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Abelsche Kategorie Im mathematischen Teilgebiet der Algebra und angrenzenden Gebieten versteht man unter einer abelschen

Abelsche Kategorie

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra und angrenzenden Gebieten versteht man unter einer abelschen Kategorie eine Kategorie, die sich in einigen wesentlichen Aspekten wie die Kategorie der abelschen Gruppen verhält. In geringerem Umfang gilt dies auch für additive Kategorien.

Definition Bearbeiten

Es sei eine Kategorie zusammen mit der Struktur einer abelschen Gruppe auf jeder Morphismenmenge für Objekte .

ist eine präadditive Kategorie, wenn zusätzlich folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • Die Komposition von Morphismen ist biadditiv, das heißt für Morphismen und gilt bzw. , wobei die Additionen in den Morphismengruppen jeweils mit demselben Symbol bezeichnet sind.

ist eine additive Kategorie, wenn sie präadditiv ist und zusätzlich die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

ist eine abelsche Kategorie, wenn sie präadditiv ist und zusätzlich die folgenden (stärkeren) Bedingungen erfüllt sind:

  • Es gibt ein Nullobjekt.
  • Es gibt (endliche) Biprodukte, d. h. zu je zwei Objekten gibt es ein Objekt zusammen mit Morphismen und für , so dass
gilt und dass mit ein Produkt bildet und mit ein Koprodukt.

Bedeutung Bearbeiten

Abelsche Kategorien sind ein wichtiges Werkzeug, um Aussagen über abelsche Gruppen zu verallgemeinern; so gelten beispielsweise das Fünferlemma oder das Schlangenlemma in jeder abelschen Kategorie. Abelsche Kategorien sind auch der natürliche Kontext für die homologische Algebra.

Eigenschaften Bearbeiten

Für abelsche Kategorien gilt:

  • Die Kategorie ist ausgeglichen: Ein Morphismus ist genau dann ein Isomorphismus, wenn er ein Monomorphismus und ein Epimorphismus, also ein Bimorphismus, ist.
  • Jeder Morphismus besitzt eine im Wesentlichen eindeutige Faktorisierung in einen Epimorphismus und einen Monomorphismus .
  • Die Homomorphie- und Isomorphiesätze gelten.

Beispiele Bearbeiten

  • Jeder unitäre Ring ist die Morphismenmenge einer präadditiven Kategorie mit einem einzigen Objekt.

Additiv ist:

  • Die Kategorie Div der teilbaren Gruppen: Der Kern eines Homomorphismus ist stets das Nullobjekt (mit Nullhomomorphismus), selbst dann, wenn nicht injektiv ist. Daher ist die kanonische Projektion kein Kern, obwohl es sich andererseits um einen Monomorphismus handelt.

Abelsch sind beispielsweise:

Einbettungssätze Bearbeiten

Die enge Verwandtschaft zu den abelschen Gruppen geht so weit, dass man Objekte einer abelschen Kategorie mithilfe eines geeigneten Funktors als spezielle abelsche Gruppen auffassen kann (Einbettungssatz von Mitchell):

  • Für jede kleine abelsche Kategorie gibt es einen exakten treuen Funktor .
  • Für jede kleine abelsche Kategorie gibt es einen Ring und einen volltreuen exakten Funktor von in die Kategorie der -Moduln.

Geschichte Bearbeiten

Erste Ansätze zur Definition des Begriffes "abelsche Kategorie" stammen von S. Eilenberg und S. Mac Lane aus den frühen 50er Jahren. Der Durchbruch gelang jedoch erst mit A. Grothendiecks epochemachendem Artikel Sur quelques points d'algèbre homologique aus dem Jahre 1957.

Literatur Bearbeiten

  • Peter Freyd: Abelian Categories. An Introduction to the Theory of Functors. Harper & Row, New York NY u. a. 1964.
  • Alexander Grothendieck: Sur quelques points d'algèbre homologique. In: Tohôku Mathematical Journal. Ser. 2, Bd. 9, Nr. 2, 1957, S. 119–221, doi:10.2748/tmj/1178244839.
  • Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. 5). Springer, New York NY u. a. 1971, ISBN 0-387-90036-5.
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Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Teilgebiet der Algebra und angrenzenden Gebieten versteht man unter einer abelschen Kategorie eine Kategorie die sich in einigen wesentlichen Aspekten wie die Kategorie der abelschen Gruppen verhalt In geringerem Umfang gilt dies auch fur additive Kategorien Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bedeutung 3 Eigenschaften 4 Beispiele 5 Einbettungssatze 6 Geschichte 7 LiteraturDefinition BearbeitenEs sei C displaystyle mathcal C nbsp eine Kategorie zusammen mit der Struktur einer abelschen Gruppe auf jeder Morphismenmenge Hom C X Y displaystyle operatorname Hom mathcal C X Y nbsp fur Objekte X Y Ob C displaystyle X Y in operatorname Ob mathcal C nbsp C displaystyle mathcal C nbsp ist eine praadditive Kategorie wenn zusatzlich folgende Bedingungen erfullt sind Die Komposition von Morphismen ist biadditiv das heisst fur Morphismen f f 1 f 2 Hom C X Y displaystyle f f 1 f 2 in operatorname Hom mathcal C X Y nbsp und g g 1 g 2 Hom C Y Z displaystyle g g 1 g 2 in operatorname Hom mathcal C Y Z nbsp gilt g f 1 f 2 g f 1 g f 2 displaystyle g circ f 1 f 2 g circ f 1 g circ f 2 nbsp bzw g 1 g 2 f g 1 f g 2 f displaystyle g 1 g 2 circ f g 1 circ f g 2 circ f nbsp wobei die Additionen in den Morphismengruppen jeweils mit demselben Symbol displaystyle nbsp bezeichnet sind C displaystyle mathcal C nbsp ist eine additive Kategorie wenn sie praadditiv ist und zusatzlich die folgenden Bedingungen erfullt sind Es gibt ein Nullobjekt Es gibt endliche Produkte C displaystyle mathcal C nbsp ist eine abelsche Kategorie wenn sie praadditiv ist und zusatzlich die folgenden starkeren Bedingungen erfullt sind Es gibt ein Nullobjekt Es gibt endliche Biprodukte d h zu je zwei Objekten X 1 X 2 displaystyle X 1 X 2 nbsp gibt es ein Objekt X 1 X 2 displaystyle X 1 oplus X 2 nbsp zusammen mit Morphismen p n X 1 X 2 X n displaystyle p nu colon X 1 oplus X 2 to X nu nbsp und i n X n X 1 X 2 displaystyle i nu colon X nu to X 1 oplus X 2 nbsp fur n 1 2 displaystyle nu 1 2 nbsp so dassp n i n id X n displaystyle p nu circ i nu operatorname id X nu nbsp und i 1 p 1 i 2 p 2 id X 1 X 2 displaystyle i 1 circ p 1 i 2 circ p 2 operatorname id X 1 oplus X 2 nbsp dd gilt und dass X 1 X 2 displaystyle X 1 oplus X 2 nbsp mit p n displaystyle p nu nbsp ein Produkt bildet und mit i n displaystyle i nu nbsp ein Koprodukt Es gibt Kerne und Kokerne Jeder Monomorphismus ist ein Kern jeder Epimorphismus ein Kokern Bedeutung BearbeitenAbelsche Kategorien sind ein wichtiges Werkzeug um Aussagen uber abelsche Gruppen zu verallgemeinern so gelten beispielsweise das Funferlemma oder das Schlangenlemma in jeder abelschen Kategorie Abelsche Kategorien sind auch der naturliche Kontext fur die homologische Algebra Eigenschaften BearbeitenFur abelsche Kategorien gilt Die Kategorie ist ausgeglichen Ein Morphismus ist genau dann ein Isomorphismus wenn er ein Monomorphismus und ein Epimorphismus also ein Bimorphismus ist Jeder Morphismus besitzt eine im Wesentlichen eindeutige Faktorisierung i p displaystyle i circ p nbsp in einen Epimorphismus p displaystyle p nbsp und einen Monomorphismus i displaystyle i nbsp Die Homomorphie und Isomorphiesatze gelten Beispiele BearbeitenJeder unitare Ring ist die Morphismenmenge einer praadditiven Kategorie mit einem einzigen Objekt Additiv ist Die Kategorie Div der teilbaren Gruppen Der Kern eines Homomorphismus f Q Z G displaystyle f colon mathbb Q mathbb Z to G nbsp ist stets das Nullobjekt mit Nullhomomorphismus selbst dann wenn f displaystyle f nbsp nicht injektiv ist Daher ist die kanonische Projektion p Q Q Z displaystyle pi colon mathbb Q to mathbb Q mathbb Z nbsp kein Kern obwohl es sich andererseits um einen Monomorphismus handelt Abelsch sind beispielsweise Die Kategorie Ab der abelschen Gruppen Die Kategorie der K displaystyle K nbsp Vektorraume fur einen Korper K displaystyle K nbsp Die Kategorie der A displaystyle A nbsp Moduln fur einen Ring A displaystyle A nbsp Die Kategorie der Garben abelscher Gruppen auf einem topologischen Raum Die Kategorie der endlichen abelschen Gruppen die Kategorie der endlich erzeugten abelschen Gruppen allgemeiner die Kategorie der endlich erzeugten Moduln uber einem noetherschen Ring Einbettungssatze BearbeitenDie enge Verwandtschaft zu den abelschen Gruppen geht so weit dass man Objekte einer abelschen Kategorie mithilfe eines geeigneten Funktors als spezielle abelsche Gruppen auffassen kann Einbettungssatz von Mitchell Fur jede kleine abelsche Kategorie C displaystyle mathcal C nbsp gibt es einen exakten treuen Funktor C A b displaystyle mathcal C to mathbf Ab nbsp Fur jede kleine abelsche Kategorie C displaystyle mathcal C nbsp gibt es einen Ring A displaystyle A nbsp und einen volltreuen exakten Funktor von C displaystyle mathcal C nbsp in die Kategorie der A displaystyle A nbsp Moduln Geschichte BearbeitenErste Ansatze zur Definition des Begriffes abelsche Kategorie stammen von S Eilenberg und S Mac Lane aus den fruhen 50er Jahren Der Durchbruch gelang jedoch erst mit A Grothendiecks epochemachendem Artikel Sur quelques points d algebre homologique aus dem Jahre 1957 Literatur BearbeitenPeter Freyd Abelian Categories An Introduction to the Theory of Functors Harper amp Row New York NY u a 1964 Alexander Grothendieck Sur quelques points d algebre homologique In Tohoku Mathematical Journal Ser 2 Bd 9 Nr 2 1957 S 119 221 doi 10 2748 tmj 1178244839 Saunders Mac Lane Categories for the Working Mathematician Graduate Texts in Mathematics 5 Springer New York NY u a 1971 ISBN 0 387 90036 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Abelsche Kategorie amp oldid 208116700