www.wikidata.de-de.nina.az
Die assoziierten Elemente eines Rings sind ein Begriff aus der Teilbarkeitslehre in der Mathematik Zwei Elemente a displaystyle a und b displaystyle b heissen assoziiert wenn sie wechselseitig teilbar sind wenn also a displaystyle a teilt b displaystyle b und b displaystyle b teilt a displaystyle a gleichzeitig erfullt sind Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Kommutative Ringe 1 2 Nicht kommutative Ringe 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenKommutative Ringe Bearbeiten Zwei Elemente a b displaystyle a b nbsp eines Integritatsringes R displaystyle R nbsp nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1 heissen zueinander assoziiert falls eine Einheit ϵ displaystyle epsilon nbsp mit b a ϵ displaystyle b a cdot epsilon nbsp existiert 1 Dies ist genau dann erfullt wenn sich a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp gegenseitig teilen das heisst a b displaystyle a mid b nbsp und b a displaystyle b mid a nbsp erfullt sind Man schreibt auch a b displaystyle a sim b nbsp oder a b displaystyle a hat b nbsp Nicht kommutative Ringe Bearbeiten Zwei Elemente a b displaystyle a b nbsp eines nicht kommutativen Rings R displaystyle R nbsp mit 1 heissen zueinander rechts assoziiert falls eine Rechtseinheit ϵ displaystyle epsilon nbsp mit b a ϵ displaystyle b a cdot epsilon nbsp existiert Dann ist sowohl b displaystyle b nbsp rechtes Vielfaches von a displaystyle a nbsp das heisst a displaystyle a nbsp linker Teiler von b displaystyle b nbsp als auch a displaystyle a nbsp rechtes Vielfaches von b displaystyle b nbsp Entsprechend definiert man links assoziiert mit einer Linkseinheit und linken Vielfachen Sind zwei Elemente a b displaystyle a b nbsp sowohl links wie rechts assoziiert gelten sie als zweiseitig assoziiert Daruber hinaus lassen sich zwei Elemente a b R displaystyle a b in R nbsp als erweitert assoziiert definieren wenn es 2 Einheiten d ϵ displaystyle delta epsilon nbsp mit b d a ϵ displaystyle b delta cdot a cdot epsilon nbsp gibt Dann stehen a b displaystyle a b nbsp zwar nicht notwendigerweise in einer Teilbarkeitsbeziehung es folgt jedoch aus zweiseitig assoziiert sowohl links assoziiert wie rechts assoziiert und sowohl aus links assoziiert wie aus rechts assoziiert noch erweitert assoziiert Bemerkung Im nicht kommutativen Fall muss man bei der Teiler und Vielfachen Eigenschaft die Seitigkeit linke rechte benennen was das einfache Teilbarkeitssymbol dessen symmetrische Gestalt schon einer Spiegelung mit inverser Bedeutung im Wege steht des kommutativen Falls nicht ausdrucken kann Eigenschaften BearbeitenAssoziiertheit ist eine Aquivalenzrelation auch die drei Formen einschliesslich der erweiterten im nicht kommutativen Fall Sie ist mit der Teilerrelation im nicht kommutativen Fall in der richtig gewahlten Seitigkeit vertraglich das heisst fur seitig assoziierte Elemente a b displaystyle a b nbsp sind die Teiler bzw Vielfachen von a displaystyle a nbsp genau die Teiler bzw Vielfachen von b displaystyle b nbsp In einem Integritatsring sind zwei Elemente genau dann assoziiert wenn sie dasselbe Hauptideal erzeugen Beispiele BearbeitenIm Ring Z displaystyle mathbb Z nbsp der ganzen Zahlen sind a b displaystyle a b nbsp genau dann assoziiert wenn a b displaystyle a pm b nbsp gilt Dies liegt daran dass in Z displaystyle mathbb Z nbsp die Zahlen 1 displaystyle 1 nbsp und 1 displaystyle 1 nbsp die einzigen Einheiten sind In einem Korper sind alle von 0 displaystyle 0 nbsp verschiedenen Elemente zueinander assoziiert Im Polynomring K x displaystyle K x nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp sind zwei Elemente f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp genau dann assoziiert wenn ein a K 0 displaystyle a in K setminus 0 nbsp existiert mit g a f displaystyle g a cdot f nbsp In einem faktoriellen Ring besitzt ausser dem Nullelement jede Nichteinheit eine Zerlegung in irreduzible Elemente die bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit eindeutig ist Im nicht kommutativen Ring der Hurwitzquaternionen ist die Gruppe der 24 Einheiten 1 i j k 1 2 1 i j k displaystyle left pm 1 pm mathrm i pm mathrm j pm mathrm k tfrac 1 2 pm 1 pm mathrm i pm mathrm j pm mathrm k right nbsp nicht kommutativ Ausser den Hurwitzquaternionen mit Norm 2 displaystyle 2 nbsp und den rein reellen die nur zweiseitig Assoziierte haben haben die ubrigen auch einseitig sowohl rechts und nicht links wie auch links und nicht rechts Assoziierte und ein von ihnen erzeugtes Rechts bzw Linksideal ist nicht zweiseitig Einzelnachweise Bearbeiten Gunter Scheja Uwe Storch Lehrbuch der Algebra Unter Einschluss der linearen Algebra Lehrbuch der Algebra Teil 2 Teubner Verlag 1988 ISBN 3 519 02212 5 S 132 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Assoziierte Elemente amp oldid 183544754