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Euklidischer Ring In der Mathematik ist ein euklidischer Ring ein Ring in dem eine verallgemeinerte Division mit Rest vo

Euklidischer Ring

In der Mathematik ist ein euklidischer Ring ein Ring, in dem eine verallgemeinerte Division mit Rest vorhanden ist, wie man sie von den ganzen Zahlen kennt. Dabei wird „Rest“ durch eine geeignete Bewertungsfunktion definiert.

Definitionen Bearbeiten

Es gibt in der Literatur und in der akademischen und wissenschaftlichen Praxis eine ganze Reihe verschiedener, aber ähnlicher Definitionen eines euklidischen Ringes. Oft sind darin bereits speziellere Eigenschaften enthalten, was z. B. Erleichterungen in der Formulierung der im Weiteren aufgespannten Theorie bringen kann. All diesen Definitionsvarianten ist jedoch gemeinsam, dass in einem euklidischen Ring eine Division mit Rest und damit ein euklidischer Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier Ringelemente möglich ist. Von dieser Eigenschaft ist der Name abgeleitet.

Variante 1 Bearbeiten

Ein Integritätsring (auch als Integritätsbereich bezeichnet, also ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit 1) heißt euklidischer Ring, falls eine Bewertungsfunktion mit folgenden Eigenschaften existiert:

  • für alle mit existieren Elemente mit (Division mit Rest), wobei entweder oder ist, und
  • für gilt stets .

Die Bewertungsfunktion heißt dann auch euklidische Normfunktion (euklidischer Betrag) des Ringes.

Variante 2 Bearbeiten

Die obenstehende Definition ist fast äquivalent zu der folgenden, ebenfalls häufig verwendeten, in der jedoch zusätzlich eine Bewertung für die Null vorgegeben wird.

Definition:
Ein Integritätsring heißt euklidischer Ring, falls eine Bewertungsfunktion existiert mit folgenden Eigenschaften:

  • für alle mit existieren Elemente mit (Division mit Rest), wobei ist, und
  • für gilt stets .

Variante 3 Bearbeiten

Eine andere Variante liefert die folgende

Definition:
Ein Integritätsring (hier nur: ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit wenigstens einem von Null verschiedenen Element) heißt euklidischer Ring, falls eine Gradfunktion existiert mit folgenden Eigenschaften:

  • für alle mit existieren Elemente mit (Division mit Rest), wobei entweder oder ist.

Variante 3 wirkt nur vermeintlich schwächer. Tatsächlich gilt: Existiert auf einem Integritätsring (mit 1) eine der drei oben genannten Bewertungsfunktionen, so gibt es auch Bewertungsfunktionen, die den anderen beiden Definitionen entsprechen. Daraus folgt, dass die drei Definitionen von euklidischer Ring äquivalent sind, obwohl die Definition von Bewertungsfunktion abweichen.

Eine weitere äquivalente, aber seltener verwendete Variante, in der die Bewertungsfunktion reellwertig ist:

Variante 4 Bearbeiten

Definition:
Ein Integritätsring heißt euklidischer Ring, falls eine Wertefunktion (bzw. Bewertungsfunktion) existiert mit folgenden Eigenschaften:

  • für alle mit existieren Elemente mit (Division mit Rest), wobei entweder oder ist, und
  • zu gegebenem gibt es höchstens endlich viele reelle Zahlen aus dem Wertebereich von , die kleiner sind als . Formaler: : .

Eigenschaften Bearbeiten

  • Für Bewertungsfunktionen der Varianten 1 und 2 gilt: Assoziierte Elemente werden identisch bewertet, insbesondere sind die Einheiten die (vom Nullelement abgesehen) minimal bewerteten Elemente des Rings.
  • Es lässt sich zeigen, dass jeder euklidische Ring eine minimale Bewertungsfunktion besitzt; diese ist von der obigen Variante 2. Es existiert sogar ein Algorithmus zu ihrer iterativen Bestimmung. Das Finden einer geschlossenen Form für diese minimale Bewertungsfunktion ist jedoch im Allgemeinen sehr aufwendig.
  • Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealbereich, denn wenn ein minimal bewertetes Element eines Ideals ist, so ist , also ein Hauptideal. Insbesondere ist jeder euklidische Ring faktoriell.

Beispiele für euklidische und nichteuklidische Ringe Bearbeiten

  • Der Ring der ganzen Zahlen ist ein euklidischer Ring. Die natürlichste Wahl für einen euklidischen Betrag ist
    Der minimale euklidische Betrag einer ganzen Zahl ist gegeben durch die Länge der Binärdarstellung ihres Absolutbetrages.
  • Jeder Körper ist ein euklidischer Ring mit Bewertungsfunktion und für
  • Der Polynomring über einem Körper in einer Variablen ist ein euklidischer Ring, wobei die euklidische Norm durch den Grad eines Polynoms gegeben ist; dies ist bereits die minimale euklidische Norm.
  • Dagegen ist z. B. der Polynomring kein euklidischer Ring, da das Ideal kein Hauptideal ist.
  • Der Ring der gaußschen Zahlen mit der quadratischen Norm (Absolutbetrag) ist ein euklidischer Ring.
  • Der Ring ist nicht euklidisch, da und 4 keinen ggT haben (zwei „maximale gemeinsame Teiler“ sind und 2, die aber teilerfremd sind).
  • Der Ganzheitsring des quadratischen Körpers mit quadratfreiem ist genau dann euklidisch mit der quadratischen Norm, wenn eine der folgenden 21 Zahlen ist:
    −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73
    entspricht den gaußschen Zahlen, den Eisenstein-Zahlen und dem Ring
    Es gibt jedoch andere, z. B. , für die der Ring mit einer anderen Norm euklidisch ist.

Verallgemeinerung auf Ringe mit Nullteilern Bearbeiten

Die Definitionen lassen sich auf Ringe übertragen, die nicht nullteilerfrei sind. Die obigen Aussagen über die verschiedenen Varianten von Definitionen bleiben bestehen, wobei ggf. die Ungleichung für zu fordern ist. Solche Ringe haben wie im nullteilerfreien Fall die Eigenschaft, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist. Sie sind also ein Hauptidealring im erweiterten Sinne („principal ideal ring“ oder PIR), aber eben kein Hauptidealbereich („principal ideal domain“ oder PID).

Verallgemeinerung auf nicht-kommutative Ringe Bearbeiten

Die Definitionen lassen sich sogar auf nicht-kommutative Ringe verallgemeinern, man spricht dann von links- bzw. rechtseuklidisch. Die Hurwitzquaternionen sind ein Beispiel für einen nicht-kommutativen Ring, der mit seiner Norm als euklidischer Norm sowohl links- als auch rechtseuklidisch ist.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Kurt Meyberg: Algebra – Teil 1, Carl Hanser Verlag München, Wien.
  2. ↑ Pierre Samuel: About Euclidean rings. In: Journal of Algebra. Band 19, Nr. 2, Oktober 1971, ISSN 0021-8693, S. 282–301, doi:10.1016/0021-8693(71)90110-4.
  3. Bernhard Hornfeck: Algebra. 3. Auflage, De Gruyter 1976. ISBN 3-11-006784-6, S. 142
  4. László Rédei: Zur Frage des Euklidischen Algorithmus in quadratischen Zahlkörpern. In: Mathematische Annalen. 118. Jahrgang, 1942, S. 588–608 (uni-goettingen.de).
  5. Eric W. Weisstein: Quadratic Field. In: MathWorld (englisch).
  6. Folge A048981 in OEIS
  7. David A. Clark: A quadratic field which is euclidean but not norm-euclidean. In: Manuscripta Math. 83. Jahrgang, 1994, S. 327–330 (englisch, (Memento des Originals vom 29. Januar 2015 im Internet Archive) [abgerufen am 8. Januar 2013]).
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist ein euklidischer Ring ein Ring in dem eine verallgemeinerte Division mit Rest vorhanden ist wie man sie von den ganzen Zahlen kennt Dabei wird Rest durch eine geeignete Bewertungsfunktion definiert Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Variante 1 1 2 Variante 2 1 3 Variante 3 1 4 Variante 4 2 Eigenschaften 3 Beispiele fur euklidische und nichteuklidische Ringe 4 Verallgemeinerung auf Ringe mit Nullteilern 5 Verallgemeinerung auf nicht kommutative Ringe 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenEs gibt in der Literatur und in der akademischen und wissenschaftlichen Praxis eine ganze Reihe verschiedener aber ahnlicher Definitionen eines euklidischen Ringes Oft sind darin bereits speziellere Eigenschaften enthalten was z B Erleichterungen in der Formulierung der im Weiteren aufgespannten Theorie bringen kann All diesen Definitionsvarianten ist jedoch gemeinsam dass in einem euklidischen Ring eine Division mit Rest und damit ein euklidischer Algorithmus zur Bestimmung des grossten gemeinsamen Teilers ggT zweier Ringelemente moglich ist Von dieser Eigenschaft ist der Name abgeleitet Variante 1 Bearbeiten Ein Integritatsring R displaystyle R nbsp auch als Integritatsbereich bezeichnet also ein kommutativer nullteilerfreier Ring mit 1 heisst euklidischer Ring falls eine Bewertungsfunktion g R 0 N 0 displaystyle g colon R setminus 0 to mathbb N 0 nbsp mit folgenden Eigenschaften existiert fur alle x y R displaystyle x y in R nbsp mit y 0 displaystyle y neq 0 nbsp existieren Elemente q r R displaystyle q r in R nbsp mit x q y r displaystyle x qy r nbsp Division mit Rest wobei entweder r 0 displaystyle r 0 nbsp oder g r lt g y displaystyle g r lt g y nbsp ist und fur x y R 0 displaystyle x y in R setminus 0 nbsp gilt stets g x y g x displaystyle g xy geq g x nbsp Die Bewertungsfunktion g displaystyle g nbsp heisst dann auch euklidische Normfunktion euklidischer Betrag des Ringes Variante 2 Bearbeiten Die obenstehende Definition ist fast aquivalent zu der folgenden ebenfalls haufig verwendeten in der jedoch zusatzlich eine Bewertung fur die Null vorgegeben wird Definition Ein Integritatsring R displaystyle R nbsp heisst euklidischer Ring falls eine Bewertungsfunktion g R N 0 displaystyle g colon R to mathbb N 0 nbsp existiert mit folgenden Eigenschaften g 0 0 displaystyle g 0 0 nbsp fur alle x y R displaystyle x y in R nbsp mit y 0 displaystyle y neq 0 nbsp existieren Elemente q r R displaystyle q r in R nbsp mit x q y r displaystyle x qy r nbsp Division mit Rest wobei g r lt g y displaystyle g r lt g y nbsp ist und fur x y R 0 displaystyle x y in R setminus 0 nbsp gilt stets g x y g x displaystyle g xy geq g x nbsp Variante 3 Bearbeiten Eine andere Variante liefert die folgendeDefinition 1 Ein Integritatsring R displaystyle R nbsp hier nur ein kommutativer nullteilerfreier Ring mit wenigstens einem von Null verschiedenen Element heisst euklidischer Ring falls eine Gradfunktion g R 0 N 0 displaystyle g colon R setminus 0 to mathbb N 0 nbsp existiert mit folgenden Eigenschaften fur alle x y R displaystyle x y in R nbsp mit y 0 displaystyle y neq 0 nbsp existieren Elemente q r R displaystyle q r in R nbsp mit x q y r displaystyle x qy r nbsp Division mit Rest wobei entweder r 0 displaystyle r 0 nbsp oder g r lt g y displaystyle g r lt g y nbsp ist Variante 3 wirkt nur vermeintlich schwacher Tatsachlich gilt Existiert auf einem Integritatsring mit 1 eine der drei oben genannten Bewertungsfunktionen so gibt es auch Bewertungsfunktionen die den anderen beiden Definitionen entsprechen 2 Daraus folgt dass die drei Definitionen von euklidischer Ring aquivalent sind obwohl die Definition von Bewertungsfunktion abweichen Eine weitere aquivalente aber seltener verwendete Variante in der die Bewertungsfunktion reellwertig ist Variante 4 Bearbeiten Definition 3 Ein Integritatsring R displaystyle R nbsp heisst euklidischer Ring falls eine Wertefunktion bzw Bewertungsfunktion g R 0 R displaystyle g colon R setminus 0 to mathbb R nbsp existiert mit folgenden Eigenschaften fur alle x y R displaystyle x y in R nbsp mit y 0 displaystyle y neq 0 nbsp existieren Elemente q r R displaystyle q r in R nbsp mit x q y r displaystyle x qy r nbsp Division mit Rest wobei entweder r 0 displaystyle r 0 nbsp oder g r lt g y displaystyle g r lt g y nbsp ist und zu gegebenem s R displaystyle s in mathbb R nbsp gibt es hochstens endlich viele reelle Zahlen w i displaystyle w i nbsp aus dem Wertebereich W d e f g a a R 0 displaystyle W stackrel mathrm def g a mid a in R setminus 0 nbsp von g displaystyle g nbsp die kleiner sind als s displaystyle s nbsp Formaler n N displaystyle exists n in mathbb N nbsp card w i W w i lt s n displaystyle operatorname card w i in W mid w i lt s n nbsp Eigenschaften BearbeitenFur Bewertungsfunktionen der Varianten 1 und 2 gilt Assoziierte Elemente werden identisch bewertet insbesondere sind die Einheiten die vom Nullelement abgesehen minimal bewerteten Elemente des Rings Es lasst sich zeigen dass jeder euklidische Ring eine minimale Bewertungsfunktion besitzt diese ist von der obigen Variante 2 Es existiert sogar ein Algorithmus zu ihrer iterativen Bestimmung Das Finden einer geschlossenen Form fur diese minimale Bewertungsfunktion ist jedoch im Allgemeinen sehr aufwendig Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealbereich denn wenn a displaystyle a nbsp ein minimal bewertetes Element eines Ideals I displaystyle I nbsp ist so ist I a displaystyle I a nbsp also ein Hauptideal Insbesondere ist jeder euklidische Ring faktoriell Beispiele fur euklidische und nichteuklidische Ringe BearbeitenDer Ring Z displaystyle mathbb Z nbsp der ganzen Zahlen ist ein euklidischer Ring Die naturlichste Wahl fur einen euklidischen Betrag ist g Z 0 N displaystyle g colon mathbb Z setminus 0 to mathbb N nbsp x x displaystyle x mapsto x nbsp Der minimale euklidische Betrag einer ganzen Zahl ist gegeben durch die Lange der Binardarstellung ihres Absolutbetrages Jeder Korper K displaystyle K nbsp ist ein euklidischer Ring mit Bewertungsfunktion g 0 0 displaystyle g 0 0 nbsp und g a 1 displaystyle g a 1 nbsp fur a K 0 displaystyle a in K setminus 0 nbsp Der Polynomring K X displaystyle K X nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp in einer Variablen X displaystyle X nbsp ist ein euklidischer Ring wobei die euklidische Norm durch den Grad eines Polynoms gegeben ist dies ist bereits die minimale euklidische Norm Dagegen ist z B der Polynomring Z X displaystyle mathbb Z X nbsp kein euklidischer Ring da das Ideal X 2 displaystyle X 2 nbsp kein Hauptideal ist Der Ring Z i displaystyle mathbb Z mathrm i nbsp der gaussschen Zahlen mit der quadratischen Norm Absolutbetrag g Z i N displaystyle g mathbb Z mathrm i to mathbb N nbsp a b i a 2 b 2 displaystyle a b mathrm i mapsto a 2 b 2 nbsp ist ein euklidischer Ring Der Ring Z 3 displaystyle mathbb Z sqrt 3 nbsp ist nicht euklidisch da 2 2 3 displaystyle 2 2 sqrt 3 nbsp und 4 keinen ggT haben zwei maximale gemeinsame Teiler sind 1 3 displaystyle 1 sqrt 3 nbsp und 2 die aber teilerfremd sind Der Ganzheitsring des quadratischen Korpers Q d displaystyle mathbb Q sqrt d nbsp mit quadratfreiem d Z displaystyle d in mathbb Z nbsp ist genau dann euklidisch mit der quadratischen Norm wenn d displaystyle d nbsp eine der folgenden 21 Zahlen ist 4 5 11 7 3 2 1 2 3 5 6 7 11 13 17 19 21 29 33 37 41 57 73 6 d 1 displaystyle d 1 nbsp entspricht den gaussschen Zahlen d 3 displaystyle d 3 nbsp den Eisenstein Zahlen Z 1 3 2 displaystyle mathbb Z left tfrac 1 sqrt 3 2 right nbsp und d 5 displaystyle d 5 nbsp dem Ring Z 1 5 2 displaystyle mathbb Z left tfrac 1 sqrt 5 2 right nbsp Es gibt jedoch andere z B d 69 displaystyle d 69 nbsp 7 fur die der Ring mit einer anderen Norm euklidisch ist Verallgemeinerung auf Ringe mit Nullteilern BearbeitenDie Definitionen lassen sich auf Ringe ubertragen die nicht nullteilerfrei sind 2 Die obigen Aussagen uber die verschiedenen Varianten von Definitionen bleiben bestehen wobei ggf die Ungleichung g x y g x displaystyle g xy geq g x nbsp fur x y 0 displaystyle xy neq 0 nbsp zu fordern ist Solche Ringe haben wie im nullteilerfreien Fall die Eigenschaft dass jedes Ideal ein Hauptideal ist Sie sind also ein Hauptidealring im erweiterten Sinne principal ideal ring oder PIR aber eben kein Hauptidealbereich principal ideal domain oder PID Verallgemeinerung auf nicht kommutative Ringe BearbeitenDie Definitionen lassen sich sogar auf nicht kommutative Ringe verallgemeinern man spricht dann von links bzw rechtseuklidisch Die Hurwitzquaternionen sind ein Beispiel fur einen nicht kommutativen Ring der mit seiner Norm als euklidischer Norm sowohl links als auch rechtseuklidisch ist Literatur BearbeitenSiegfried Bosch Algebra 7 Auflage Springer Verlag 2009 ISBN 3 540 40388 4 doi 10 1007 978 3 540 92812 6 Jantzen und Schwermer Algebra Springer 2005 ISBN 3 540 21380 5 doi 10 1007 3 540 29287 X Bernhard Hornfeck Algebra 3 Auflage De Gruyter 1976 ISBN 3 11 006784 6Einzelnachweise Bearbeiten Kurt Meyberg Algebra Teil 1 Carl Hanser Verlag Munchen Wien a b Pierre Samuel About Euclidean rings In Journal of Algebra Band 19 Nr 2 Oktober 1971 ISSN 0021 8693 S 282 301 doi 10 1016 0021 8693 71 90110 4 Bernhard Hornfeck Algebra 3 Auflage De Gruyter 1976 ISBN 3 11 006784 6 S 142 Laszlo Redei Zur Frage des Euklidischen Algorithmus in quadratischen Zahlkorpern In Mathematische Annalen 118 Jahrgang 1942 S 588 608 uni goettingen de Eric W Weisstein Quadratic Field In MathWorld englisch Folge A048981 in OEIS David A Clark A quadratic field which is euclidean but not norm euclidean In Manuscripta Math 83 Jahrgang 1994 S 327 330 englisch math clemson edu Memento des Originals vom 29 Januar 2015 im Internet Archive abgerufen am 8 Januar 2013 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Euklidischer Ring amp oldid 233469477