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Kleinstes gemeinsames Vielfaches Das kleinste gemeinsame Vielfache kgV ist ein mathematischer Begriff Sein Pendant ist d

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist ein mathematischer Begriff. Sein Pendant ist der größte gemeinsame Teiler (ggT). Beide spielen unter anderem in der Arithmetik und der Zahlentheorie eine Rolle.

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen und ist die kleinste positive natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von als auch Vielfaches von ist. Zusätzlich wird für den Fall oder das kgV definiert als .

Die englische Bezeichnung für das kleinste gemeinsame Vielfache ist least common multiple, oder kurz lcm und findet in mathematischen Texten ebenfalls Verwendung.

Berechnung des kgV von natürlichen Zahlen Bearbeiten

Berechnung über die Vielfachen Bearbeiten

  • Die positiven Vielfachen von 12 sind: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …
  • Die positiven Vielfachen von 18 sind: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …
  • Die gemeinsamen positiven Vielfachen von 12 und 18 sind also 36, 72, 108, …
  • und das kleinste von diesen ist 36; in Zeichen:

Berechnung über die Primfaktorzerlegung Bearbeiten

Man kann das kgV über die Primfaktorzerlegung der beiden gegebenen Zahlen bestimmen. Beispiel:

Für das kgV nimmt man die Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Zerlegungen vorkommen, und als zugehörigen Exponenten den jeweils größeren der Ausgangsexponenten:

Berechnung über den größten gemeinsamen Teiler (ggT) Bearbeiten

Es gilt die folgende Gleichung:

Sind beide Zahlen positiv oder negativ, so entfallen die Betragsstriche. Damit lässt sich das kgV berechnen, falls der ggT z. B. mit dem euklidischen Algorithmus bereits bestimmt wurde. (Umgekehrt kann man mit dieser Formel auch den ggT aus dem kgV berechnen.) Am einfachsten ist es meist, nach der Bestimmung des ggT eine der beiden Zahlen durch den ggT zu teilen und mit der anderen Zahl zu multiplizieren. Der Betrag des Ergebnisses ist das gesuchte kgV. Also gilt:

Beispiel: Der ggT von 18 und 24 ist 6. Zur Berechnung des ggT mittels euklidischem Algorithmus siehe den Artikel zum ggT. Das kgV ist folglich (da beide Zahlen positiv sind, entfällt der Betrag)

Die Gleichung zu Beginn des Abschnitts ist übrigens leicht zu beweisen:

Nachweis für positive ganze Zahlen m und n, alle anderen Fälle lassen sich analog behandeln. Sei , dann ist auch Teiler des Produkts . Die Zahl enthalte dagegen alle Primfaktoren des Produkts , die nicht enthält. Betrachtet man, wie der aus der Primfaktordarstellung des Produkts aus und berechnet wird, dann folgt . Daraus ergibt sich die obige Gleichung.

Das kgV von mehreren Zahlen Bearbeiten

Man verwendet alle Primfaktoren, die in mindestens einer der Zahlen vorkommen, mit der jeweils höchsten vorkommenden Potenz, zum Beispiel:

also:

Man könnte auch zunächst berechnen und danach denn als eine zweistellige Verknüpfung auf den ganzen Zahlen ist das kgV assoziativ:

Dies rechtfertigt die Schreibweise .

Anwendungen Bearbeiten

Bruchrechnung Bearbeiten

Angenommen, man möchte die Brüche und addieren. Dazu müssen diese durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Man könnte mit multiplizieren, was ergibt. Der kleinstmögliche gemeinsame Nenner (der sog. Hauptnenner) ist aber . Die beiden Brüche werden auf diesen Nenner erweitert und dann addiert. Das Ergebnis wird gekürzt:

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Das kgV in Ringen Bearbeiten

Analog zum ggT ist das kgV in Ringen definiert: Ein Ringelement heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier Ringelemente und , wenn ein gemeinsames Vielfaches von und ist und seinerseits jedes andere gemeinsame Vielfache von und ein Vielfaches von ist.

Formal schreibt man diese Definition für einen Ring so:

Diese allgemeinere Definition lässt sich auf mehrere Zahlen ausweiten (sogar auf unendlich viele).

Beispiele Bearbeiten

Das kgV von Polynomen Bearbeiten

Das kgV lässt sich nicht nur für natürliche (und ganze) Zahlen definieren. Man kann es z. B. auch für Polynome bilden. Statt der Primfaktorzerlegung nimmt man hier die Zerlegung in irreduzible Faktoren:

Dann ist

Die Division mit Rest, die auch für Polynome existiert, erleichtert das Auffinden von gemeinsamen Teilern.

Gaußscher Zahlenring Bearbeiten

Im gaußschen Zahlenring ist der größte gemeinsame Teiler von und gerade , denn und . Genau genommen ist ein größter gemeinsamer Teiler, da alle zu dieser Zahl assoziierten Zahlen ebenfalls größte gemeinsame Teiler sind.

Nicht in jedem Ring existiert für zwei Elemente ein ggT oder ein kgV. Wenn sie einen ggT haben, können sie mehrere ggT haben. Ist der Ring ein Integritätsring, dann sind alle ggT zueinander assoziiert, in Zeichen .

Ist ein Integritätsring und haben die Elemente und ein kgV, dann haben sie auch einen ggT, und es gilt die Gleichung

Ist jedoch nur bekannt, dass ein ggT von und existiert, dann muss nicht unbedingt auch ein kgV existieren.

Integritätsring Bearbeiten

Im Integritätsring haben die Elemente

keinen ggT: Die Elemente und sind zwei maximale gemeinsame Teiler, denn beide haben den gleichen Betrag. Jedoch sind diese zwei Elemente nicht zueinander assoziiert, also gibt es keinen ggT von und .

Die genannten Elemente und haben aber ihrerseits einen ggT, nämlich . Dagegen haben sie kein kgV, denn wenn ein kgV wäre, dann folgt aus der „ggT-kgV-Gleichung“, dass assoziiert zu sein muss. Das gemeinsame Vielfache ist jedoch kein Vielfaches von , also ist kein kgV und die beiden Elemente haben gar kein kgV.

Bemerkungen Bearbeiten

Ein Integritätsring, in dem je zwei Elemente einen ggT besitzen, heißt ggT-Ring oder ggT-Bereich. In einem ggT-Ring haben je zwei Elemente auch ein kgV.

In einem faktoriellen Ring haben je zwei Elemente einen ggT.

In einem euklidischen Ring lässt sich der ggT zweier Elemente mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen.

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Algorithmensammlung - Euklidischer Algorithmus und kgV – Lern- und Lehrmaterialien
Wiktionary: kleinster gemeinsamer Nenner – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Schüler-Duden. Die Mathematik I. Dudenverlag, Mannheim 1990, ISBN 3-411-04205-2, S. 210.
  2. Harald Scheid: Einführung in die Zahlentheorie. Klett Verlag, Stuttgart, 1972, ISBN 3-12-983240-8, S. 79.
  3. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 5. Auflage. Oxford University Press, Oxford, 1979, ISBN 0-19-853171-0, § 5.1, S. 48.
  4. H. Athen, J. Bruhn: Lexikon der Schulmathematik. Band 2, Aulis Verlag, Köln 1977, S. 488.
  5. math-www.uni-paderborn.de, S. 14 ggT und kgV
  6. Harald Scheid: Einführung in die Zahlentheorie. Klett Verlag, Stuttgart 1972, ISBN 3-12-983240-8, S. 84/85.
  7. Heinz Griesel und andere: Elemente der Mathematik Niedersachsen 5. Schuljahr, Schroedel Verlag, Hannover 2005, ISBN 3-507-87205-6, S. 173.
  8. Heinz Griesel und andere: Elemente der Mathematik Niedersachsen 6. Schuljahr, Schroedel Verlag, Hannover 2005, ISBN 3-507-87206-4, S. 9.
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Veröffentlichungsdatum:
Das kleinste gemeinsame Vielfache kgV ist ein mathematischer Begriff Sein Pendant ist der grosste gemeinsame Teiler ggT Beide spielen unter anderem in der Arithmetik und der Zahlentheorie eine Rolle Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen m displaystyle m und n displaystyle n ist die kleinste positive naturliche Zahl die sowohl Vielfaches von m displaystyle m als auch Vielfaches von n displaystyle n ist 1 Zusatzlich wird fur den Fall m 0 displaystyle m 0 oder n 0 displaystyle n 0 das kgV definiert als kgV m n 0 displaystyle operatorname kgV m n 0 2 Die englische Bezeichnung fur das kleinste gemeinsame Vielfache ist least common multiple oder kurz lcm und findet in mathematischen Texten ebenfalls Verwendung 3 Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung des kgV von naturlichen Zahlen 1 1 Berechnung uber die Vielfachen 1 2 Berechnung uber die Primfaktorzerlegung 1 3 Berechnung uber den grossten gemeinsamen Teiler ggT 2 Das kgV von mehreren Zahlen 3 Anwendungen 3 1 Bruchrechnung 4 Das kgV in Ringen 4 1 Beispiele 4 1 1 Das kgV von Polynomen 4 1 2 Gaussscher Zahlenring 4 1 2 1 Integritatsring 4 2 Bemerkungen 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseBerechnung des kgV von naturlichen Zahlen BearbeitenBerechnung uber die Vielfachen Bearbeiten Die positiven Vielfachen von 12 sind 12 24 36 48 60 72 84 96 108 Die positiven Vielfachen von 18 sind 18 36 54 72 90 108 Die gemeinsamen positiven Vielfachen von 12 und 18 sind also 36 72 108 und das kleinste von diesen ist 36 in Zeichen kgV 12 18 36 displaystyle operatorname kgV 12 18 36 nbsp Berechnung uber die Primfaktorzerlegung Bearbeiten Man kann das kgV uber die Primfaktorzerlegung der beiden gegebenen Zahlen bestimmen Beispiel 3528 2 3 3 2 7 2 displaystyle 3528 2 color Red 3 cdot 3 color Red 2 cdot 7 color Red 2 nbsp 3780 2 2 3 3 5 1 7 1 displaystyle 3780 2 color OliveGreen 2 cdot 3 color OliveGreen 3 cdot 5 color OliveGreen 1 cdot 7 color OliveGreen 1 nbsp Fur das kgV nimmt man die Primfaktoren die in mindestens einer der beiden Zerlegungen vorkommen und als zugehorigen Exponenten den jeweils grosseren der Ausgangsexponenten kgV 3528 3780 2 3 3 3 5 1 7 2 52 920 displaystyle operatorname kgV 3528 3780 2 color Red 3 cdot 3 color OliveGreen 3 cdot 5 color OliveGreen 1 cdot 7 color Red 2 52 920 nbsp 4 Berechnung uber den grossten gemeinsamen Teiler ggT Bearbeiten Es gilt die folgende Gleichung ggT m n kgV m n m n displaystyle operatorname ggT m n cdot operatorname kgV m n m cdot n nbsp Sind beide Zahlen positiv oder negativ so entfallen die Betragsstriche Damit lasst sich das kgV berechnen falls der ggT z B mit dem euklidischen Algorithmus bereits bestimmt wurde Umgekehrt kann man mit dieser Formel auch den ggT aus dem kgV berechnen Am einfachsten ist es meist nach der Bestimmung des ggT eine der beiden Zahlen durch den ggT zu teilen und mit der anderen Zahl zu multiplizieren Der Betrag des Ergebnisses ist das gesuchte kgV Also gilt kgV m n m n ggT m n m ggT m n n displaystyle operatorname kgV m n m cdot n div operatorname ggT m n m div operatorname ggT m n cdot n nbsp Beispiel Der ggT von 18 und 24 ist 6 Zur Berechnung des ggT mittels euklidischem Algorithmus siehe den Artikel zum ggT Das kgV ist folglich da beide Zahlen positiv sind entfallt der Betrag 18 6 24 3 24 72 displaystyle 18 div 6 cdot 24 3 cdot 24 72 nbsp Die Gleichung zu Beginn des Abschnitts ist ubrigens leicht zu beweisen Nachweis fur positive ganze Zahlen m und n alle anderen Falle lassen sich analog behandeln Sei k kgV m n displaystyle k operatorname kgV m n nbsp dann ist k displaystyle k nbsp auch Teiler des Produkts m n displaystyle m cdot n nbsp Die Zahl g displaystyle g nbsp enthalte dagegen alle Primfaktoren des Produkts m n displaystyle m cdot n nbsp die k displaystyle k nbsp nicht enthalt Betrachtet man wie der ggT m n displaystyle operatorname ggT m n nbsp aus der Primfaktordarstellung des Produkts aus m displaystyle m nbsp und n displaystyle n nbsp berechnet wird dann folgt g ggT m n displaystyle g operatorname ggT m n nbsp Daraus ergibt sich die obige Gleichung 5 Das kgV von mehreren Zahlen BearbeitenMan verwendet alle Primfaktoren die in mindestens einer der Zahlen vorkommen mit der jeweils hochsten vorkommenden Potenz zum Beispiel 144 2 4 3 2 displaystyle 144 2 color Red 4 cdot 3 color Red 2 nbsp 160 2 5 5 1 displaystyle 160 2 color OliveGreen 5 cdot 5 color OliveGreen 1 nbsp 175 5 2 7 1 displaystyle 175 5 color Blue 2 cdot 7 color Blue 1 nbsp also kgV 144 160 175 2 5 3 2 5 2 7 1 50 400 displaystyle operatorname kgV 144 160 175 2 color OliveGreen 5 cdot 3 color Red 2 cdot 5 color Blue 2 cdot 7 color Blue 1 50 400 nbsp Man konnte auch zunachst kgV 144 160 1440 displaystyle operatorname kgV 144 160 1440 nbsp berechnen und danach kgV 1440 175 50 400 displaystyle operatorname kgV 1440 175 50 400 nbsp denn als eine zweistellige Verknupfung auf den ganzen Zahlen ist das kgV assoziativ kgV m kgV n p kgV kgV m n p displaystyle operatorname kgV m operatorname kgV n p operatorname kgV operatorname kgV m n p nbsp Dies rechtfertigt die Schreibweise kgV m n p displaystyle operatorname kgV m n p nbsp 6 Anwendungen BearbeitenBruchrechnung Bearbeiten Angenommen man mochte die Bruche 17 21 displaystyle tfrac 17 21 nbsp und 44 35 displaystyle tfrac 44 35 nbsp addieren Dazu mussen diese durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden Man konnte 21 displaystyle 21 nbsp mit 35 displaystyle 35 nbsp multiplizieren was 735 displaystyle 735 nbsp ergibt Der kleinstmogliche gemeinsame Nenner der sog Hauptnenner ist aber kgV 21 35 105 displaystyle operatorname kgV 21 35 105 nbsp 7 Die beiden Bruche werden auf diesen Nenner erweitert und dann addiert Das Ergebnis wird gekurzt 17 21 44 35 5 17 5 21 3 44 3 35 85 105 132 105 217 105 31 15 displaystyle frac 17 21 frac 44 35 frac color Red 5 cdot 17 color Red 5 cdot 21 frac color Red 3 cdot 44 color Red 3 cdot 35 frac 85 105 frac 132 105 frac 217 105 frac 31 15 nbsp 8 Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Quellenangaben mangels Einzelnachweisen ungenauDas kgV in Ringen BearbeitenAnalog zum ggT ist das kgV in Ringen definiert Ein Ringelement v displaystyle v nbsp heisst kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier Ringelemente a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp wenn v displaystyle v nbsp ein gemeinsames Vielfaches von a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp ist und seinerseits jedes andere gemeinsame Vielfache von a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp ein Vielfaches von v displaystyle v nbsp ist Formal schreibt man diese Definition fur einen Ring R displaystyle R nbsp so v kgV a b a v b v e R a e b e v e displaystyle v operatorname kgV a b quad Longleftrightarrow quad a mid v b mid v forall e in R a mid e b mid e Rightarrow v mid e nbsp Diese allgemeinere Definition lasst sich auf mehrere Zahlen ausweiten sogar auf unendlich viele Beispiele Bearbeiten Das kgV von Polynomen Bearbeiten Das kgV lasst sich nicht nur fur naturliche und ganze Zahlen definieren Man kann es z B auch fur Polynome bilden Statt der Primfaktorzerlegung nimmt man hier die Zerlegung in irreduzible Faktoren f x x 2 2 x y y 2 x y 2 g x x 2 y 2 x y x y displaystyle begin aligned f x amp x 2 2xy y 2 x y 2 g x amp x 2 y 2 x y x y end aligned nbsp Dann ist kgV f g x y 2 x y displaystyle operatorname kgV f g x y 2 x y nbsp Die Division mit Rest die auch fur Polynome existiert erleichtert das Auffinden von gemeinsamen Teilern Gaussscher Zahlenring Bearbeiten Im gaussschen Zahlenring Z i Z displaystyle mathbb Z mathrm i mathbb Z nbsp ist der grosste gemeinsame Teiler von 2 displaystyle 2 nbsp und 1 3 i displaystyle 1 3 mathrm i nbsp gerade 1 i displaystyle 1 mathrm i nbsp denn 2 i 1 i 2 displaystyle 2 mathrm i 1 mathrm i 2 nbsp und 1 3 i 1 i 2 i displaystyle 1 3 mathrm i 1 mathrm i 2 mathrm i nbsp Genau genommen ist 1 i displaystyle 1 mathrm i nbsp ein grosster gemeinsamer Teiler da alle zu dieser Zahl assoziierten Zahlen ebenfalls grosste gemeinsame Teiler sind Nicht in jedem Ring existiert fur zwei Elemente ein ggT oder ein kgV Wenn sie einen ggT haben konnen sie mehrere ggT haben Ist der Ring ein Integritatsring dann sind alle ggT zueinander assoziiert in Zeichen displaystyle sim nbsp Ist R displaystyle R nbsp ein Integritatsring und haben die Elemente a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp ein kgV dann haben sie auch einen ggT und es gilt die Gleichung a b ggT a b kgV a b displaystyle a cdot b sim operatorname ggT a b cdot operatorname kgV a b nbsp Ist jedoch nur bekannt dass ein ggT von a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp existiert dann muss nicht unbedingt auch ein kgV existieren Integritatsring Bearbeiten Im Integritatsring R Z 3 displaystyle R mathbb Z sqrt 3 nbsp haben die Elemente a 4 2 2 1 3 1 3 b 1 3 2 displaystyle a 4 2 cdot 2 1 sqrt 3 1 sqrt 3 quad b 1 sqrt 3 cdot 2 nbsp keinen ggT Die Elemente 1 3 displaystyle 1 sqrt 3 nbsp und 2 displaystyle 2 nbsp sind zwei maximale gemeinsame Teiler denn beide haben den gleichen Betrag Jedoch sind diese zwei Elemente nicht zueinander assoziiert also gibt es keinen ggT von a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp Die genannten Elemente 1 3 displaystyle 1 sqrt 3 nbsp und 2 displaystyle 2 nbsp haben aber ihrerseits einen ggT namlich 1 displaystyle 1 nbsp Dagegen haben sie kein kgV denn wenn v displaystyle v nbsp ein kgV ware dann folgt aus der ggT kgV Gleichung dass v displaystyle v nbsp assoziiert zu k 1 3 2 displaystyle k 1 sqrt 3 cdot 2 nbsp sein muss Das gemeinsame Vielfache 4 displaystyle 4 nbsp ist jedoch kein Vielfaches von k displaystyle k nbsp also ist k displaystyle k nbsp kein kgV und die beiden Elemente haben gar kein kgV Bemerkungen Bearbeiten Ein Integritatsring in dem je zwei Elemente einen ggT besitzen heisst ggT Ring oder ggT Bereich In einem ggT Ring haben je zwei Elemente auch ein kgV In einem faktoriellen Ring haben je zwei Elemente einen ggT In einem euklidischen Ring lasst sich der ggT zweier Elemente mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Algorithmensammlung Euklidischer Algorithmus und kgV Lern und Lehrmaterialien nbsp Wiktionary kleinster gemeinsamer Nenner Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Online Tool zur Berechnung des ggT und des kgV von zwei oder drei Zahlen Verschiedene Online Tools zur Primfaktorzerlegung ggT und kgV Video Gemeinsames und kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV Padagogische Hochschule Heidelberg PHHD 2012 zur Verfugung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek TIB doi 10 5446 19848 Einzelnachweise Bearbeiten Schuler Duden Die Mathematik I Dudenverlag Mannheim 1990 ISBN 3 411 04205 2 S 210 Harald Scheid Einfuhrung in die Zahlentheorie Klett Verlag Stuttgart 1972 ISBN 3 12 983240 8 S 79 G H Hardy E M Wright An Introduction to the Theory of Numbers 5 Auflage Oxford University Press Oxford 1979 ISBN 0 19 853171 0 5 1 S 48 H Athen J Bruhn Lexikon der Schulmathematik Band 2 Aulis Verlag Koln 1977 S 488 math www uni paderborn de S 14 ggT und kgV Harald Scheid Einfuhrung in die Zahlentheorie Klett Verlag Stuttgart 1972 ISBN 3 12 983240 8 S 84 85 Heinz Griesel und andere Elemente der Mathematik Niedersachsen 5 Schuljahr Schroedel Verlag Hannover 2005 ISBN 3 507 87205 6 S 173 Heinz Griesel und andere Elemente der Mathematik Niedersachsen 6 Schuljahr Schroedel Verlag Hannover 2005 ISBN 3 507 87206 4 S 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kleinstes gemeinsames Vielfaches amp oldid 237608085