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Hilbertscher Basissatz Der Hilbertsche Basissatz nach David Hilbert 1 ist ein grundlegender Satz in der algebraischen Ge

Hilbertscher Basissatz

Der Hilbertsche Basissatz (nach David Hilbert) ist ein grundlegender Satz in der algebraischen Geometrie, er verbindet verschiedene Endlichkeitsbedingungen.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Formulierung Bearbeiten

Der Hilbertsche Basissatz besagt in seiner allgemeinen Form:

Da die Algebren endlichen Typs genau die Quotientenringe von Polynomringen sind, ist diese Aussage äquivalent zu:

  • Ist ein noetherscher Ring und eine -Algebra endlichen Typs, so ist auch noethersch.

Die (bis auf den Sprachgebrauch) 1888 von Hilbert bewiesene Fassung behandelt den Spezialfall des Körpers:

  • Der Polynomring über einem Körper ist noethersch.

Folgerung Bearbeiten

Eine wichtige Anwendung ist die folgende Aussage: Ist eine Teilmenge eines für einen Körper durch unendlich viele Polynomgleichungen beschrieben, so genügen bereits endlich viele von ihnen.

Formaler: Sei eine beliebige Menge von Polynomen mit der Menge der gemeinsamen Nullstellen (auch Verschwindungsmenge von genannt):

Dann gibt es endlich viele , so dass gilt

Dies ist der schwierigste Teil des Beweises der Aussage, dass die Zariski-Topologie eine Topologie ist.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Hilbert, Ueber die Theorie der algebraischen Formen, Mathematische Annalen, Band 36, 1890, S. 473–534
  2. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel I, §2, Satz 2.3 (sehr kurzer Beweis)
  3. B. L. van der Waerden: Algebra II, Springer-Verlag (1967), ISBN 3-540-03869-8, §115
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Der Hilbertsche Basissatz nach David Hilbert 1 ist ein grundlegender Satz in der algebraischen Geometrie er verbindet verschiedene Endlichkeitsbedingungen Dieser Artikel beschaftigt sich mit kommutativer Algebra Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement Fur weitere Details siehe Kommutative Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Folgerung 3 Siehe auch 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseFormulierung BearbeitenDer Hilbertsche Basissatz besagt in seiner allgemeinen Form Ist A displaystyle A nbsp ein noetherscher Ring so ist jeder Polynomring A X 1 X n displaystyle A X 1 ldots X n nbsp mit Koeffizienten in A displaystyle A nbsp noethersch 2 3 Da die Algebren endlichen Typs genau die Quotientenringe von Polynomringen sind ist diese Aussage aquivalent zu Ist A displaystyle A nbsp ein noetherscher Ring und B displaystyle B nbsp eine A displaystyle A nbsp Algebra endlichen Typs so ist auch B displaystyle B nbsp noethersch Die bis auf den Sprachgebrauch 1888 von Hilbert bewiesene Fassung behandelt den Spezialfall des Korpers Der Polynomring k X 1 X n displaystyle k X 1 ldots X n nbsp uber einem Korper k displaystyle k nbsp ist noethersch Folgerung BearbeitenEine wichtige Anwendung ist die folgende Aussage Ist eine Teilmenge eines k n displaystyle k n nbsp fur einen Korper k displaystyle k nbsp durch unendlich viele Polynomgleichungen beschrieben so genugen bereits endlich viele von ihnen Formaler Sei F k X 1 X n displaystyle mathcal F subset k X 1 ldots X n nbsp eine beliebige Menge von Polynomen mit der Menge der gemeinsamen Nullstellen auch Verschwindungsmenge von F displaystyle mathcal F nbsp genannt V V F x 1 x n k n f x 1 x n 0 fur alle f F displaystyle V V mathcal F x 1 ldots x n in k n f x 1 ldots x n 0 mbox fur alle f in mathcal F nbsp dd dd Dann gibt es endlich viele f 1 f m F displaystyle f 1 ldots f m in mathcal F nbsp so dass gilt V x 1 x n k n f i x 1 x n 0 fur alle i 1 m displaystyle V x 1 ldots x n in k n f i x 1 ldots x n 0 mbox fur alle i 1 ldots m nbsp dd dd Dies ist der schwierigste Teil des Beweises der Aussage dass die Zariski Topologie eine Topologie ist Siehe auch Bearbeitenalgebraische Varietat GrobnerbasisWeblinks BearbeitenV I Danilov Hilbert s basis theorem Encyclopedia of Mathematics SpringerEinzelnachweise Bearbeiten Hilbert Ueber die Theorie der algebraischen Formen Mathematische Annalen Band 36 1890 S 473 534 Ernst Kunz Einfuhrung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie Vieweg 1980 ISBN 3 528 07246 6 Kapitel I 2 Satz 2 3 sehr kurzer Beweis B L van der Waerden Algebra II Springer Verlag 1967 ISBN 3 540 03869 8 115 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hilbertscher Basissatz amp oldid 171786093