Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, wie z. B. in den ganzen Zahlen , Addition und Multiplikation definiert und miteinander bezüglich Klammersetzung verträglich sind. Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, das sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt.
Namensgebung Bearbeiten
Der Name Ring bezieht sich nicht auf etwas anschaulich Ringförmiges, sondern auf einen organisierten Zusammenschluss von Elementen zu einem Ganzen. Diese Wortbedeutung ist in der deutschen Sprache ansonsten weitgehend verloren gegangen. Einige ältere Vereinsbezeichnungen (wie z. B. Deutscher Ring, Weißer Ring, Maschinenring) oder Ausdrücke wie „Verbrecherring“, „Tauschring“ oder auch „Ringvorlesung“ weisen noch auf diese Bedeutung hin. Das Konzept des Ringes geht auf Richard Dedekind zurück; die Bezeichnung Ring wurde allerdings von David Hilbert eingeführt. In speziellen Situationen ist neben der Bezeichnung Ring auch die Bezeichnung Bereich geläufig. So findet man in der Literatur eher den Begriff Integritätsbereich statt Integritätsring.
Definitionen Bearbeiten
Je nach Teilgebiet und Lehrbuch (und zum Teil je nach Kapitel) wird unter einem Ring etwas Unterschiedliches verstanden. Ebenfalls leicht abweichend sind dann die Definitionen von Morphismen sowie Unter- und Oberstrukturen. Mathematisch ausgedrückt handelt es sich bei diesen unterschiedlichen Ringbegriffen um unterschiedliche Kategorien.
Ring Bearbeiten
Ein Ring ist eine Menge mit zwei zweistelligen Operationen und , für die die folgenden Beziehungen, genannt Ringaxiome, gelten:
- ist eine abelsche Gruppe unter der Addition , deren neutrales Element als Nullelement des Rings mit bezeichnet wird.
- ist eine Halbgruppe unter der Multiplikation . In der gängigen Schreibung bindet stärker als und wird sehr häufig sogar weggelassen.
- Es gelten die Distributivgesetze
Ein Ring heißt kommutativ, falls er bezüglich der Multiplikation kommutativ ist, ansonsten spricht man von einem nicht-kommutativen Ring.
Ring mit Eins (unitärer Ring) Bearbeiten
Hat die Halbgruppe ein (beidseitiges) neutrales Element , ist also ein Monoid, dann nennt man einen Ring mit Eins oder unitären Ring. Ringe mit nur links- oder nur rechtsneutralem Element gelten in der Ringtheorie nicht als unitär.
Manche Autoren verstehen unter einem Ring grundsätzlich einen (kommutativen) Ring mit Eins und sprechen andernfalls von einem Pseudo-Ring, englisch auch rng (sic!) oder non-unital ring.
In der Kategorie der Ringe mit Eins muss die Eins auch bei Ringhomomorphismen erhalten bleiben.
Jeder Ring lässt sich in einen unitären Ring einbetten.
Kommutativer Ring mit Eins Bearbeiten
In der kommutativen Algebra werden Ringe als kommutative Ringe mit Eins definiert.
Folgerungen Bearbeiten
- Das neutrale Element der Addition ist absorbierendes Element der Multiplikation:
| (0 als neutrales Element der Addition) | |||
| (rechte Distributivität) | |||
| (Eindeutigkeit des neutralen Elements) |
- Fällt das neutrale Element der Multiplikation mit dem der Addition zusammen, dann besteht der Ring nur aus einem einzigen Element. Ein solcher Ring wird „Nullring“ genannt. Er ist ein kommutativer Ring mit Eins.
- Ein vor das Element gestelltes "" kennzeichne das inverse Element bezüglich der Addition (bei dieser Verwendung wird das Zeichen als unäres Minus bezeichnet). Für alle gilt aufgrund des Distributivgesetzes:
- Die Addition eines additiven Inversen zu einem Ringelement wird als Subtraktion bezeichnet. Das Operationszeichen dafür ist das binäre Minuszeichen:
- Die Distributivgesetze gelten auch für die Subtraktion:
Unter- und Oberstrukturen Bearbeiten
Unter- und Oberring Bearbeiten
Eine Untermenge eines Ringes heißt Unterring (oder Teilring) von , wenn zusammen mit den beiden auf eingeschränkten Verknüpfungen von wieder ein Ring ist. ist genau dann ein Unterring von , wenn eine Untergruppe bezüglich der Addition ist und abgeschlossen bzgl. der Multiplikation ist, d. h.
Auch wenn ein Ring mit Eins ist, so muss die Eins nicht notwendigerweise in enthalten sein. kann auch ein Ring ohne Eins sein – etwa – oder eine andere Eins haben. In der Kategorie der Ringe mit Eins wird von einem Unterring verlangt, dass er dasselbe Einselement enthält (dafür ist es zwar notwendig, aber nicht immer hinreichend, dass der Unterring ein auf diesen bezogen multiplikativ neutrales Element enthält).
Der Durchschnitt von Unterringen ist wieder ein Unterring, und der von erzeugte Unterring wird definiert als der Durchschnitt aller umfassenden Unterringe von .
Ein Ring heißt Oberring oder Erweiterung eines Ringes , wenn ein Unterring von ist. Es ist auch üblich von einer Ringerweiterung zu sprechen, wenn man einen Ring mit einem Oberring betrachtet. Dies ist analog zum Begriff der Körpererweiterung.
Jeder Ring kann in einen Ring mit Einselement eingebettet werden.
Folgende Ringerweiterung findet sich in E. Sernesi: Deformations of algebraic schemes:
Sei ein kommutativer Ring, ein -Modul und die direkte Summe der abelschen Gruppen. Eine Multiplikation auf sei definiert durch
(Die Identifikation von mit mit einem , für das ist, und Ausrechnen von ergibt die genannte Formel.) erweist sich als Ring. Man hat die exakte Sequenz
mit der Projektion . Somit ist eine Erweiterung von um . Eine andere bemerkenswerte Eigenschaft dieser Konstruktion ist, dass der Modul zum Ideal eines neuen Ringes wird. Nagata nennt diesen Vorgang Prinzip der Idealisierung.
Ideal Bearbeiten
Zu einem Ring heißt eine Teilmenge von Linksideal (bzw. Rechtsideal), wenn gilt:
- ist eine Untergruppe von .
- Für alle und ist ebenfalls (bzw. ).
Ist sowohl Links- als auch Rechtsideal, so heißt zweiseitiges Ideal oder auch nur Ideal.
Enthält in einem Ring mit Eins ein (Links-, Rechts-)Ideal die Eins, so umfasst es ganz . Da auch ein Ideal ist, ist das einzige (Links-, Rechts-)Ideal, das die Eins enthält. und sind die sogenannten trivialen Ideale.
Eingeschränkt auf die Teilmengen von ist der Begriff Ideal mit dem Begriff -Modul synonym, also auch Linksideal mit -Linksmodul usw.
Jedes Ideal von ist auch ein Unterring von , ggf. ohne Eins. In der Kategorie der Ringe mit 1 gilt dann nicht als Unterring.
Faktorring Bearbeiten
Ist ein Ideal in einem Ring , dann kann man die Menge der Nebenklassen
bilden. Die Verknüpfung lässt sich wegen ihrer Kommutativität immer auf fortsetzen; die Verknüpfung jedoch nur, wenn ein zweiseitiges Ideal in ist. Ist dies der Fall, dann ist mit den induzierten Verknüpfungen ein Ring. Er wird Faktorring genannt – gesprochen: modulo .
der einem Element seine Nebenklasse zuordnet, hat zum Kern.
Grundring Bearbeiten
In einem Ring mit Eins wird der von erzeugte Unterring als der Grundring bezeichnet. Hat dieser endliche Mächtigkeit so ist die Charakteristik von abgekürzt: und man sagt, habe positive Charakteristik. Andernfalls wird gesetzt. Damit ist im endlichen wie unendlichen Fall der unitäre Ringhomomorphismus
injektiv. Der Grundring ist das Bild und jedes seiner Elemente ist mit jedem Ringelement vertauschbar. Außerdem ist für jedes Ringelement
das additive Inverse von
Polynomring Bearbeiten
Ist ein kommutativer Ring mit Eins, so kann der Polynomring gebildet werden. Dieser besteht aus Polynomen mit Koeffizienten aus und der Variablen zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation für Polynome. Eigenschaften von übertragen sich zum Teil auf den Polynomring. Ist nullteilerfrei, faktoriell oder noethersch, so trifft dies auch auf zu.
Matrizenring Bearbeiten
Ist ein Ring mit Eins, so kann zu gegebenem der Matrizenring gebildet werden. Dieser besteht aus den quadratischen Matrizen mit Einträgen aus mit der üblichen Addition und Multiplikation für Matrizen. Der Matrizenring ist wiederum ein Ring mit Eins. Jedoch ist der Matrizenring für weder kommutativ noch nullteilerfrei, selbst wenn diese Eigenschaften hat.
Direktes Produkt Bearbeiten
Sind und Ringe, dann kann das Mengenprodukt auf natürliche Weise mit einer Ringstruktur ausgestattet werden:
Denn die Gültigkeit des Distributivgesetzes in jeder Komponente überträgt sich unmittelbar auf das Mengenprodukt.
Sind beide Ringe und unitär, dann ist auch unitär mit als dem Einselement.
Dieselbe Konstruktion ist möglich mit einer beliebigen Familie von Ringen: Sind Ringe über einer Indexmenge , dann ist ein Ring, genannt das direkte Produkt der Ein Unterring des direkten Produkts ist die direkte Summe, bei der nur endlich viele Komponenten von 0 verschieden sind.
Homomorphismus Bearbeiten
Ringhomomorphismus Bearbeiten
Für zwei Ringe und heißt eine Abbildung
Ringhomomorphismus (kurz Homomorphismus), falls für alle gilt:
Der Kern des Ringhomomorphismus ist ein zweiseitiges Ideal in .
Ein Morphismus von Ringen mit Eins muss außerdem noch die Bedingung erfüllen, dass das Einselement auf das Einselement abgebildet wird:
Isomorphismus Bearbeiten
Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Die Ringe und heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von nach gibt. In diesem Fall ist auch die Umkehrabbildung ein Isomorphismus; die Ringe haben dann dieselbe Struktur.
Beispiel Bearbeiten
Ausgestattet mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ist das direkte Produkt ein Ring. Dann ist mit die Abbildung
ein Homomorphismus von Ringen; ein Homomorphismus von Ringen mit Eins aber nur, wenn
Spezielle Elemente in einem Ring Bearbeiten
Teiler und Nullteiler Bearbeiten
Von zwei Elementen heißt linker Teiler (Linksteiler) von , falls ein mit existiert. Dann ist auch rechtes Vielfaches von . Entsprechend definiert man rechten Teiler (Rechtsteiler) und linkes Vielfaches.
In kommutativen Ringen ist ein linker Teiler auch ein rechter und umgekehrt. Man schreibt hier auch , falls ein Teiler von ist.
Alle Elemente von sind (Rechts- bzw. Links-) Teiler der Null. Der Begriff des (Rechts- bzw. Links-) Nullteilers hat eine andere Definition. Wenn nach dieser als Nullteiler zählt, gilt der Satz: Ein Element ist genau dann (Rechts- bzw. Links-) Nullteiler, wenn es nicht (rechts- bzw. links-) kürzbar ist.
Invertierbarkeit, Einheit Bearbeiten
Existiert in einem Ring mit Eins zu einem Element ein Element , so dass (bzw. ) gilt, so nennt man ein Linksinverses (bzw. Rechtsinverses) von . Besitzt sowohl Links- als auch Rechtsinverses, so nennt man invertierbar oder Einheit des Ringes. Die Menge der Einheiten eines Ringes mit Eins wird gewöhnlich mit oder bezeichnet. bildet bezüglich der Ringmultiplikation eine Gruppe – die Einheitengruppe des Ringes. Ist , so ist ein Schiefkörper, ist darüber hinaus kommutativ, so ist ein Körper.
In kommutativen Ringen mit Eins (insbesondere Integritätsringen) werden die Einheiten oft als diejenigen Elemente definiert, die die Eins teilen. Dies ist in diesem Fall zur obigen Definition äquivalent, da genau dann die Eins teilt, wenn es ein gibt mit .
Assoziierte Elemente Bearbeiten
Zwei Elemente und sind genau dann rechts assoziiert, wenn es eine Rechtseinheit gibt, sodass . Links assoziiert bei mit einer Linkseinheit .
Wenn in einem kommutativen Ring mit Eins die Elemente in der Beziehung und stehen, dann sind und zueinander assoziiert. Die Seitigkeit (links, rechts) kann also weggelassen werden.
Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation.
Irreduzibilität Bearbeiten
Ein von 0 verschiedenes Element heißt irreduzibel, wenn es weder Linkseinheit noch Rechtseinheit ist und es keine Nicht-Linkseinheit und keine Nicht-Rechtseinheit mit gibt, wenn also aus der Gleichung folgt, dass Linkseinheit oder Rechtseinheit ist.
In einem kommutativen Ring genügt es zu fordern, dass von 0 verschieden ist, keine Einheit ist und aus folgt, dass oder eine Einheit ist.
Primelement Bearbeiten
Für kommutative unitäre Ringe definiert man: Ein Element heißt prim oder Primelement, wenn es keine Einheit und ungleich 0 ist und aus folgt oder (siehe auch Hauptartikel: Primelement).
In einem nullteilerfreien Ring ist jedes Primelement irreduzibel. In einem faktoriellen Ring ist umgekehrt auch jedes irreduzible Element ein Primelement.
Spezialfälle Bearbeiten
Beispiele Bearbeiten
- Der Nullring, der nur aus einem Element besteht, ist ein kommutativer Ring mit Eins ().
- Die ganzen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden einen euklidischen Ring.
- Die rationalen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden einen Körper.
- Der Ring der geraden Zahlen ist ein kommutativer Ring ohne Eins.
- Polynomringe über einem Körper sind euklidische Ringe.
- Ist ein Ring mit Eins, dann ist der Matrizenring für ein (nicht-kommutativer) Ring mit Eins, welche durch die Einheitsmatrix dargestellt wird.
- Faktorringe liefern Beispiele für Ringe, die nicht nullteilerfrei sind. Genauer gilt für einen kommutativen Ring mit Eins, dass genau dann ein Integritätsring ist, wenn ein Primideal ist.
- Die Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation bildet keinen Ring, da die Addition über den natürlichen Zahlen nicht invertierbar ist.
Verallgemeinerungen Bearbeiten
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
- David Eisenbud: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York NY u. a. 1996, ISBN 0-387-94269-6.
- Serge Lang: Algebra. Revised 3rd Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 0-387-95385-X.
- Hideyuki Matsumura: Commutative Ring Theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989, ISBN 0-521-36764-6.
- Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Ein Handbuch für Studium und Forschung. Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (R). 17. Juli 2007
- The development of Ring Theory (17. Juli 2007)
- eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche
- Masayoshi Nagata: Local rings. Interscience Publishers, New York-London 1962, ISBN 0-88275-228-6.
- Bei einem Körper spricht man vom Primkörper.