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Hauptidealring In der Algebra einem Teilgebiet der Mathematik bezeichnet man Integritätsringe als e oder Hauptidealberei

Hauptidealring

In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man Integritätsringe als Hauptidealringe oder Hauptidealbereiche, wenn jedes Ideal ein Hauptideal ist. Die wichtigsten Beispiele für Hauptidealringe sind der Ring der ganzen Zahlen sowie Polynomringe in einer Unbestimmten über einem Körper. Der Begriff des Hauptidealrings erlaubt es, Aussagen über diese beiden Spezialfälle einheitlich zu formulieren. Beispiele für Anwendungen der allgemeinen Theorie sind die Jordansche Normalform, die Partialbruchzerlegung oder die Strukturtheorie endlich erzeugter abelscher Gruppen.

Definition Bearbeiten

Ein Integritätsring (d. h. ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit ) heißt Hauptidealring, wenn jedes Ideal ein Hauptideal ist, d. h. es gibt ein , so dass .

Im Folgenden sei ein Hauptidealring und sein Quotientenkörper. Außerdem sei eine Menge, die für jedes irreduzible genau ein zu assoziiertes Element enthält. Im Fall ist die Menge der (positiven) Primzahlen ein solches , im Fall für einen Körper die Menge der irreduziblen Polynome mit Leitkoeffizient 1.

Beispiele, Folgerungen und Gegenbeispiele Bearbeiten

Die folgenden Ringe sind Hauptidealringe:

Hauptidealringe gehören zu den folgenden allgemeineren Klassen von Ringen:

mit ganzen Zahlen und einer Einheit schreiben.
  • Das Lemma von Gauß: Jedes irreduzible Element in ist entweder ein irreduzibles Element von (aufgefasst als konstantes Polynom) oder ein in irreduzibles Polynom, dessen Koeffizienten teilerfremd sind.
  • Hauptidealringe sind trivialerweise noethersche Ringe, da jedes Ideal endlich erzeugt ist (von einem Element).
  • Hauptidealringe sind stets Dedekind-Ringe (siehe auch unten)

Keine Hauptidealringe sind:

  • Der Polynomring über den ganzen Zahlen ist kein Hauptidealring, da das von und erzeugte Ideal nicht durch ein einzelnes Polynom erzeugt werden kann. Dieser Ring ist aber nach dem erwähnten Lemma von Gauß faktoriell, da er ein Polynomring über einem faktoriellen Ring ist.
  • Der Ring ist kein Hauptidealring, da das Ideal kein Hauptideal ist.
  • Der Ring ist kein Hauptidealring, da er kein Integritätsring ist. Aber jedes Ideal in diesem Ring ist ein Hauptideal.

Teilbarkeit Bearbeiten

Spezialfall: sind genau dann teilerfremd, wenn es gibt mit
ein Isomorphismus.
  • Eine Verschärfung des chinesischen Restsatzes ist der Approximationssatz: Gegeben seien , paarweise verschiedene sowie Zahlen . Dann gibt es ein , das bezüglich in -ter Ordnung approximiert und ansonsten regulär ist, d. h.
und
Dabei bezeichnet den Exponenten von in der Primfaktorzerlegung von .

Hauptidealringe als Dedekind-Ringe Bearbeiten

Viele in algebraischer Zahlentheorie und algebraischer Geometrie natürlich auftretende Ringe sind keine Hauptidealringe, sondern gehören einer etwas allgemeineren Klasse von Ringen an, den Dedekind-Ringen. Sie sind die lokalisierte Version der Hauptidealringe, Ideale sind nicht mehr global, sondern nur noch lokal von einem Element erzeugt:

Die folgenden Eigenschaften gelten für Hauptidealringe, aber auch allgemeiner für Dedekind-Ringe:

Ist ein Dedekind-Ring faktoriell oder semilokal, so ist er ein Hauptidealring.

Moduln über Hauptidealringen Bearbeiten

Allgemeines Bearbeiten

Endlich erzeugte Moduln: Elementarteilersatz Bearbeiten

Der Elementarteilersatz beschreibt die Struktur einer Zerlegung eines endlich erzeugten Moduls in unzerlegbare Moduln. (Ein Modul heißt unzerlegbar, wenn es keine Moduln gibt mit .)

Es sei wie oben ein Vertretersystem der irreduziblen Elemente (bis auf Assoziiertheit). Zu jedem endlich erzeugten Modul gibt es eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahlen und für , von denen fast alle null sind, so dass

Die Zahlen sind durch eindeutig festgelegt, und die einzelnen Faktoren bzw. sind unzerlegbar. Die Ideale , für die gilt, heißen Elementarteiler von .

Endlich erzeugte Moduln: Invariante Faktoren Bearbeiten

Zu jedem endlich erzeugten Modul gibt es eine endliche Folge von Elementen von , die nicht notwendigerweise von null verschieden sind, so dass

  • für

Die Ideale sind durch eindeutig bestimmt und heißen die invarianten Faktoren von . Die Elemente sind folglich bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt.

Zu dieser Aussage über Moduln gibt es zwei konkurrierende Sichtweisen:

  • Zu einem Modul kann man Erzeuger wählen und den Kern des zugehörigen Homomorphismus betrachten.
  • Zu einem Untermodul kann man Erzeuger wählen und die -Matrix mit Einträgen in betrachten, die den Homomorphismus mit Bild beschreibt.

Umgekehrt ist das Bild einer -Matrix mit Einträgen in ein Untermodul , und der Quotientenmodul (der Kokern des durch gegebenen Homomorphismus ) ist ein endlich erzeugter -Modul.

Für Untermoduln freier Moduln lautet die Aussage:

  • Ist ein freier -Modul und ein (ebenfalls freier) Untermodul von vom Rang , so gibt es Elemente , die Teil einer Basis von sind, sowie Elemente mit , so dass eine Basis von ist. Der von den aufgespannte Teil lässt sich invariant als das Urbild des Torsionsuntermoduls von beschreiben. Die Ideale sind die Invarianten (wie oben) des Moduls , evtl. ergänzt um .

Für Matrizen (Smith-Normalform):

  • Ist eine -Matrix von Rang mit Einträgen in , so gibt es invertierbare Matrizen , so dass folgende Gestalt hat:
Dabei sind wieder die Invarianten wie oben.

Torsionsmoduln Bearbeiten

Es sei ein (nicht notwendigerweise endlich erzeugter) Torsionsmodul über , d. h. für jedes existiert ein mit . Wieder sei ein Vertretersystem der irreduziblen Elemente. Dann gilt: ist die direkte Summe der -primären Untermoduln , d. h.

mit

Als Korollar ergibt sich, dass genau dann halbeinfach ist, wenn für alle .

Anwendungsbeispiele:

  • Ist und , so lautet die Aussage: Jede rationale Zahl besitzt eine eindeutige Darstellung
mit , (und fast alle ) sowie und .
  • Ist ( ein Körper) und , so entspricht den rationalen Funktionen, deren Nenner eine Potenz von ist. Der Satz liefert also den ersten Schritt der Partialbruchzerlegung, d. h. der eindeutigen Darstellung einer rationalen Funktion als
Dabei durchläuft die irreduziblen normierten Polynome in , die weiteren Komponenten sind der reguläre Anteil , die Ordnungen (fast alle ) und geeignete Polynome für mit . Ist insbesondere linear, so sind die Konstanten.
  • Ist und ein endlichdimensionaler -Vektorraum zusammen mit einem Endomorphismus (mit der -Modulstruktur ), so ist die obige Zerlegung die Aufspaltung in die Haupträume. Das Korollar besagt in diesem Fall, dass genau dann halbeinfach ist, wenn das Minimalpolynom von keine mehrfachen Faktoren enthält.

Verallgemeinerung auf nicht-kommutative Ringe Bearbeiten

Die Definitionen lassen sich auf nicht-kommutative Ringe verallgemeinern. Ein Rechts-Hauptideal ist Rechts-Vielfaches eines einzelnen Elements ; ist ein Links-Hauptideal. Wie im kommutativen Fall sind und die trivialen (und zweiseitigen) Hauptideale.

Die Hurwitzquaternionen sind ein Beispiel für einen nicht-kommutativen Ring, der mit seiner Norm als euklidischer Norm sowohl links- als auch rechtseuklidisch und damit sowohl rechts- wie linksseitig ein Hauptidealring ist.

Verwandte Begriffe Bearbeiten

  • Wird nur gefordert, dass jedes Ideal endlich erzeugt ist, gelangt man zum Begriff des noetherschen Rings.
  • Umgekehrt kann man an einen Integritätsbereich die Bedingung stellen, dass alle endlich erzeugten Ideale Hauptideale sind: Dies sind die sogenannten Bézout-Ringe. Hauptidealringe sind also genau die noetherschen Bézoutringe.
  • Manchmal werden auch nicht nullteilerfreie Ringe in der Definition des Begriffes „Hauptidealring“ erlaubt, es wird also nur gefordert, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist und . Im Englischen wird hierzu sprachlich zwischen principal ideal ring und principal ideal domain (domain = Integritätsbereich) unterschieden. Die entsprechende Unterscheidung der Begriffe Hauptidealring und Hauptidealbereich ist im Deutschen jedoch unüblich.

Literatur Bearbeiten

  • Serge Lang: Algebra. Revised 3rd edition. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 0-387-95385-X (Graduate Texts in Mathematics 211).
  • Nicolas Bourbaki: Algebra II. Chapters 4–7. Springer, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-19375-8 (Elements of Mathematics).
  • Nicolas Bourbaki: Eléments de mathématique. Algèbre Commutative. Band 10: Chapitre 10. Réimpression de l’édition de 1998. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-34394-3.
  • Nicolas Bourbaki: Commutative Algebra. Chapters 1–7. 2nd printing. Springer, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-540-19371-5 (Elements of Mathematics).
  • Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie. Ein moderner Zugang zu klassischen Themen. Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0211-5 (Vieweg Studium).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Lang, Theorem II.5.2, S. 112
  2. Lang, Theorem IV.2.3, S. 182
  3. Lang, Corollary II.2.2, S. 95
  4. Bourbaki, Commutative Algebra, Ch. VII, §2.4, Proposition 2
  5. Bourbaki, Commutative Algebra, Ch. VII, §2
  6. Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie. Vieweg-Verlag, 2006, S. 188. (Satz 18.16)
  7. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 3, Corollary 2; Lang, Theorem III.7.1
  8. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 4, Corollary 1 und 2; Lang, Theorem III.7.3
  9. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 3, Corollary 3
  10. Bourbaki, Algèbre, Ch. X, § 1, No. 7, Corollaire 2
  11. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 8, Proposition 9; Lang, Theorem III.7.5
  12. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 4, Theorem 2; Lang, Theorem III.7.7
  13. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 3, Theorem 1; Lang, Theorem III.7.8
  14. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 6, Corollary 1; Lang, Theorem III.7.9
  15. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 2, Theorem 1
  16. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 2, Corollary 4
  17. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 3, I
  18. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 3, II
  19. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 5, No. 8, Proposition 14
  20. Lang, II, §1, S. 86
  21. Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. Springer-Verlag, 2014, ISBN 978-3-642-55216-8, S. 34 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
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In der Algebra einem Teilgebiet der Mathematik bezeichnet man Integritatsringe als Hauptidealringe oder Hauptidealbereiche wenn jedes Ideal ein Hauptideal ist Die wichtigsten Beispiele fur Hauptidealringe sind der Ring der ganzen Zahlen sowie Polynomringe in einer Unbestimmten uber einem Korper Der Begriff des Hauptidealrings erlaubt es Aussagen uber diese beiden Spezialfalle einheitlich zu formulieren Beispiele fur Anwendungen der allgemeinen Theorie sind die Jordansche Normalform die Partialbruchzerlegung oder die Strukturtheorie endlich erzeugter abelscher Gruppen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele Folgerungen und Gegenbeispiele 3 Teilbarkeit 4 Hauptidealringe als Dedekind Ringe 5 Moduln uber Hauptidealringen 5 1 Allgemeines 5 2 Endlich erzeugte Moduln Elementarteilersatz 5 3 Endlich erzeugte Moduln Invariante Faktoren 5 4 Torsionsmoduln 6 Verallgemeinerung auf nicht kommutative Ringe 7 Verwandte Begriffe 8 Literatur 9 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin Integritatsring A displaystyle A nbsp d h ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1 0 displaystyle 1 neq 0 nbsp heisst Hauptidealring wenn jedes Ideal I A displaystyle I subseteq A nbsp ein Hauptideal ist d h es gibt ein x A displaystyle x in A nbsp so dass I A x a x a A displaystyle I A cdot x left a cdot x mid a in A right nbsp Im Folgenden sei A displaystyle A nbsp ein Hauptidealring und K displaystyle K nbsp sein Quotientenkorper Ausserdem sei P A displaystyle P subset A nbsp eine Menge die fur jedes irreduzible p A displaystyle p in A nbsp genau ein zu p displaystyle p nbsp assoziiertes Element enthalt Im Fall A Z displaystyle A mathbb Z nbsp ist die Menge der positiven Primzahlen ein solches P displaystyle P nbsp im Fall A k T displaystyle A k T nbsp fur einen Korper k displaystyle k nbsp die Menge der irreduziblen Polynome mit Leitkoeffizient 1 Beispiele Folgerungen und Gegenbeispiele BearbeitenDie folgenden Ringe sind Hauptidealringe Korper Z displaystyle mathbb Z nbsp der Ring der ganzen Zahlen Z i displaystyle mathbb Z i nbsp der Ring der ganzen gaussschen Zahlen Polynomringe k T displaystyle k T nbsp in einer Unbestimmten uber einem Korper k displaystyle k nbsp formale Potenzreihenringe k T displaystyle k T nbsp in einer Unbestimmten uber einem Korper k displaystyle k nbsp diskrete Bewertungsringe euklidische Ringe diese Klasse umfasst zwar alle vorstehenden Beispiele aber nicht jeder Hauptidealring ist euklidisch Lokalisierungen von Hauptidealringen sind wieder Hauptidealringe Der Ganzheitsring des Korpers Q 3 displaystyle mathbb Q sqrt 3 nbsp d h der Ring der Eisenstein Zahlen ist ein Hauptidealring Es gilt sogar die folgende Aussage Der Ganzheitsring eines quadratischen Zahlkorpers K Q d displaystyle K mathbb Q sqrt d nbsp mit negativem quadratfreiem d Z displaystyle d in mathbb Z nbsp ist genau dann ein Hauptidealring wenn d 1 2 3 7 11 19 43 67 163 displaystyle d in lbrace 1 2 3 7 11 19 43 67 163 rbrace nbsp siehe Heegner Zahl Der Beweis beruht auf der Untersuchung der Idealklassengruppe welche bei Zahlkorpern als Mass dafur gesehen werden kann wie weit ein Ring davon entfernt ist ein Hauptidealring zu sein Hauptidealringe gehoren zu den folgenden allgemeineren Klassen von Ringen faktorielle Ringe 1 Insbesondere gelten Ein Element a A 0 displaystyle a in A setminus 0 nbsp ist genau dann prim wenn es irreduzibel ist Jedes Element ungleich null des Quotientenkorpers von A displaystyle A nbsp lasst sich auf eindeutige Weise in der Formu p P p e p displaystyle u cdot prod p in P p e p nbsp dd mit ganzen Zahlen e p displaystyle e p nbsp und einer Einheit u A displaystyle u in A times nbsp schreiben Das Lemma von Gauss Jedes irreduzible Element in A X displaystyle A X nbsp ist entweder ein irreduzibles Element von A displaystyle A nbsp aufgefasst als konstantes Polynom oder ein in K X displaystyle K X nbsp irreduzibles Polynom dessen Koeffizienten teilerfremd sind 2 dd Hauptidealringe sind trivialerweise noethersche Ringe da jedes Ideal endlich erzeugt ist von einem Element Hauptidealringe sind stets Dedekind Ringe siehe auch unten Keine Hauptidealringe sind Der Polynomring Z X displaystyle mathbb Z X nbsp uber den ganzen Zahlen ist kein Hauptidealring da das von 2 displaystyle 2 nbsp und X displaystyle X nbsp erzeugte Ideal nicht durch ein einzelnes Polynom erzeugt werden kann Dieser Ring ist aber nach dem erwahnten Lemma von Gauss faktoriell da er ein Polynomring uber einem faktoriellen Ring ist Der Ring k x y displaystyle k x y nbsp ist kein Hauptidealring da das Ideal x y displaystyle x y nbsp kein Hauptideal ist Der Ring Z 4 Z displaystyle mathbb Z 4 mathbb Z nbsp ist kein Hauptidealring da er kein Integritatsring ist Aber jedes Ideal in diesem Ring ist ein Hauptideal Teilbarkeit BearbeitenDer bis auf Assoziiertheit eindeutige grosste gemeinsame Teiler von Elementen x 1 x m displaystyle x 1 dots x m nbsp ist der bis auf Assoziiertheit eindeutige Erzeuger des Ideals x 1 x m displaystyle x 1 dots x m nbsp Insbesondere gilt das Lemma von Bezout Es existieren a 1 a m A displaystyle a 1 dots a m in A nbsp mitggT x 1 x m a 1 x 1 a m x m displaystyle operatorname ggT x 1 dots x m a 1 x 1 dots a m x m nbsp dd Spezialfall x 1 x k displaystyle x 1 dots x k nbsp sind genau dann teilerfremd wenn es a 1 a m displaystyle a 1 dots a m nbsp gibt mit1 a 1 x 1 a m x m displaystyle 1 a 1 x 1 dots a m x m nbsp dd Das kleinste gemeinsame Vielfache von x 1 x m displaystyle x 1 ldots x m nbsp ist der Erzeuger des Ideals x 1 x m displaystyle x 1 cap ldots cap x m nbsp Chinesischer Restsatz Sind x 1 x m displaystyle x 1 dots x m nbsp paarweise teilerfremd so ist der kanonische RinghomomorphismusA x 1 x m i 1 m A x i displaystyle A x 1 cdots x m to prod i 1 m A x i nbsp dd ein Isomorphismus 3 Eine Verscharfung des chinesischen Restsatzes ist der Approximationssatz Gegeben seien x 1 x m K displaystyle x 1 dots x m in K nbsp paarweise verschiedene p 1 p m P displaystyle p 1 dots p m in P nbsp sowie Zahlen n 1 n 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Dedekindring Viele in algebraischer Zahlentheorie und algebraischer Geometrie naturlich auftretende Ringe sind keine Hauptidealringe sondern gehoren einer etwas allgemeineren Klasse von Ringen an den Dedekind Ringen Sie sind die lokalisierte Version der Hauptidealringe Ideale sind nicht mehr global sondern nur noch lokal von einem Element erzeugt Ist A displaystyle A nbsp ein noetherscher Integritatsbereich fur den der lokale Ring A p displaystyle A mathfrak p nbsp fur jedes Primideal p displaystyle mathfrak p nbsp ein Hauptidealring ist so heisst A displaystyle A nbsp Dedekind Ring 5 Die folgenden Eigenschaften gelten fur Hauptidealringe aber auch allgemeiner fur Dedekind Ringe Sie sind entweder Korper oder eindimensional d h jedes Primideal ungleich 0 displaystyle 0 nbsp ist maximal Sie sind ganzabgeschlossen in ihrem Quotientenkorper Sie sind regular Ihre lokalen Ringe sind entweder Korper oder diskrete Bewertungsringe der oben genannte ApproximationssatzIst ein Dedekind Ring faktoriell oder semilokal so ist er ein Hauptidealring 6 Moduln uber Hauptidealringen BearbeitenAllgemeines Bearbeiten Untermoduln freier Moduln sind frei 7 Ist M displaystyle M nbsp ein endlich erzeugter Modul mit Torsionsuntermodul T displaystyle T nbsp so gibt es einen freien Untermodul F M displaystyle F subseteq M nbsp so dass M F T displaystyle M F oplus T nbsp Torsionsfreie endlich erzeugte Moduln sind frei 8 Projektive Moduln sind frei 9 Ein Modul ist injektiv genau dann wenn er dividierbar ist Quotienten injektiver Moduln sind injektiv jeder Modul hat eine injektive Auflosung der Lange 1 Eine explizite injektive Auflosung von A displaystyle A nbsp ist 10 0 A K K A 0 displaystyle 0 to A to K to K A to 0 nbsp dd Endlich erzeugte Moduln Elementarteilersatz Bearbeiten Der Elementarteilersatz beschreibt die Struktur einer Zerlegung eines endlich erzeugten Moduls in unzerlegbare Moduln Ein Modul M displaystyle M nbsp heisst unzerlegbar wenn es keine Moduln M 1 M 2 0 displaystyle M 1 M 2 neq 0 nbsp gibt mit M M 1 M 2 displaystyle M cong M 1 oplus M 2 nbsp Es sei P displaystyle P nbsp wie oben ein Vertretersystem der irreduziblen Elemente bis auf Assoziiertheit Zu jedem endlich erzeugten Modul M displaystyle M nbsp gibt es eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahlen m 0 displaystyle m 0 nbsp und m p i displaystyle m p i nbsp fur p P i N 1 displaystyle p in P i in mathbb N geq 1 nbsp von denen fast alle null sind so dass M A m 0 p P i 1 A p i m p i displaystyle M cong A m 0 oplus bigoplus p in P bigoplus i geq 1 A p i m p i nbsp Die Zahlen m 0 m p i displaystyle m 0 m p i nbsp sind durch M displaystyle M nbsp eindeutig festgelegt und die einzelnen Faktoren A displaystyle A nbsp bzw A p k displaystyle A p k nbsp sind unzerlegbar Die Ideale p i displaystyle p i nbsp fur die m p i 0 displaystyle m p i neq 0 nbsp gilt heissen Elementarteiler von M displaystyle M nbsp 11 Endlich erzeugte Moduln Invariante Faktoren Bearbeiten Zu jedem endlich erzeugten Modul M displaystyle M nbsp gibt es eine endliche Folge x 1 x 2 x m displaystyle x 1 x 2 dots x m nbsp von Elementen von A displaystyle A nbsp die nicht notwendigerweise von null verschieden sind so dass x i x i 1 displaystyle x i mid x i 1 nbsp fur i 1 2 m 1 displaystyle i 1 2 dots m 1 nbsp M i 1 m A x i displaystyle M cong bigoplus i 1 m A x i nbsp Die Ideale x i displaystyle x i nbsp sind durch M displaystyle M nbsp eindeutig bestimmt und heissen die invarianten Faktoren von M displaystyle M nbsp Die Elemente x i displaystyle x i nbsp sind folglich bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt 12 Zu dieser Aussage uber Moduln gibt es zwei konkurrierende Sichtweisen Zu einem Modul M displaystyle M nbsp kann man Erzeuger w 1 w m displaystyle w 1 dots w m nbsp wahlen und den Kern U A m displaystyle U subseteq A m nbsp des zugehorigen Homomorphismus A m M displaystyle A m to M nbsp betrachten Zu einem Untermodul U A m displaystyle U subseteq A m nbsp kann man Erzeuger u 1 u n displaystyle u 1 dots u n nbsp wahlen und die m n displaystyle m times n nbsp Matrix X displaystyle X nbsp mit Eintragen in A displaystyle A nbsp betrachten die den Homomorphismus A n A m displaystyle A n to A m nbsp mit Bild U displaystyle U nbsp beschreibt Umgekehrt ist das Bild einer m n displaystyle m times n nbsp Matrix mit Eintragen in A displaystyle A nbsp ein Untermodul U A m displaystyle U subseteq A m nbsp und der Quotientenmodul M A m U displaystyle M A m U nbsp der Kokern des durch X displaystyle X nbsp gegebenen Homomorphismus A n A m displaystyle A n to A m nbsp ist ein endlich erzeugter A displaystyle A nbsp Modul Fur Untermoduln freier Moduln lautet die Aussage Ist F displaystyle F nbsp ein freier A displaystyle A nbsp Modul und U displaystyle U nbsp ein ebenfalls freier Untermodul von F displaystyle F nbsp vom Rang r displaystyle r nbsp so gibt es n displaystyle n nbsp Elemente e 1 e r F displaystyle e 1 dots e r in F nbsp die Teil einer Basis von F displaystyle F nbsp sind sowie Elemente x 1 x r A displaystyle x 1 dots x r in A nbsp mit x 1 x 2 x r displaystyle x 1 mid x 2 mid dots mid x r nbsp so dass x 1 e 1 x r e r displaystyle x 1 e 1 dots x r e r nbsp eine Basis von U displaystyle U nbsp ist Der von den e k displaystyle e k nbsp aufgespannte Teil F F displaystyle F subseteq F nbsp lasst sich invariant als das Urbild des Torsionsuntermoduls von F U displaystyle F U nbsp beschreiben Die Ideale x k displaystyle x k nbsp sind die Invarianten wie oben des Moduls F U displaystyle F U nbsp evtl erganzt um x k 1 x m 0 displaystyle x k 1 dots x m 0 nbsp 13 Fur Matrizen Smith Normalform Ist X displaystyle X nbsp eine m n displaystyle m times n nbsp Matrix von Rang r displaystyle r nbsp mit Eintragen in A displaystyle A nbsp so gibt es invertierbare Matrizen P GL m A Q GL n A displaystyle P in operatorname GL m A Q in operatorname GL n A nbsp so dass P X Q displaystyle PXQ nbsp folgende Gestalt hat x 1 0 0 0 0 0 x 2 0 0 0 x r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 displaystyle begin pmatrix x 1 amp 0 amp cdots amp 0 amp 0 amp cdots amp 0 0 amp x 2 amp ddots amp vdots amp vdots amp amp vdots vdots amp ddots amp ddots amp 0 amp vdots amp amp vdots 0 amp cdots amp 0 amp x r amp 0 amp cdots amp 0 0 amp cdots amp cdots amp 0 amp 0 amp cdots amp 0 vdots amp amp amp vdots amp vdots amp amp vdots 0 amp cdots amp cdots amp 0 amp 0 amp cdots amp 0 end pmatrix nbsp dd Dabei sind x 1 x 2 x r displaystyle x 1 mid x 2 mid dots mid x r nbsp wieder die Invarianten wie oben 14 Torsionsmoduln Bearbeiten Es sei M displaystyle M nbsp ein nicht notwendigerweise endlich erzeugter Torsionsmodul uber A displaystyle A nbsp d h fur jedes m M displaystyle m in M nbsp existiert ein a A 0 displaystyle a in A setminus 0 nbsp mit a m 0 displaystyle am 0 nbsp Wieder sei P A displaystyle P subset A nbsp ein Vertretersystem der irreduziblen Elemente Dann gilt 15 M displaystyle M nbsp ist die direkte Summe der p displaystyle p nbsp primaren Untermoduln M p displaystyle M p nbsp d h M p P M p displaystyle M 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eine Potenz von p displaystyle p nbsp ist Der Satz liefert also den ersten Schritt der Partialbruchzerlegung d h der eindeutigen Darstellung einer rationalen Funktion alsa p i 1 o p d p i p i displaystyle a sum p sum i 1 o p d p i p i nbsp dd Dabei durchlauft p displaystyle p nbsp die irreduziblen normierten Polynome in k T displaystyle k T nbsp die weiteren Komponenten sind der regulare Anteil a k T displaystyle a in k T nbsp die Ordnungen o p 0 displaystyle o p geq 0 nbsp fast alle o p 0 displaystyle o p 0 nbsp und geeignete Polynome d p i displaystyle d p i nbsp fur i 1 2 o p displaystyle i 1 2 dots o p nbsp mit deg d p i lt deg p displaystyle deg d p i lt deg p nbsp Ist insbesondere p displaystyle p nbsp linear so sind die d p i displaystyle d p i nbsp Konstanten 18 Ist A k T displaystyle A k T nbsp und M displaystyle M nbsp ein endlichdimensionaler k displaystyle k nbsp Vektorraum zusammen mit einem Endomorphismus f displaystyle f nbsp mit der A displaystyle A nbsp Modulstruktur T v f v displaystyle Tv f v nbsp so ist die obige Zerlegung die Aufspaltung in die Hauptraume Das Korollar besagt in diesem Fall dass f displaystyle f nbsp genau dann halbeinfach ist wenn das Minimalpolynom von f displaystyle f nbsp keine mehrfachen Faktoren enthalt 19 Verallgemeinerung auf nicht kommutative Ringe BearbeitenDie Definitionen lassen sich auf nicht kommutative Ringe verallgemeinern Ein Rechts Hauptideal I displaystyle I nbsp ist Rechts Vielfaches g A displaystyle gA nbsp eines einzelnen Elements g A displaystyle g in A nbsp A g displaystyle Ag nbsp ist ein Links Hauptideal Wie im kommutativen Fall sind 0 0 A A 0 displaystyle 0 0A A0 nbsp und A 1 A A 1 displaystyle A 1A A1 nbsp die trivialen und zweiseitigen Hauptideale Die Hurwitzquaternionen sind ein Beispiel fur einen nicht kommutativen Ring der mit seiner Norm als euklidischer Norm sowohl links als auch rechtseuklidisch und damit sowohl rechts wie linksseitig ein Hauptidealring ist Verwandte Begriffe BearbeitenWird nur gefordert dass jedes Ideal endlich erzeugt ist gelangt man zum Begriff des noetherschen Rings Umgekehrt kann man an einen Integritatsbereich die Bedingung stellen dass alle endlich erzeugten Ideale Hauptideale sind Dies sind die sogenannten Bezout Ringe Hauptidealringe sind also genau die noetherschen Bezoutringe Manchmal werden auch nicht nullteilerfreie Ringe in der Definition des Begriffes Hauptidealring erlaubt es wird also nur gefordert dass jedes Ideal ein Hauptideal ist und 1 0 displaystyle 1 neq 0 nbsp 20 Im Englischen wird hierzu sprachlich zwischen principal ideal ring und principal ideal domain domain Integritatsbereich unterschieden Die entsprechende Unterscheidung der Begriffe Hauptidealring und Hauptidealbereich ist im Deutschen jedoch unublich 21 Literatur BearbeitenSerge Lang Algebra Revised 3rd edition Springer Berlin u a 2002 ISBN 0 387 95385 X Graduate Texts in Mathematics 211 Nicolas Bourbaki Algebra II Chapters 4 7 Springer Berlin u a 1990 ISBN 3 540 19375 8 Elements of Mathematics Nicolas Bourbaki Elements de mathematique Algebre Commutative Band 10 Chapitre 10 Reimpression de l edition de 1998 Springer Berlin u a 2007 ISBN 978 3 540 34394 3 Nicolas Bourbaki Commutative Algebra Chapters 1 7 2nd printing Springer Berlin u a 1989 ISBN 3 540 19371 5 Elements of Mathematics Stefan Muller Stach Jens Piontkowski Elementare und algebraische Zahlentheorie Ein moderner Zugang zu klassischen Themen Vieweg Wiesbaden 2006 ISBN 3 8348 0211 5 Vieweg Studium Einzelnachweise Bearbeiten Lang Theorem II 5 2 S 112 Lang Theorem IV 2 3 S 182 Lang Corollary II 2 2 S 95 Bourbaki Commutative Algebra Ch VII 2 4 Proposition 2 Bourbaki Commutative Algebra Ch VII 2 Stefan Muller Stach Jens Piontkowski Elementare und algebraische Zahlentheorie Vieweg Verlag 2006 S 188 Satz 18 16 Bourbaki Algebra Ch VII 3 Corollary 2 Lang Theorem III 7 1 Bourbaki Algebra Ch VII 4 No 4 Corollary 1 und 2 Lang Theorem III 7 3 Bourbaki Algebra Ch VII 3 Corollary 3 Bourbaki Algebre Ch X 1 No 7 Corollaire 2 Bourbaki Algebra Ch VII 4 No 8 Proposition 9 Lang Theorem III 7 5 Bourbaki Algebra Ch VII 4 No 4 Theorem 2 Lang Theorem III 7 7 Bourbaki Algebra Ch VII 4 No 3 Theorem 1 Lang Theorem III 7 8 Bourbaki Algebra Ch VII 4 No 6 Corollary 1 Lang Theorem III 7 9 Bourbaki Algebra Ch VII 2 No 2 Theorem 1 Bourbaki Algebra Ch VII 2 No 2 Corollary 4 Bourbaki Algebra Ch VII 2 No 3 I Bourbaki Algebra Ch VII 2 No 3 II Bourbaki Algebra Ch VII 5 No 8 Proposition 14 Lang II 1 S 86 Rainer Schulze Pillot Einfuhrung in Algebra und Zahlentheorie Springer Verlag 2014 ISBN 978 3 642 55216 8 S 34 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hauptidealring amp oldid 238115940