Wenn R displaystyle R ein kommutativer Ring mit einer 1 displaystyle 1 ist dann ist der Polynomring R X displaystyle R X die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus dem Ring R displaystyle R und der Variablen X displaystyle X zusammen mit der ublichen Addition und Multiplikation von Polynomen Davon zu unterscheiden sind in der abstrakten Algebra die Polynomfunktionen nicht zuletzt weil unterschiedliche Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren konnen Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Der Polynomring R X 1 2 Der Polynomring in mehreren Veranderlichen 1 3 Der Quotientenkorper 2 Eigenschaften 2 1 Gradsatz 2 2 Gradsatz fur Polynome in mehreren Veranderlichen 2 3 Elementare Operationen Polynomalgebra 2 4 Homomorphismen 2 5 Algebraische Eigenschaften 3 Polynomfunktion und Einsetzungshomomorphismus 3 1 Beispiele 3 2 Polynomfunktionen 4 Beispiele 4 1 Ein Polynom uber einem endlichen Korper 4 2 Polynome mit zwei Veranderlichen 4 3 Polynome im Komplexen 5 LiteraturDefinitionen BearbeitenDer Polynomring R X Bearbeiten Sei R ein Ring mit 1 Dann ist R X displaystyle R X nbsp die Menge R N 0 a i i N 0 a i R a i 0 f u r fast alle i displaystyle R mathbb N 0 left a i i in mathbb N 0 mid a i in R a i 0 mathrm f ddot u r text fast alle i right nbsp der Folgen in R displaystyle R nbsp bei denen fast alle also alle bis auf endlich viele Folgenglieder gleich 0 displaystyle 0 nbsp sind Die Addition wird komponentenweise durchgefuhrt a i i N 0 b i i N 0 a i b i i N 0 displaystyle a i i in mathbb N 0 b i i in mathbb N 0 a i b i i in mathbb N 0 nbsp und die Faltung der Folgen definiert die Multiplikation a i i N 0 b i i N 0 i 0 k a i b k i k N 0 i j k a i b j k N 0 displaystyle a i i in mathbb N 0 cdot b i i in mathbb N 0 left sum i 0 k a i b k i right k in mathbb N 0 left sum i j k a i b j right k in mathbb N 0 nbsp Durch diese Verknupfungen wird auf dem Raum der endlichen Folgen eine Ringstruktur definiert dieser Ring wird als R X displaystyle R X nbsp bezeichnet In diesem Ring wird X R N 0 displaystyle X in R mathbb N 0 nbsp definiert als X X 1 0 1 0 0 displaystyle X X 1 0 1 0 0 dotsc nbsp und die 1 R N 0 displaystyle 1 in R mathbb N 0 nbsp ist 1 X 0 1 0 0 0 displaystyle 1 X 0 1 0 0 0 dotsc nbsp Aus der Definition der Multiplikation durch Faltung folgt dann dass X k X X X k mal das X 0 0 0 k Nullen 1 0 0 displaystyle X k underbrace X cdot X dotsm X k text mal das X underbrace 0 0 dotsc 0 k text Nullen 1 0 0 dotsc nbsp ist und in der Klammer rechts genau an der k 1 displaystyle k 1 nbsp ten Stelle eine Eins steht ansonsten besteht die Folge ausschliesslich aus Nullen Mit dem Erzeuger X displaystyle X nbsp kann nun jedes Element f displaystyle f nbsp aus R N 0 displaystyle R mathbb N 0 nbsp eindeutig in der gelaufigen Polynomschreibweise f a 0 a 1 X a 2 X 2 a n X n i 0 n a i X i displaystyle f a 0 a 1 X a 2 X 2 dotsb a n X n sum i 0 n a i X i nbsp dargestellt werden Die einzelnen Folgenglieder a i displaystyle a i nbsp nennt man die Koeffizienten des Polynoms Damit erhalt man den Polynomring R X displaystyle R X nbsp uber R displaystyle R nbsp in der Unbestimmten X displaystyle X nbsp Der Polynomring in mehreren Veranderlichen Bearbeiten Der Polynomring in mehreren Veranderlichen wird rekursiv definiert durch R X 1 X n R X 1 X n 1 X n displaystyle R X 1 dotsc X n R X 1 dotsc X n 1 X n nbsp Man betrachtet hier also Polynome in der Variablen X n displaystyle X n nbsp mit Koeffizienten aus dem Polynomring R X 1 X n 1 displaystyle R X 1 dotsc X n 1 nbsp wobei dieser wieder genauso definiert ist Dies kann man solange fortsetzen bis man bei der Definition des Polynomrings in einer Veranderlichen angekommen ist In R X 1 X n displaystyle R X 1 dotsc X n nbsp kann man jedes Element eindeutig als k k 1 k n N 0 n a k X 1 k 1 X n k n displaystyle sum k k 1 dotsc k n in mathbb N 0 n a k X 1 k 1 dotsm X n k n nbsp schreiben Der Polynomring in beliebig vielen Unbestimmten mit einer Indexmenge J displaystyle J nbsp kann entweder als der Monoidring uber dem freien kommutativen Monoid uber J displaystyle J nbsp oder als der Kolimes der Polynomringe uber endliche Teilmengen von J displaystyle J nbsp definiert werden Der Quotientenkorper Bearbeiten Ist K displaystyle K nbsp ein Korper so ist K X displaystyle K X nbsp die Bezeichnung fur den Quotientenkorper von K X displaystyle K X nbsp den rationalen Funktionenkorper Analog wird der Quotientenkorper eines Polynomrings K X 1 X n displaystyle K X 1 dotsc X n nbsp uber mehreren Unbestimmten mit K X 1 X n displaystyle K X 1 dotsc X n nbsp bezeichnet Eigenschaften BearbeitenGradsatz Bearbeiten Die Funktion deg R X N 0 f max k N 0 a k 0 wenn f 0 wenn f 0 displaystyle begin array rccl deg colon amp R X amp to amp quad mathbb N 0 cup infty amp f amp mapsto amp begin cases max left k in mathbb N 0 mid a k neq 0 right amp text wenn f neq 0 infty amp text wenn f 0 end cases end array nbsp definiert den Grad des Polynoms f displaystyle f nbsp in der Unbestimmten X displaystyle X nbsp Hierbei gelten fur displaystyle infty nbsp die ublichen Massgaben fur Vergleich und Addition fur alle k N 0 displaystyle k in mathbb N 0 nbsp gilt lt k displaystyle infty lt k nbsp und k displaystyle infty k infty nbsp Der Koeffizient a deg f displaystyle a deg f nbsp wird der Leitkoeffizient von f 0 displaystyle f neq 0 nbsp genannt Es gilt fur alle f g R X displaystyle f g in R X nbsp deg f g deg f deg g displaystyle deg f cdot g leq deg f deg g nbsp Enthalt R displaystyle R nbsp keine Nullteiler praziser sind die Leitkoeffizienten keine Nullteiler gilt die Gleichheit deg f g max deg f deg g displaystyle deg f g leq max deg f deg g nbsp Aus diesem Gradsatz folgt insbesondere dass wenn R displaystyle R nbsp ein Korper ist die Einheiten genau den Polynomen mit Grad null entsprechen und das sind die Konstanten ungleich null Bei einem Korper R displaystyle R nbsp wird R X displaystyle R X nbsp durch die Gradfunktion zu einem euklidischen Ring Es gibt eine Division mit Rest bei der der Rest einen kleineren Grad als der Divisor hat BeispieleSei R Z displaystyle R mathbb Z nbsp der Ring der ganzen Zahlen Dann sind f 1 2 X 0 displaystyle f 1 2X neq 0 nbsp und g 1 3 X 0 displaystyle g 1 3X neq 0 nbsp beide vom Grad 1 Das Produkt f g 1 5 X 6 X 2 displaystyle f cdot g 1 5X 6X 2 nbsp hat den Grad 2 wie sich auch aus deg f g deg f deg g displaystyle operatorname deg f cdot g operatorname deg f operatorname deg g nbsp ausrechnet Sei R Z 6 Z displaystyle R mathbb Z 6 mathbb Z nbsp der Restklassenring modulo 6 ein Ring mit den nicht trivialen Nullteilern 2 und 3 und wie oben f 1 2 X displaystyle f 1 2X nbsp und g 1 3 X displaystyle g 1 3X nbsp Beide sind 0 mod 6 displaystyle not equiv 0 mod 6 nbsp und auch hier vom Grad 1 Aber f g 1 5 X 6 X 2 1 5 X mod 6 displaystyle f cdot g 1 5X 6X 2 equiv 1 5X mod 6 nbsp hat den Grad 1 und 1 deg f g lt deg f deg g 2 displaystyle 1 operatorname deg f cdot g lt operatorname deg f operatorname deg g 2 nbsp Gradsatz fur Polynome in mehreren Veranderlichen Bearbeiten Bei einem Monom a k 1 k n X 1 k 1 X n k n displaystyle a k 1 dotsc k n X 1 k 1 dotsm X n k n nbsp definiert man die Summe der Exponenten k 1 k n displaystyle k 1 dotsb k n nbsp als den Totalgrad des Monoms falls a k 1 k n 0 displaystyle a k 1 dotsc k n neq 0 nbsp Der Grad d displaystyle d nbsp des nichtverschwindenden Polynoms k k 1 k n N 0 n a k X 1 k 1 X n k n displaystyle sum k k 1 dotsc k n in mathbb N 0 n a k X 1 k 1 dotsm X n k n nbsp in mehreren Veranderlichen wird definiert als der maximale Totalgrad der nichtverschwindenden Monome Eine Summe von Monomen von gleichem Totalgrad ist ein homogenes Polynom Die Summe aller Monome vom Grad d displaystyle d nbsp d i das maximale homogene Unterpolynom von maximalem Grad spielt bezogen auf alle Veranderliche zusammen die Rolle des Leitkoeffizienten Der Leitkoeffizient einer einzelnen Unbestimmten ist ein Polynom in den anderen Unbestimmten Der Gradsatz gilt auch fur Polynome in mehreren Veranderlichen Elementare Operationen Polynomalgebra Bearbeiten In der Polynomschreibweise sehen Addition und Multiplikation fur Elemente f i 0 m f i X i displaystyle textstyle f sum i 0 m f i X i nbsp und g i 0 n g i X i displaystyle textstyle g sum i 0 n g i X i nbsp des Polynomrings R X displaystyle R X nbsp wie folgt aus f g k 0 max m n f k g k X k displaystyle f g sum k 0 max m n f k g k X k nbsp f g k 0 m n i j k f i g j X k displaystyle f cdot g sum k 0 m n left sum i j k f i cdot g j right X k nbsp Der Polynomring R X displaystyle R X nbsp ist nicht nur ein kommutativer Ring sondern auch ein Modul uber R displaystyle R nbsp wobei die Skalarmultiplikation gliedweise definiert ist Damit ist R X displaystyle R X nbsp sogar eine kommutative assoziative Algebra uber R displaystyle R nbsp Homomorphismen Bearbeiten Falls A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp kommutative Ringe mit 1 displaystyle 1 nbsp sind und f A B displaystyle varphi colon A to B nbsp ein Homomorphismus ist dann ist auch f A X B X i 1 n a i X i i 1 n f a i X i displaystyle tilde varphi colon A X to B X quad sum i 1 n a i X i mapsto sum i 1 n varphi a i X i nbsp ein Homomorphismus Falls A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp kommutative Ringe mit 1 displaystyle 1 nbsp sind und f A B displaystyle varphi colon A to B nbsp ein Homomorphismus ist dann gibt es fur jedes b B displaystyle b in B nbsp einen eindeutigen Homomorphismus ϕ b A X B displaystyle phi b colon A X to B nbsp der eingeschrankt auf A displaystyle A nbsp gleich f displaystyle varphi nbsp ist und fur den ϕ b X b displaystyle phi b X b nbsp gilt namlich ϕ b a i X i f a i b i displaystyle phi b left sum a i X i right sum varphi a i b i nbsp Algebraische Eigenschaften Bearbeiten Ist R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring mit 1 displaystyle 1 nbsp so gilt Ist R displaystyle R nbsp nullteilerfrei so auch R X displaystyle R X nbsp Ist R displaystyle R nbsp faktoriell so auch R X displaystyle R X nbsp Lemma von Gauss Ist R displaystyle R nbsp ein Korper so ist R X displaystyle R X nbsp euklidisch und daher ein Hauptidealring Ist R displaystyle R nbsp noethersch so gilt fur die Dimension des Polynomrings in einer Variablen uber R displaystyle R nbsp dim R X dim R 1 displaystyle dim R X dim R 1 nbsp Ist R displaystyle R nbsp noethersch so ist der Polynomring R X 1 X n displaystyle R X 1 dotsc X n nbsp mit Koeffizienten in R displaystyle R nbsp noethersch Hilbertscher Basissatz Ist R displaystyle R nbsp ein Integritatsring und 0 f R X displaystyle 0 neq f in R X nbsp so hat f displaystyle f nbsp maximal deg f displaystyle deg f nbsp Nullstellen Dies ist uber Nicht Integritatsringen im Allgemeinen falsch Ein Polynom f a n X n a 0 R X displaystyle f a n X n dotsb a 0 in R X nbsp ist genau dann in R X displaystyle R X nbsp invertierbar wenn a 0 displaystyle a 0 nbsp invertierbar ist und alle weiteren Koeffizienten nilpotent in R displaystyle R nbsp sind Insbesondere ist ein Polynom f R X displaystyle f in R X nbsp uber einem Integritatsring R displaystyle R nbsp genau dann invertierbar wenn es ein konstantes Polynom a 0 displaystyle a 0 nbsp ist wobei a 0 displaystyle a 0 nbsp eine Einheit in R displaystyle R nbsp ist Polynomfunktion und Einsetzungshomomorphismus Bearbeiten Hauptartikel Satz uber den Einsetzungshomomorphismus Ist f a 0 a 1 X a n X n displaystyle f a 0 a 1 X dotsb a n X n nbsp ein Polynom aus R X displaystyle R X nbsp so nennt man f R R R x f R x a 0 a 1 x a n x n displaystyle f R colon R to R quad x mapsto f R x a 0 a 1 x dotsb a n x n nbsp die zu f displaystyle f nbsp gehorende Polynomfunktion Allgemeiner definiert f displaystyle f nbsp auch fur jeden Ringhomomorphismus ϕ R S displaystyle phi colon R to S nbsp in einen kommutativen Ring S displaystyle S nbsp mit 1 eine Polynomfunktion f S S S x f S x displaystyle f S colon S to S x mapsto f S x nbsp Der Index wird oft weggelassen Umgekehrt haben Polynomringe R X displaystyle R X nbsp uber einem kommutativen Ring R displaystyle R nbsp mit 1 die folgende universelle Eigenschaft Gegeben ein Ring S displaystyle S nbsp kommutativ mit 1 ein Ringhomomorphismus ϕ R S displaystyle phi colon R to S nbsp und ein s S displaystyle s in S nbsp so gibt es genau einen Homomorphismus F R X S displaystyle Phi colon R left X right to S nbsp mit F X s displaystyle Phi X s nbsp so dass F displaystyle Phi nbsp eine Fortsetzung von ϕ displaystyle phi nbsp ist also F R ϕ displaystyle Phi mid R phi nbsp gilt dd Diese Eigenschaft wird universell genannt weil sie den Polynomring R X displaystyle R X nbsp bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt Der Homomorphismus F a 0 a 1 X a 2 X 2 a n X n a 0 a 1 s a n s n displaystyle Phi colon a 0 a 1 X a 2 X 2 dotsb a n X n longmapsto a 0 a 1 s dotsb a n s n nbsp wird der Auswertung shomomorphismus fur s displaystyle s nbsp oder Einsetzung shomomorphismus von s displaystyle s nbsp genannt Beispiele Bearbeiten Setzen wir S R X displaystyle S R X nbsp und s X displaystyle s X nbsp so ist F X R X R X f f R X X f displaystyle Phi X colon R X to R X f mapsto f R X X f nbsp die identische Abbildung F X Id R X displaystyle Phi X operatorname Id R X nbsp Betrachten wir einen Polynomring R X X 1 X 2 X n displaystyle R X X 1 X 2 dotsc X n nbsp mit zusatzlichen Unbestimmten X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dotsc X n nbsp s Polynome mit mehreren Veranderlichen als Erweiterung von R X displaystyle R X nbsp ergibt sich analog zur Konstruktion aus vorigem Beispiel der Einsetzungshomomorphismus F X R X R X Y f f R X Y X f displaystyle Phi X colon R X to R X Y f mapsto f R X Y X f nbsp als Monomorphismus von R X displaystyle R X nbsp in R X X 1 X 2 X n displaystyle R X X 1 X 2 dotsc X n nbsp Polynomfunktionen Bearbeiten Ist R displaystyle R nbsp ein Ring kommutativ mit 1 dann ist auch die Menge Abb R R displaystyle operatorname Abb R R nbsp der Abbildungen von R displaystyle R nbsp in sich ein Ring und nach der universellen Eigenschaft gibt es einen Homomorphismus F R X Abb R R displaystyle Phi colon R left X right to operatorname Abb R R nbsp mit F a c a displaystyle Phi a c a nbsp die konstante Abbildung fur alle a R displaystyle a in R nbsp und F X i d R displaystyle Phi X id R nbsp die Identitatsabbildung f F f displaystyle overline f Phi f nbsp ist die dem Polynom f displaystyle f nbsp zugeordnete Polynomfunktion Der Homomorphismus f f displaystyle f to overline f nbsp ist nicht notwendig injektiv zum Beispiel ist fur R Z 2 Z displaystyle R mathbb Z 2 mathbb Z nbsp und f X 2 X R X displaystyle f X 2 X in R left X right nbsp die zugehorige Polynomfunktion f 0 displaystyle overline f 0 nbsp Beispiele BearbeitenEin Polynom uber einem endlichen Korper Bearbeiten Da in dem endlichen Korper F q displaystyle mathbb F q nbsp die Einheitengruppe zyklisch mit der Ordnung q 1 displaystyle q 1 nbsp ist gilt fur x F q displaystyle x in mathbb F q nbsp die Gleichung x q x displaystyle x q x nbsp Deswegen ist die Polynomfunktion f F q F q F q displaystyle f mathbb F q colon mathbb F q to mathbb F q nbsp des Polynoms f X q X a F q X a F q X displaystyle f X q X prod a in mathbb F q X a in mathbb F q X nbsp die Nullfunktion obwohl f displaystyle f nbsp nicht das Nullpolynom ist Ist q displaystyle q nbsp eine Primzahl dann entspricht dies genau dem kleinen fermatschen Satz Polynome mit zwei Veranderlichen Bearbeiten Ist f Z X displaystyle f in mathbb Z X nbsp oder f R X displaystyle f in mathbb R X nbsp ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom so ist die Anzahl der Nullstellen von f displaystyle f nbsp endlich Bei Polynomen mit mehreren Unbestimmten kann die Nullstellenmenge ebenfalls endlich sein Das Polynom f X 2 X 3 2 Y 2 R X Y displaystyle f X 2 X 3 2 Y 2 in mathbb R X Y nbsp hat die Nullstellen 2 0 displaystyle 2 0 nbsp und 3 0 displaystyle 3 0 nbsp in R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp Es kann aber ebenso unendliche Nullstellenmengen geben Das Polynom f X 2 Y 2 1 R X Y displaystyle f X 2 Y 2 1 in mathbb R X Y nbsp besitzt als Nullstellenmenge die Einheitskreislinie x y R 2 x 2 y 2 1 displaystyle x y in mathbb R 2 x 2 y 2 1 nbsp welche eine kompakte Teilmenge von R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp ist Das Polynom g Y X 2 R X Y displaystyle g Y X 2 in mathbb R X Y nbsp besitzt ebenfalls eine unendliche Nullstellenmenge namlich den Funktionsgraphen der Normalparabel welcher nicht kompakt ist Das Studium von Nullstellenmengen polynomialer Gleichungen mit mehreren Unbestimmten fuhrte zur Entwicklung des mathematischen Teilgebiets der algebraischen Geometrie Polynome im Komplexen Bearbeiten Jedes komplexe Polynom f C X displaystyle f in mathbb C X nbsp vom Grad n displaystyle n nbsp hat genau n displaystyle n nbsp Nullstellen in C displaystyle mathbb C nbsp wenn man jede Nullstelle gemass ihrer Vielfachheit zahlt Dabei heisst eine Nullstelle z displaystyle z nbsp k displaystyle k nbsp fach falls X z k displaystyle X z k nbsp ein Teiler von f displaystyle f nbsp ist X z k 1 displaystyle X z k 1 nbsp dagegen nicht mehr Insbesondere gilt dieser Fundamentalsatz der Algebra auch fur reelle Polynome f R X displaystyle f in mathbb R X nbsp wenn man diese als Polynome in C X displaystyle mathbb C X nbsp auffasst Zum Beispiel hat das Polynom X 2 1 displaystyle X 2 1 nbsp die Nullstellen i displaystyle mathrm i nbsp und i displaystyle mathrm i nbsp da i 2 1 displaystyle mathrm i 2 1 nbsp und ebenso i 2 1 displaystyle mathrm i 2 1 nbsp also gilt X 2 1 X i X i displaystyle X 2 1 X mathrm i X mathrm i nbsp Literatur BearbeitenSiegfried Bosch Algebra 7 Auflage Springer Verlag 2009 ISBN 3 540 40388 4 doi 10 1007 978 3 540 92812 6 Serge Lang Algebra 3 Auflage Graduate Texts in Mathematics Springer Verlag 2005 ISBN 978 0387953854 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Polynomring amp oldid 236030021
