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Einbettungssatz von Mitchell Der ist ein mathematisches Resultat über abelsche Kategorien Es sagt aus dass diese zunächs

Einbettungssatz von Mitchell

Der Einbettungssatz von Mitchell ist ein mathematisches Resultat über abelsche Kategorien. Es sagt aus, dass diese zunächst sehr abstrakt definierten Kategorien sich durchaus als konkrete Kategorien von Moduln auffassen lassen. Als Folge hiervon darf etwa das Beweisverfahren durch elementweise Diagrammjagd in beliebigen abelschen Kategorien verwendet werden. Der Satz ist nach Barry Mitchell benannt.

Aussage des Satzes Bearbeiten

Die genaue Aussage lautet: Sei eine kleine abelsche Kategorie. Dann gibt es einen Ring und einen voll treuen und exakten Funktor von in die Kategorie der Links-Moduln über .

Der Funktor induziert eine Äquivalenz zwischen und einer Unterkategorie von . In berechnete Kerne und Kokerne entsprechen über diese Äquivalenz den gewöhnlichen Kernen und Kokernen in .

Beweisidee Bearbeiten

Die Beweisidee orientiert sich am Yoneda-Lemma. Angenommen läge bereits in . Dann liefert jedes Objekt einen linksexakten Funktor . Die Zuordnung liefert dann eine Dualität zwischen und der Kategorie der linksexakten Funktoren von nach . Um aus zurückzugewinnen, geht man daher wie folgt vor: In der Kategorie der linksexakten Funktoren von nach konstruiert man einen gewissen injektiven Kogenerator , dessen Endomorphismenring man als wählt. Indem man für in jeweils setzt, erhält man dann einen Funktor mit den gewünschten Eigenschaften.

Anwendung auf große Kategorien Bearbeiten

Unmittelbar scheint der Einbettungssatz von Mitchell das Verfahren der Diagrammjagd nur für alle kleinen abelschen Kategorien zu rechtfertigen. Ist jedoch ein Diagramm zu einer beliebigen abelschen Kategorie gegeben, so betrachte man die kleinste abelsche volle Unterkategorie von , die alle im Diagramm auftretenden Objekte enthält. Dies ist eine kleine abelsche Kategorie. Anschaulich formuliert nimmt man die Menge(!) der im Diagramm verwendeten Objekte als Objekte von und fügt dann wiederholt noch fehlende Kerne und Kokerne von Morphismen sowie Biprodukte von Objekten hinzu.

Literatur Bearbeiten

  • Mitchell’s embedding theorem. In: PlanetMath. Abgerufen am 10. Oktober 2010 (englisch).
  • B. Mitchell: The Full Embedding Theorem. In: American Journal of Math. Band 86, 1964, S. 619–637 (englisch).
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Der Einbettungssatz von Mitchell ist ein mathematisches Resultat uber abelsche Kategorien Es sagt aus dass diese zunachst sehr abstrakt definierten Kategorien sich durchaus als konkrete Kategorien von Moduln auffassen lassen Als Folge hiervon darf etwa das Beweisverfahren durch elementweise Diagrammjagd in beliebigen abelschen Kategorien verwendet werden Der Satz ist nach Barry Mitchell benannt Inhaltsverzeichnis 1 Aussage des Satzes 2 Beweisidee 3 Anwendung auf grosse Kategorien 4 LiteraturAussage des Satzes BearbeitenDie genaue Aussage lautet Sei A displaystyle mathbf A nbsp eine kleine abelsche Kategorie Dann gibt es einen Ring R displaystyle R nbsp und einen voll treuen und exakten Funktor F A R M o d displaystyle F colon mathbf A to R mbox Mod nbsp von A displaystyle mathbf A nbsp in die Kategorie R M o d displaystyle R mbox Mod nbsp der Links Moduln uber R displaystyle R nbsp Der Funktor F displaystyle F nbsp induziert eine Aquivalenz zwischen A displaystyle mathbf A nbsp und einer Unterkategorie von R M o d displaystyle R mbox Mod nbsp In A displaystyle mathbf A nbsp berechnete Kerne und Kokerne entsprechen uber diese Aquivalenz den gewohnlichen Kernen und Kokernen in R M o d displaystyle R mbox Mod nbsp Beweisidee BearbeitenDie Beweisidee orientiert sich am Yoneda Lemma Angenommen A displaystyle mathbf A nbsp lage bereits in R M o d displaystyle R mbox Mod nbsp Dann liefert jedes Objekt X displaystyle X nbsp einen linksexakten Funktor H o m A X A A b displaystyle mathrm Hom mathbf A X mathbf A to mathbf Ab nbsp Die Zuordnung X H o m A X displaystyle X to mathrm Hom mathbf A X nbsp liefert dann eine Dualitat zwischen R M o d displaystyle R mbox Mod nbsp und der Kategorie der linksexakten Funktoren von A displaystyle mathbf A nbsp nach A b displaystyle mathbf Ab nbsp Um R displaystyle R nbsp aus A displaystyle mathbf A nbsp zuruckzugewinnen geht man daher wie folgt vor In der Kategorie D displaystyle mathbf D nbsp der linksexakten Funktoren von A displaystyle mathbf A nbsp nach A b displaystyle mathbf Ab nbsp konstruiert man einen gewissen injektiven Kogenerator H displaystyle H nbsp dessen Endomorphismenring man als R displaystyle R nbsp wahlt Indem man fur X displaystyle X nbsp in A displaystyle mathbf A nbsp jeweils F X H o m D H o m A X H displaystyle F X mathrm Hom mathbf D mathrm Hom mathbf A X H nbsp setzt erhalt man dann einen Funktor F displaystyle F nbsp mit den gewunschten Eigenschaften Anwendung auf grosse Kategorien BearbeitenUnmittelbar scheint der Einbettungssatz von Mitchell das Verfahren der Diagrammjagd nur fur alle kleinen abelschen Kategorien zu rechtfertigen Ist jedoch ein Diagramm zu einer beliebigen abelschen Kategorie A displaystyle mathbf A nbsp gegeben so betrachte man die kleinste abelsche volle Unterkategorie B displaystyle mathbf B nbsp von A displaystyle mathbf A nbsp die alle im Diagramm auftretenden Objekte enthalt Dies ist eine kleine abelsche Kategorie Anschaulich formuliert nimmt man die Menge der im Diagramm verwendeten Objekte als Objekte von A displaystyle mathbf A nbsp und fugt dann wiederholt noch fehlende Kerne und Kokerne von Morphismen sowie Biprodukte von Objekten hinzu Literatur BearbeitenMitchell s embedding theorem In PlanetMath Abgerufen am 10 Oktober 2010 englisch B Mitchell The Full Embedding Theorem In American Journal of Math Band 86 1964 S 619 637 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einbettungssatz von Mitchell amp oldid 199467007