Algebra über einem kommutativen Ring Als oder R displaystyle R Algebra wobei R displaystyle R ein kommutativer Ring ist

Algebra über einem kommutativen Ring

Als Algebra über einem kommutativen Ring oder -Algebra (wobei ein kommutativer Ring ist) bezeichnet man eine algebraische Struktur, die aus einem Modul über einem kommutativen Ring und einer zusätzlichen, mit der Modulstruktur verträglichen (Algebra-)Multiplikation besteht. Insbesondere ist eine Algebra über einem kommutativen Ring eine Verallgemeinerung der Algebra über einem Körper.

Allgemeine Definition Bearbeiten

Sei ein kommutativer Ring, ein -Modul und

eine zweistellige Verknüpfung auf , genannt „Multiplikation“.

Das Paar heißt „-Algebra“, wenn die Multiplikation bilinear ist, d. h. für alle Algebraelemente und jedes Ringelement gilt:

Hier ist zunächst weder Assoziativität noch Kommutativität noch die Existenz eines neutralen Elementes der Algebra-Multiplikation vorausgesetzt. Wird Assoziativität hinzugefügt, handelt es sich um eine assoziative Algebra.

Algebrenhomomorphismus Bearbeiten

Ein -Algebrenhomomorphismus von nach ist ein R-Modulhomomorphismus von nach , für den zusätzlich gilt, dass für alle ist.

Spezielle Definition Bearbeiten

Sei ein kommutativer Ring. Unter einer -Algebra versteht man einen Ring zusammen mit einem Ringhomomorphismus derart, dass alle Elemente von mit den Elementen aus vertauschbar sind:

Eine Algebra bezeichnet man in der Regel einfach mit . Man unterdrückt also den sogenannten Strukturhomomorphismus in der Notation. Hierbei wird dann statt geschrieben, sodass der Strukturhomomorphismus durch , gegeben ist. Sofern dieser jedoch nicht injektiv ist, ist es nicht möglich, die Elemente mit ihren Bildern zu „identifizieren“.

Eigenschaften Bearbeiten

Jede so definierte -Algebra kann als -Algebra gemäß der allgemeinen Definition aufgefasst werden, indem man die Skalarmultiplikation als setzt. Dagegen lässt sich nicht jede -Algebra gemäß der allgemeinen Definition auf eine gemäß der speziellen zurückführen.
Ferner kann jede so definierte -Algebra auch als -Bimodul aufgefasst werden vermöge .

Weitere Definitionen Bearbeiten

Eine -Algebra heißt endlich, wenn sie aufgefasst als -Modul endlich erzeugt ist. Es sei darauf hingewiesen, dass dies – im Gegensatz zur Verwendung des Wortes „endlich“ für Mengen oder auch für Gruppen oder Körper – nicht bedeutet, dass die zugrundeliegende Menge endlich ist.
Eine -Algebra heißt endlich erzeugt, wenn es für ein einen surjektiven Algebrenhomomorphismus gibt.

Algebrenhomomorphismus Bearbeiten

Zu dieser speziellen Definition einer R-Algebra definiert man einen -Algebrenhomomorphismus von nach als einen Ringhomomorphismus von nach , für den zusätzlich gilt, dass ist.

Beispiele Bearbeiten

Jeder Ring ist eine -Algebra, also eine Algebra über dem kommutativen Ring der ganzen Zahlen.
Jeder kommutative Ring ist eine Algebra über sich selbst.
Für einen kommutativen Ring , der nicht der Nullring ist, ist der Polynomring eine endlich erzeugte, aber keine endliche -Algebra.

Literatur Bearbeiten

Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Band 211). 3. Auflage. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X.
Michael Francis Atiyah, Ian Macdonald: Introduction to Commutative Algebra (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Westview Press, University of Oxford 1969, ISBN 978-0-201-40751-8.
Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 6. Auflage. Springer, 2021, ISBN 978-3-662-62615-3.

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Veröffentlichungsdatum: November 29, 2023, 09:44 am

Als Algebra uber einem kommutativen Ring oder R displaystyle R Algebra wobei R displaystyle R ein kommutativer Ring ist bezeichnet man eine algebraische Struktur die aus einem Modul uber einem kommutativen Ring und einer zusatzlichen mit der Modulstruktur vertraglichen Algebra Multiplikation besteht Insbesondere ist eine Algebra uber einem kommutativen Ring eine Verallgemeinerung der Algebra uber einem Korper Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Definition 1 1 Algebrenhomomorphismus 2 Spezielle Definition 2 1 Eigenschaften 2 2 Weitere Definitionen 2 3 Algebrenhomomorphismus 3 Beispiele 4 LiteraturAllgemeine Definition BearbeitenSei R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring A displaystyle A nbsp ein R displaystyle R nbsp Modul und A A A displaystyle cdot colon A times A to A nbsp eine zweistellige Verknupfung auf A displaystyle A nbsp genannt Multiplikation Das Paar A displaystyle A cdot nbsp heisst R displaystyle R nbsp Algebra wenn die Multiplikation displaystyle cdot nbsp bilinear ist d 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displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring Unter einer R displaystyle R nbsp Algebra versteht man einen Ring A displaystyle A nbsp zusammen mit einem Ringhomomorphismus f R A displaystyle varphi R to A nbsp derart dass alle Elemente von f R displaystyle varphi R nbsp mit den Elementen aus A displaystyle A nbsp vertauschbar sind r R a A f r a a f r displaystyle forall r in R a in A varphi r a a varphi r nbsp Eine Algebra A f displaystyle A varphi nbsp bezeichnet man in der Regel einfach mit A displaystyle A nbsp Man unterdruckt also den sogenannten Strukturhomomorphismus f displaystyle varphi nbsp in der Notation Hierbei wird dann r a displaystyle r cdot a nbsp statt f r a displaystyle varphi r a nbsp geschrieben sodass der Strukturhomomorphismus durch f R A displaystyle varphi R to A nbsp r r 1 A displaystyle r mapsto r cdot 1 A nbsp gegeben ist Sofern dieser jedoch nicht injektiv ist ist es nicht moglich die Elemente r R displaystyle r in R nbsp mit ihren Bildern r 1 A A displaystyle r cdot 1 A in A nbsp zu identifizieren Eigenschaften Bearbeiten Jede so definierte R displaystyle R nbsp Algebra kann als R displaystyle R nbsp Algebra gemass der allgemeinen Definition aufgefasst werden indem man die Skalarmultiplikation als l a a l a displaystyle lambda a alpha lambda cdot a nbsp setzt Dagegen lasst sich nicht jede R displaystyle R nbsp Algebra gemass der allgemeinen Definition auf eine gemass der speziellen zuruckfuhren Ferner kann jede so definierte R displaystyle R nbsp Algebra auch als R displaystyle R nbsp Bimodul aufgefasst werden vermoge r a r a r a a r displaystyle r cdot a cdot r alpha r cdot a cdot alpha r nbsp Weitere Definitionen Bearbeiten Eine R displaystyle R nbsp Algebra heisst endlich wenn sie aufgefasst als R displaystyle R nbsp Modul endlich erzeugt ist Es sei darauf hingewiesen dass dies im Gegensatz zur Verwendung des Wortes endlich fur Mengen oder auch fur Gruppen oder Korper nicht bedeutet dass die zugrundeliegende Menge endlich ist Eine R displaystyle R nbsp Algebra A displaystyle A nbsp heisst endlich erzeugt wenn es fur ein n 0 displaystyle n geq 0 nbsp einen surjektiven Algebrenhomomorphismus R X 1 X n A displaystyle R X 1 ldots X n longrightarrow A nbsp gibt Algebrenhomomorphismus Bearbeiten Zu dieser speziellen Definition einer R Algebra definiert man einen R displaystyle R nbsp Algebrenhomomorphismus f displaystyle varphi nbsp von A a displaystyle A alpha nbsp nach B b displaystyle B beta nbsp als einen Ringhomomorphismus von A displaystyle A nbsp nach B displaystyle B nbsp fur den zusatzlich gilt dass f a b displaystyle varphi circ alpha beta nbsp ist Beispiele BearbeitenJeder Ring ist eine Z displaystyle mathbb Z nbsp Algebra also eine Algebra uber dem kommutativen Ring Z displaystyle mathbb Z nbsp der ganzen Zahlen Jeder kommutative Ring ist eine Algebra uber sich selbst Fur einen kommutativen Ring R displaystyle R nbsp der nicht der Nullring ist ist der Polynomring R X displaystyle R X nbsp eine endlich erzeugte aber keine endliche R displaystyle R nbsp Algebra Literatur BearbeitenSerge Lang Algebra Graduate Texts in Mathematics Band 211 3 Auflage Springer New York 2002 ISBN 0 387 95385 X Michael Francis Atiyah Ian Macdonald Introduction to Commutative Algebra Addison Wesley Series in Mathematics Westview Press University of Oxford 1969 ISBN 978 0 201 40751 8 Siegfried Bosch Lineare Algebra 6 Auflage Springer 2021 ISBN 978 3 662 62615 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Algebra uber einem kommutativen Ring amp oldid 227310316