendieck, Jean-Louis Verdier: Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie. Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. (SGA 4) 1963–64.
  • Francis Borceux: Handbook of Categorical Algebra 3: Categories of Sheaves. Cambridge, 1994.
  • Rob Goldblatt: Topoi: the categorial analysis of logic. 1. Auflage. Amsterdam 1979. 2. Auflage. Mineola NY 1984. Dover Publications, 2006, ISBN 0-486-45026-0, Zbl 0434.03050 (krit. bespr. v. Johnstone) Scans
  • William Lawvere, Robert Rosebrugh: Sets for Mathematics. Cambridge University Press, 2003.
  • Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Topos theory. In: M. Hazewinkel (Hrsg.): Handbook of algebra. Amsterdam 1996, ISBN 0-444-82212-7, Band I, S. 501–528, Zbl 0858.18001
  • Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory. Universitext, Berlin 1992, ISBN 0-387-97710-4. xii, 627 p., Zbl 0822.18001
  • Michael Barr, Charles Frederick Wells: Toposes, Triples and Theories. – Berlin, 1983 (Grundlehren der math. Wissenschaften; 278).
  • Peter T. Johnstone: Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. Oxford Logic Guides, 43 & 44, 2002, ISBN 0-19-852496-X, Zbl 1071.18002
  • Ieke Moerdijk, Jacob Johan Caspar Vermeulen: Proper Maps of Toposes. In: Mem. Am. Math. Soc., 705, 2000, ISBN 0-8218-2168-7, Zbl 0961.18003

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Robert Paré: Colimits in topoi. In: Bull. Amer. Math. Soc., 80, 1974, S. 556–561.
  2. Colin McLarty: Elementary Categories, Elementary Toposes. Oxford University Press, 2005, ISBN 0-19-851473-5, S. 211,213.
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Veröffentlichungsdatum:
Topos pl Topoi griech Ort ist ein Begriff der Kategorientheorie der in zwei engverwandten Auspragungen vorkommt namlich als Elementartopos der eine verallgemeinerte Kategorie aller Mengen ist mit dem Ziel einer nicht mengentheoretischen Grundlegung der Mathematik als Grothendieck Topos der ein verallgemeinerter topologischer Raum ist und Anwendungen in der algebraischen Geometrie findet Inhaltsverzeichnis 1 Elementartopos 1 1 Motivation 1 2 Definition 1 3 Elementartopos als Abstraktion der Kategorie aller Mengen 2 Grothendieck Topos 3 Literatur 4 EinzelnachweiseElementartopos BearbeitenMotivation Bearbeiten Die Idee eines Elementartopos geht ursprunglich auf William Lawvere 1937 2023 zuruck welcher sich 1963 zum Ziel setzte die Mathematik auf ein rein kategorientheoretisches Fundament zu stellen anstatt der bis heute ublichen Mengenlehre In Zusammenarbeit mit Myles Tierney formulierte er gegen Ende der 1960er Jahre schliesslich die Axiome fur einen Elementartopos Dieses ist vereinfacht gesagt eine Art Universum informell gesprochen in dem es moglich ist Mathematik zu betreiben Ein Elementartopos enthalt genugend Struktur um darin einen abstrakten Mengenbegriff zu definieren und damit Mathematik und Logik zu betreiben Insbesondere besitzt ein Elementartopos eine sogenannte interne Logik welche nicht unbedingt klassisch sein muss Definition Bearbeiten Ein Elementartopos ist eine Kategorie E displaystyle mathcal E nbsp mit a einem Pullback fur jedes Diagramm A X B displaystyle A to X leftarrow B nbsp b einem terminalen Objekt 1 displaystyle 1 nbsp c einem Objekt W displaystyle Omega nbsp genannt der Unterobjekt Klassifizierer wortlich von engl subobject classifier und einem Monomorphismus t r u e 1 W displaystyle mathrm true colon 1 rightarrowtail Omega nbsp sodass fur jeden Monomorphismus m A B displaystyle m colon A rightarrowtail B nbsp ein eindeutiger Pfeil x m B W displaystyle chi m colon B to Omega nbsp genannt der Charakter von m displaystyle m nbsp existiert sodass folgendes Diagramm ein Pullback ist nbsp wobei hier A 1 displaystyle colon A to 1 nbsp den eindeutigen Pfeil von A displaystyle A nbsp ins Terminalobjekt 1 displaystyle 1 nbsp bezeichne d einem Exponential C A displaystyle C A nbsp mit zugehorigem Evaluations Pfeil e v C A C A A C displaystyle mathrm ev C A C A times A to C nbsp fur je zwei Objekte A C displaystyle A C nbsp mit der universellen Eigenschaft dass fur jedes Objekt B displaystyle B nbsp und jeden Pfeil f B A C displaystyle f colon B times A to C nbsp genau ein Pfeil f B C A displaystyle f colon B to C A nbsp existiert sodass folgendes Diagramm kommutiert nbsp wobei 1 A A A displaystyle 1 A colon A to A nbsp den Identitatspfeil von A displaystyle A nbsp bezeichne Die Eigenschaften a und b lassen sich kurz zusammenfassen indem man sagt E displaystyle mathcal E nbsp sei endlich vollstandig d h alle endlichen Limites existieren Die Eigenschaften c und d scheinen im ersten Moment extrem kunstlich und abstrakt zu sein sind jedoch beide durch die Kategorie S e t s displaystyle mathbf Sets nbsp aller Mengen motiviert Kurzer schreibt man oft fur d dass der Funktor A E E displaystyle times A colon mathcal E to mathcal E nbsp fur alle A displaystyle A nbsp einen Rechtsadjungierten meist mit A displaystyle A nbsp bezeichnet besitzt Die ursprungliche Definition eines Elementartopos enthielt auch die Forderung dass dieser endlich ko vollstandig sein soll d h dass alle endlichen Kolimites existieren Diese Forderung folgt jedoch nach einem nicht trivialen Resultat von Mikkelsen 1 Elementartopos als Abstraktion der Kategorie aller Mengen Bearbeiten Wie schon gesagt sollte mit Hilfe der Topostheorie ein kategorientheoretisches Fundament fur die Mathematik gelegt werden Dies bedeutet insbesondere dass die Kategorie S e t s displaystyle mathbf Sets nbsp aller Mengen dadurch beschrieben werden muss Entsprechend ist dies wohl auch das wichtigste Beispiel was die Motivation der verschiedenen Konzepte der Topostheorie angeht In S e t s displaystyle mathbf Sets nbsp ist C A f A C displaystyle C A f colon A to C nbsp schlicht die Menge aller Abbildungen von A displaystyle A nbsp nach C displaystyle C nbsp und entsprechend e v C A C A A C f a f a displaystyle mathrm ev C A colon C A times A to C f a mapsto f a nbsp Weiter ist W 0 1 2 displaystyle Omega 0 1 2 nbsp man beachte dass hier 2 displaystyle 2 nbsp als finite Ordinalzahl zu verstehen ist t r u e 0 0 1 0 1 displaystyle mathrm true 0 to 0 1 0 mapsto 1 nbsp und x m B 0 1 b 0 b A 1 b A displaystyle chi m colon B to 0 1 b mapsto left begin array ll 0 amp b notin A 1 amp b in A end array right nbsp die ubliche charakteristische Funktion von A displaystyle A nbsp als Teilmenge von B displaystyle B nbsp Die Eigenschaft dass W displaystyle Omega nbsp nur zwei Elemente enthalt bedeutet dass es sich bei S e t s displaystyle mathbf Sets nbsp um einen sogenannten booleschen Topos handelt und dieser ist elementar fur die klassische Mathematik klassisch im Sinne von nicht intuitionistisch Um S e t s displaystyle mathbf Sets nbsp abstrakt gegenuber allgemeinen Elementartopoi auszuzeichnen werden gewohnlich die folgenden Axiome verwendet 2 Es gibt ein Anfangsobjekt 0 1 displaystyle 0 not cong 1 nbsp Nichttrivialitat Sind f g X Y displaystyle f g colon X to Y nbsp Pfeile so ist f g displaystyle f g nbsp oder es existiert ein x 1 X displaystyle x colon 1 to X nbsp mit f x g x displaystyle f circ x neq g circ x nbsp Wohlpunktiertheit Es gibt ein Objekt naturlicher Zahlen d h ein Objekt N displaystyle N nbsp zusammen mit Pfeilen1 z N s N displaystyle 1 stackrel z longrightarrow N stackrel s longrightarrow N nbsp dd sodass fur jedes Objekt X displaystyle X nbsp mit Pfeilen 1 x X f X displaystyle 1 stackrel x longrightarrow X stackrel f longrightarrow X nbsp ein eindeutig bestimmter Pfeil h N X displaystyle h colon N to X nbsp existiert mit h z x displaystyle h circ z x nbsp und h s f h displaystyle h circ s f circ h nbsp Fur jeden Epimorphismus e X Y displaystyle e colon X to Y nbsp existiert ein Pfeil m Y X displaystyle m colon Y to X nbsp mit e m 1 Y displaystyle e circ m 1 Y nbsp Auswahlaxiom Grothendieck Topos BearbeitenEin Grothendieck Topos ist definiert als eine Kategorie die aquivalent ist zur Kategorie der Garben von Mengen auf einem Situs Nach einem Satz von Jean Giraud ist eine Kategorie E displaystyle mathcal E nbsp genau dann ein Grothendieck Topos wenn die folgenden Eigenschaften erfullt sind a In E displaystyle mathcal E nbsp existieren endliche projektive Limites b In E displaystyle mathcal E nbsp existieren beliebige Koprodukte und sie sind universell disjunkt Ein Koprodukt S i S i displaystyle textstyle S coprod i S i nbsp heisst disjunkt wenn die Strukturmorphismen S i S displaystyle S i to S nbsp Monomorphismen sind und S i S S j displaystyle S i times S S j nbsp fur i j displaystyle i neq j nbsp ein Anfangsobjekt ist Das Koprodukt heisst universell disjunkt wenn es unter jedem Basiswechsel T S displaystyle T to S nbsp disjunkt bleibt das heisst wenn T i T S S i displaystyle textstyle T coprod i T times S S i nbsp disjunkt ist c Aquivalenzrelationen in E displaystyle mathcal E nbsp sind universell effektiv Dabei ist eine Aquivalenzrelation ein Paar p 1 p 2 R X displaystyle p 1 p 2 colon R to X nbsp von Morphismen so dass fur jedes Objekt T O b E displaystyle T in mathrm Ob mathcal E nbsp die induzierte Abbildung p 1 p 2 R T X T X T displaystyle p 1 p 2 colon R T to X T times X T nbsp eine Bijektion auf den Graphen einer Aquivalenzrelation auf X T displaystyle X T nbsp ist Dabei ist X T Hom T X displaystyle X T operatorname Hom T X nbsp d E displaystyle mathcal E nbsp besitzt eine erzeugende Familie von Objekten Dabei heisst eine Familie E i i I displaystyle E i i in I nbsp von Objekten erzeugend wenn ein Morphismus X Y displaystyle X to Y nbsp fur den alle induzierten Abbildungen X E i Y E i displaystyle X E i to Y E i nbsp Bijektionen sind ein Isomorphismus ist Es sei angemerkt dass jeder Grothendieck Topos immer auch ein Elementartopos ist Literatur BearbeitenMichael Artin Alexander Grothendieck Jean Louis Verdier Seminaire de geometrie algebrique du Bois Marie Theorie des topos et cohomologie etale des schemas SGA 4 1963 64 Francis Borceux Handbook of Categorical Algebra 3 Categories of Sheaves Cambridge 1994 Rob Goldblatt Topoi the categorial analysis of logic 1 Auflage Amsterdam 1979 2 Auflage Mineola NY 1984 Dover Publications 2006 ISBN 0 486 45026 0 Zbl 0434 03050 krit bespr v Johnstone Scans William Lawvere Robert Rosebrugh Sets for Mathematics Cambridge University Press 2003 Saunders Mac Lane Ieke Moerdijk Topos theory In M Hazewinkel Hrsg Handbook of algebra Amsterdam 1996 ISBN 0 444 82212 7 Band I S 501 528 Zbl 0858 18001 Saunders Mac Lane Ieke Moerdijk Sheaves in geometry and logic a first introduction to topos theory Universitext Berlin 1992 ISBN 0 387 97710 4 xii 627 p Zbl 0822 18001 Michael Barr Charles Frederick Wells Toposes Triples and Theories Berlin 1983 Grundlehren der math Wissenschaften 278 Peter T Johnstone Sketches of an Elephant A Topos Theory Compendium Oxford Logic Guides 43 amp 44 2002 ISBN 0 19 852496 X Zbl 1071 18002 Ieke Moerdijk Jacob Johan Caspar Vermeulen Proper Maps of Toposes In Mem Am Math Soc 705 2000 ISBN 0 8218 2168 7 Zbl 0961 18003Einzelnachweise Bearbeiten Robert Pare Colimits in topoi In Bull Amer Math Soc 80 1974 S 556 561 Colin McLarty Elementary Categories Elementary Toposes Oxford University Press 2005 ISBN 0 19 851473 5 S 211 213 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Topos Mathematik amp oldid 230267059