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Fünferlemma Das ist ein in der Mathematik hauptsächlich in der homologischen Algebra und anderen Anwendungen abelscher K

Fünferlemma

Das Fünferlemma ist ein in der Mathematik, hauptsächlich in der homologischen Algebra und anderen Anwendungen abelscher Kategorien, häufig verwendetes und wichtiges Lemma über kommutative Diagramme.

Das Fünferlemma ist nicht nur in abelschen Kategorien gültig, sondern beispielsweise auch in der Kategorie der Gruppen. Man erhält es durch Kombination der beiden Viererlemmata, die zueinander duale Aussagen bilden.

Aussagen Bearbeiten

Man betrachte das folgende kommutative Diagramm in einer beliebigen abelschen Kategorie (etwa der Kategorie der Vektorräume über einem gegebenen Körper oder der Kategorie der abelschen Gruppen):

Die Zeilen seien exakt, und seien Isomorphismen, ein Epimorphismus, ein Monomorphismus. Das Fünferlemma besagt, dass dann ebenfalls ein Isomorphismus ist.

Das (erste) Viererlemma besagt: Sind in dem kommutativen Diagramm

die Zeilen exakt, und Epimorphismen und ein Monomorphismus, so ist ein Epimorphismus.

Das (zweite) Viererlemma besagt: Sind in dem kommutativen Diagramm

die Zeilen exakt, und Monomorphismen und ein Epimorphismus, so ist ein Monomorphismus.

Beweis Bearbeiten

Der Beweis erfolgt durch Diagrammjagd, im Folgenden ausgeführt in der Kategorie der Gruppen (das neutrale Element wird jeweils durch 1 bezeichnet, die Verknüpfung als Multiplikation geschrieben). Er ist (in additive Schreibweise übersetzt) direkt übertragbar auf die Kategorie der abelschen Gruppen oder der Moduln über einem Ring und gilt somit nach dem Einbettungssatz von Mitchell in allen abelschen Kategorien.

Für den Beweis des ersten Viererlemmas seien also in

die Zeilen exakt, und surjektiv und injektiv. Zu zeigen ist, dass surjektiv ist.

Sei also ein beliebiges Element von .

Da surjektiv ist, gibt es ein in mit .

Wegen der Kommutativität des Diagramms ist .

Wegen der Exaktheit ist , also .

Wegen der Injektivität von folgt hieraus .

Da im Kern von liegt, liegt es im Bild von , d. h. es gibt ein aus mit .

Dann gilt .

Folglich gilt für ein aus .

Sei also ein Element von mit .

Da surjektiv ist, gibt es ein in mit .

Es folgt

Somit ist in der Tat surjektiv.

Das zweite Viererlemma ist dual zum ersten bzw. kann auf dieselbe einfache Weise bewiesen werden.

Das Fünferlemma folgt dann unmittelbar durch Kombination der beiden Viererlemmata.

Kurzes Fünferlemma Bearbeiten

Sind in dem kommutierenden Diagramm

die Zeilen kurze exakte Sequenzen und und Isomorphismen, so ist auch ein Isomorphismus.

Dies folgt sofort (wiederum für abelsche Kategorien oder die Kategorie der Gruppen) aus dem Fünferlemma, da man die Nullabbildung zwischen den Nullobjekten ergänzen kann.

Gerade beim kurzen Fünferlemma besteht ein häufiger Irrtum darin, auf die Isomorphie von und zu schließen, sobald man Isomorphismen und findet. Dies ist jedoch ein Trugschluss, denn das Lemma behauptet nicht die Existenz eines Isomorphismus, solange man nicht wenigstens überhaupt einen zu und passenden Homomorphismus hat.

Anwendungen Bearbeiten

Das Fünferlemma wird häufig auf lange exakte Sequenzen angewendet: Um die Homologie oder Kohomologie eines gegebenen Objektes zu berechnen, verwendet man typischerweise ein einfacheres Unterobjekt mit bekannter (Ko-)Homologie. Dies liefert eine lange exakte Sequenz, in der die gesuchten Homologie-Gruppen auftauchen. Dies allein reicht zwar normalerweise nicht, um die Homologie-Gruppen zu bestimmen; kann man aber das ursprüngliche Objekt samt Unterobjekt über Morphismen mit bekannten Objekten vergleichen, so wird ein Homomorphismus zwischen langen exakten Sequenzen induziert und das Fünferlemma kann dann die unbekannten Gruppen bestimmen.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Das Funferlemma ist ein in der Mathematik hauptsachlich in der homologischen Algebra und anderen Anwendungen abelscher Kategorien haufig verwendetes und wichtiges Lemma uber kommutative Diagramme Das Funferlemma ist nicht nur in abelschen Kategorien gultig sondern beispielsweise auch in der Kategorie der Gruppen Man erhalt es durch Kombination der beiden Viererlemmata die zueinander duale Aussagen bilden Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen 2 Beweis 3 Kurzes Funferlemma 4 Anwendungen 5 Siehe auch 6 WeblinksAussagen BearbeitenMan betrachte das folgende kommutative Diagramm in einer beliebigen abelschen Kategorie etwa der Kategorie der Vektorraume uber einem gegebenen Korper oder der Kategorie der abelschen Gruppen nbsp Die Zeilen seien exakt m displaystyle m nbsp und p displaystyle p nbsp seien Isomorphismen l displaystyle l nbsp ein Epimorphismus q displaystyle q nbsp ein Monomorphismus Das Funferlemma besagt dass dann n displaystyle n nbsp ebenfalls ein Isomorphismus ist Das erste Viererlemma besagt Sind in dem kommutativen Diagramm nbsp die Zeilen exakt m displaystyle m nbsp und p displaystyle p nbsp Epimorphismen und q displaystyle q nbsp ein Monomorphismus so ist n displaystyle n nbsp ein Epimorphismus Das zweite Viererlemma besagt Sind in dem kommutativen Diagramm nbsp die Zeilen exakt m displaystyle m nbsp und p displaystyle p nbsp Monomorphismen und l displaystyle l nbsp ein Epimorphismus so ist n displaystyle n nbsp ein Monomorphismus Beweis BearbeitenDer Beweis erfolgt durch Diagrammjagd im Folgenden ausgefuhrt in der Kategorie der Gruppen das neutrale Element wird jeweils durch 1 bezeichnet die Verknupfung als Multiplikation geschrieben Er ist in additive Schreibweise ubersetzt direkt ubertragbar auf die Kategorie der abelschen Gruppen oder der Moduln uber einem Ring und gilt somit nach dem Einbettungssatz von Mitchell in allen abelschen Kategorien Fur den Beweis des ersten Viererlemmas seien also in nbsp die Zeilen exakt m displaystyle m nbsp und p displaystyle p nbsp surjektiv und q displaystyle q nbsp injektiv Zu zeigen ist dass n displaystyle n nbsp surjektiv ist Sei also c displaystyle c nbsp ein beliebiges Element von C displaystyle C nbsp Da p displaystyle p nbsp surjektiv ist gibt es ein d displaystyle d nbsp in D displaystyle D nbsp mit p d t c displaystyle p d t c nbsp Wegen der Kommutativitat des Diagramms ist q j d u p d displaystyle q bigl j d bigr u bigl p d bigr nbsp Wegen der Exaktheit ist u t c 0 displaystyle u bigl t c bigr 0 nbsp also q j d 0 displaystyle q bigl j d bigr 0 nbsp Wegen der Injektivitat von q displaystyle q nbsp folgt hieraus j d 0 displaystyle j d 0 nbsp Da d displaystyle d nbsp im Kern von j displaystyle j nbsp liegt liegt es im Bild von h displaystyle h nbsp d h es gibt ein c displaystyle c nbsp aus C displaystyle C nbsp mit h c d displaystyle h c d nbsp Dann gilt t n c p h c p d t c displaystyle t bigl n c bigr p bigl h c bigr p d t c nbsp Folglich gilt c x n c displaystyle c x cdot n c nbsp fur ein x displaystyle x nbsp aus ker t i m s displaystyle ker t im s nbsp Sei also b displaystyle b nbsp ein Element von B displaystyle B nbsp mit s b x displaystyle s b x nbsp Da m displaystyle m nbsp surjektiv ist gibt es ein b displaystyle b nbsp in B displaystyle B nbsp mit m b b displaystyle m b b nbsp Es folgt n g b c n g b n c s m b n c s b n c x n c c displaystyle begin aligned n bigl g b cdot c bigr amp n bigl g b bigr cdot n c s bigl m b bigr cdot n c amp s b cdot n c x cdot n c c end aligned nbsp Somit ist n displaystyle n nbsp in der Tat surjektiv Das zweite Viererlemma ist dual zum ersten bzw kann auf dieselbe einfache Weise bewiesen werden Das Funferlemma folgt dann unmittelbar durch Kombination der beiden Viererlemmata Kurzes Funferlemma BearbeitenSind in dem kommutierenden Diagramm nbsp die Zeilen kurze exakte Sequenzen und g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp Isomorphismen so ist auch f displaystyle f nbsp ein Isomorphismus Dies folgt sofort wiederum fur abelsche Kategorien oder die Kategorie der Gruppen aus dem Funferlemma da man die Nullabbildung zwischen den Nullobjekten erganzen kann Gerade beim kurzen Funferlemma besteht ein haufiger Irrtum darin auf die Isomorphie von B displaystyle B nbsp und B displaystyle B nbsp zu schliessen sobald man Isomorphismen g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp findet Dies ist jedoch ein Trugschluss denn das Lemma behauptet nicht die Existenz eines Isomorphismus solange man nicht wenigstens uberhaupt einen zu g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp passenden Homomorphismus f displaystyle f nbsp hat Anwendungen BearbeitenDas Funferlemma wird haufig auf lange exakte Sequenzen angewendet Um die Homologie oder Kohomologie eines gegebenen Objektes zu berechnen verwendet man typischerweise ein einfacheres Unterobjekt mit bekannter Ko Homologie Dies liefert eine lange exakte Sequenz in der die gesuchten Homologie Gruppen auftauchen Dies allein reicht zwar normalerweise nicht um die Homologie Gruppen zu bestimmen kann man aber das ursprungliche Objekt samt Unterobjekt uber Morphismen mit bekannten Objekten vergleichen so wird ein Homomorphismus zwischen langen exakten Sequenzen induziert und das Funferlemma kann dann die unbekannten Gruppen bestimmen Siehe auch BearbeitenSchlangenlemma ein weiterer durch Diagrammjagd bewiesener Satz NeunerlemmaWeblinks BearbeitenMargherita Barile Five Lemma In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Funferlemma amp oldid 189440381