Das Neunerlemma wegen der Struktur des unten abgebildeten Diagramms auch 3 3 Lemma genannt ist eine mathematische Aussage uber kommutierende Diagramme und exakte Folgen die sowohl fur jede abelsche Kategorie als auch fur die Kategorie der Gruppen gultig ist Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Beweis 3 Siehe auch 4 EinzelnachweiseAussage BearbeitenIst in einer abelschen Kategorie oder der Kategorie der Gruppen das Diagramm nbsp kommutativ und sind alle Spalten sowie die unteren beiden Zeilen exakt so ist auch die obere Zeile exakt Ebenso gilt Sind alle Spalten sowie die oberen beiden Zeilen exakt so ist auch die untere Zeile exakt 1 Beweis BearbeitenDer Beweis erfolgt durch Diagrammjagd zunachst unter der Annahme dass das Diagramm die Kategorie der Gruppen betrifft Der Einfachheit halber seien alle horizontalen Abbildungen mit h displaystyle h nbsp alle vertikalen mit v displaystyle v nbsp bezeichnet Das neutrale Element der Gruppen heisse jeweils e displaystyle e nbsp Der Beweis zeigt die typische Eigenschaft von Diagrammjagden dass der schriftliche Beweis zwar aus lauter trivialen Einzelschritten besteht die zusammen jedoch verwirrend oder unmotiviert wirken erst wenn man die Schritte am Diagramm nachverfolgt werden die Zusammenhange einleuchtend Seien zunachst alle Spalten sowie die unteren beiden Zeilen exakt Ist a 1 A 1 displaystyle a 1 in A 1 nbsp mit h a 1 e displaystyle h a 1 e nbsp so h v a 1 v h a 1 v e e displaystyle h v a 1 v h a 1 v e e nbsp Hieraus folgt mit der Injektivitat von h A 2 B 2 displaystyle h colon A 2 to B 2 nbsp auch v a 1 e displaystyle v a 1 e nbsp und mit der von v A 1 A 2 displaystyle v colon A 1 to A 2 nbsp schliesslich a 1 e displaystyle a 1 e nbsp Ist a 1 A 1 displaystyle a 1 in A 1 nbsp so ist v h h a 1 h h v a 1 e displaystyle v h h a 1 h h v a 1 e nbsp also h h a 1 e displaystyle h h a 1 e nbsp Ist b 1 B 1 displaystyle b 1 in B 1 nbsp mit h b 1 e displaystyle h b 1 e nbsp so h v b 1 v h b 1 e displaystyle h v b 1 v h b 1 e nbsp also v b 1 h a 2 displaystyle v b 1 h a 2 nbsp fur ein a 2 A 2 displaystyle a 2 in A 2 nbsp Aus h v a 2 v h a 2 v v b 1 e displaystyle h v a 2 v h a 2 v v b 1 e nbsp folgt auch v a 2 e displaystyle v a 2 e nbsp also a 2 v a 1 displaystyle a 2 v a 1 nbsp fur ein a 1 A 1 displaystyle a 1 in A 1 nbsp Dann ist v h a 1 h v a 1 h a 2 v b 1 displaystyle v h a 1 h v a 1 h a 2 v b 1 nbsp woraus bereits b 1 h a 1 displaystyle b 1 h a 1 nbsp folgt Ist c 1 C 1 displaystyle c 1 in C 1 nbsp so gibt es ein b 2 B 2 displaystyle b 2 in B 2 nbsp mit h b 2 v c 1 displaystyle h b 2 v c 1 nbsp Wegen h v b 2 v h b 2 v v c 1 e displaystyle h v b 2 v h b 2 v v c 1 e nbsp gibt es ein a 3 A 3 displaystyle a 3 in A 3 nbsp mit h a 3 v b 2 displaystyle h a 3 v b 2 nbsp Weiter gibt es ein a 2 A 2 displaystyle a 2 in A 2 nbsp mit v a 2 a 3 displaystyle v a 2 a 3 nbsp also v h a 2 h v a 2 h a 3 v b 2 displaystyle v h a 2 h v a 2 h a 3 v b 2 nbsp Somit unterscheiden sich h a 2 displaystyle h a 2 nbsp und b 2 displaystyle b 2 nbsp um v b 1 displaystyle v b 1 nbsp fur ein geeignetes b 1 B 1 displaystyle b 1 in B 1 nbsp d h es gilt b 2 v b 1 h a 2 displaystyle b 2 v b 1 cdot h a 2 nbsp Dann ist v c 1 h b 2 h v b 1 h a 2 h v b 1 h h a 2 h v b 1 v h b 1 displaystyle v c 1 h b 2 h v b 1 cdot h a 2 h v b 1 cdot h h a 2 h v b 1 v h b 1 nbsp und schliesslich auch c 1 h b 1 displaystyle c 1 h b 1 nbsp Alle Punkte zusammen zeigen die Exaktheit der ersten Zeile Seien jetzt alle Spalten sowie die oberen beiden Zeilen exakt Ist c 3 C 3 displaystyle c 3 in C 3 nbsp so c 3 v c 2 displaystyle c 3 v c 2 nbsp fur ein c 2 C 2 displaystyle c 2 in C 2 nbsp und dann c 2 h b 2 displaystyle c 2 h b 2 nbsp fur ein b 2 B 2 displaystyle b 2 in B 2 nbsp jeweils per Surjektivitat von v C 2 C 3 displaystyle v colon C 2 to C 3 nbsp bzw h B 2 C 2 displaystyle h colon B 2 to C 2 nbsp Dann ist h v b 2 v h b 2 c 3 displaystyle h v b 2 v h b 2 c 3 nbsp Ist a 3 A 3 displaystyle a 3 in A 3 nbsp so a 3 v a 2 displaystyle a 3 v a 2 nbsp fur ein a 2 A 2 displaystyle a 2 in A 2 nbsp Dann h h a 3 h h v a 2 v h h a 2 v e e displaystyle h h a 3 h h v a 2 v h h a 2 v e e nbsp Ist b 3 B 3 displaystyle b 3 in B 3 nbsp mit h b 3 e displaystyle h b 3 e nbsp und wahlen wir ein b 2 B 2 displaystyle b 2 in B 2 nbsp mit v b 2 b 3 displaystyle v b 2 b 3 nbsp so v h b 2 h v b 2 h b 3 e displaystyle v h b 2 h v b 2 h b 3 e nbsp also h b 2 v c 1 displaystyle h b 2 v c 1 nbsp fur ein c 1 C 1 displaystyle c 1 in C 1 nbsp Weiter c 1 h b 1 displaystyle c 1 h b 1 nbsp fur ein b 1 B 1 displaystyle b 1 in B 1 nbsp Dann ist h v b 1 v h b 1 v c 1 h b 2 displaystyle h v b 1 v h b 1 v c 1 h b 2 nbsp also b 2 v b 1 h a 2 displaystyle b 2 v b 1 cdot h a 2 nbsp fur ein a 2 A 2 displaystyle a 2 in A 2 nbsp Schliesslich ist h v a 2 v h a 2 v v b 1 v h a 2 v v b 1 h a 2 v b 2 b 3 displaystyle h v a 2 v h a 2 v v b 1 cdot v h a 2 v v b 1 cdot h a 2 v b 2 b 3 nbsp Ist a 3 A 3 displaystyle a 3 in A 3 nbsp mit h a 3 e displaystyle h a 3 e nbsp und wahlen wir a 2 A 2 displaystyle a 2 in A 2 nbsp mit v a 2 a 3 displaystyle v a 2 a 3 nbsp so v h a 2 h v a 2 h a 3 e displaystyle v h a 2 h v a 2 h a 3 e nbsp also h a 2 v b 1 displaystyle h a 2 v b 1 nbsp fur ein b 1 B 1 displaystyle b 1 in B 1 nbsp Es ist v h b 1 h v b 1 h h a 2 e displaystyle v h b 1 h v b 1 h h a 2 e nbsp daher bereits h b 1 e displaystyle h b 1 e nbsp Folglich b 1 h a 1 displaystyle b 1 h a 1 nbsp fur ein a 1 A 1 displaystyle a 1 in A 1 nbsp Aus h v a 1 v h a 1 v b 1 h a 2 displaystyle h v a 1 v h a 1 v b 1 h a 2 nbsp folgt bereits a 2 v a 1 displaystyle a 2 v a 1 nbsp und somit a 3 v a 2 v v a 1 e displaystyle a 3 v a 2 v v a 1 e nbsp Zusammen ergibt dies wiederum die Exaktheit der letzten Zeile Der zunachst fur Gruppen durchgefuhrte Beweis gilt ggf in additive Schreibweise ubersetzt ebenso fur abelsche Gruppen oder auch fur Moduln uber einem Ring Durch den Einbettungssatz von Mitchell ist dies aber bereits ausreichend um das Neunerlemma fur alle abelschen Kategorien zu beweisen Siehe auch BearbeitenFunferlemma SchlangenlemmaEinzelnachweise Bearbeiten Saunders Mac Lane Homology Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 1967 Kapitel II Lemma 5 1 The 3x3 Lemma Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Neunerlemma amp oldid 238844796
