In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein irreduzibles Polynom ein Polynom, das sich nicht als Produkt zweier nicht invertierbarer Polynome schreiben lässt und somit nicht in „einfachere“ Polynome zerfällt. Ihre Bedeutung für die Polynomringe ist in den meisten Fällen (Polynome über faktoriellen Ringen) mit der Bedeutung von Primzahlen für natürliche Zahlen gleich.
Definition
Die Definition lässt sich bereits für Integritätsringe formulieren. Es ist bekannt, dass der Polynomring über einem Integritätsring selbst nullteilerfrei ist. Dies ist der Grund, dass die Definitionen von irreduziblen Elementen übernommen werden kann. Da in vielen Fällen nur Körper behandelt werden und die Definition dort einfacher ist, wird auch die Definition für diesen Spezialfall aufgeführt. In der allgemeinen Definition kann man sich trivialerweise auf eine Variable beschränken.
Definition allgemein für Integritätsringe
Es sei ein Integritätsring. Dann heißt ein Polynom irreduzibel, wenn nicht invertierbar in ist und für und entweder oder invertierbar ist.
Definition speziell für Körper
Es sei ein Körper. Dann heißt ein Polynom aus dem Polynomring in Unbestimmten irreduzibel, wenn nicht konstant ist und es keine nichtkonstanten Polynome gibt, so dass gilt. Falls solche Polynome existieren, so heißt auch reduzibel oder zerlegbar.
Eine äquivalente Beschreibung lautet: Irreduzible Polynome sind genau die irreduziblen Elemente im Ring .
Primpolynome und irreduzible Polynome im Vergleich
Ein Polynom heißt prim oder Primpolynom, wenn für alle mit der Eigenschaft folgt: oder . Ist der Ring sogar faktoriell, so ist auch faktoriell (Satz von Gauß). Insbesondere sind alle Körper faktoriell und damit auch die zugehörigen Polynomringe.
Für Polynome über faktoriellen Ringen (also auch für Polynome über einem Körper) sind Primelemente auch irreduzible Elemente und umgekehrt. Es gilt zudem eine bis auf Assoziiertheit eindeutige Zerlegung von Polynomen in Primpolynome.
Es lassen sich in diesen faktoriellen Ringen die Irreduzibilität von Polynomen auch auf die Irreduzibilität von Polynomen über dem Quotientenkörper zurückführen. Dieses Problem ist aber nicht zwangsläufig einfacher zu lösen. Man beachte dazu, dass ein Polynom aus einem faktoriellen Ring genau dann prim ist, wenn das Polynom entweder konstant einem Primelement ist, oder irreduzibel und primitiv (d. h. größter gemeinsamer Teiler aller Koeffizienten ist ) in dem Quotientenkörper über .
Irreduzibilitätskriterien
In sehr vielen Bereichen kommen Polynome in einer Variablen vor, deren Irreduzibilität weitere Folgerungen möglich macht, z. B. grundlegend in der Galoistheorie und exemplarisch als Anwendung das chromatische Polynom in der Graphentheorie. (Siehe auch Minimalpolynom). Wichtig ist es deshalb, einfache Entscheidungskriterien für die Irreduzibilität zur Hand zu haben.
Das Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein
Das Eisensteinkriterium ist ein hinreichendes (aber nicht notwendiges) Kriterium für die Irreduzibilität eines Polynoms in einer erweiterten Koeffizientenmenge. Sei dazu ein Integritätsring, ein Polynom mit Koeffizienten aus und der Quotientenkörper von . Findet man ein Primelement , so dass gilt:
- für sowie
dann ist irreduzibel über . Es wird häufig angewendet für und . Man kann die Bedingung der Teilbarkeit durch das Primelement auch überall durch Enthaltensein in einem Primideal von ersetzen.
Ist faktoriell und das Polynom primitiv, d. h. der größte gemeinsame Teiler aller Koeffizienten ist , dann ist auch in irreduzibel.
Reduktionskriterium
Auch das Reduktionskriterium ist nur ein hinreichendes Kriterium für die Irreduzibilität eines Polynoms. Es sei wieder ein Integritätsring mit Quotientenkörper und ein Primelement. Sei ein Polynom mit . Wenn mit den modulo reduzierten Koeffizienten in irreduzibel ist, dann ist auch irreduzibel in .
Beispiele
- Über Körpern gilt:
- Jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel. Besitzt ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle, so hat es Grad 1.
- Insbesondere hat jedes irreduzible Polynom über einem algebraisch abgeschlossenen Körper wie Grad 1.
- Jedes Polynom über vom Grad 2 oder vom Grad 3 ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle in hat.
- Jedes irreduzible Polynom über den reellen Zahlen hat Grad 1 oder 2, folglich entweder die Form mit oder mit . Das hängt damit zusammen, dass der algebraische Abschluss Grad 2 über hat.
- irreduzibel über für eine Primzahl aus , oder ist primitiv und irreduzibel über
- ist irreduzibel. Um dies einzusehen, zeigt man, dass alle irreduziblen Faktoren des Polynoms den gleichen Grad haben. Da prim ist, muss das Polynom dann entweder irreduzibel sein, oder in Linearfaktoren zerfallen. Letzteres kann aber nicht sein, da das Polynom in keine Nullstelle besitzt. Um nun zu zeigen, dass alle den gleichen Grad haben, kann man eine Nullstelle im Zerfällungskörper des Polynoms betrachten. Da das Polynom invariant unter der von induzierten Abbildung ist, sind auch Nullstellen. Im Zerfällungskörper hat das Polynom also die Gestalt . Für jeden irreduziblen Faktor gibt es somit ein , so dass Nullstelle des verschobenen Polynoms ist. Mit ist auch irreduzibel, d. h. alle irreduziblen Faktoren haben den gleichen Grad wie das Minimalpolynom von .
- Das Polynom ist irreduzibel, denn es ist primitiv und ein irreduzibles Polynom in den rationalen Zahlen. Man wende dazu das Reduktionskriterium an. Das Polynom mit den reduzierten Koeffizienten modulo ist dabei , und dies ist irreduzibel.
- ist irreduzibel. Dies folgt aus dem Eisensteinkriterium nur mit dem Primelement .
- Für eine Primzahl ist das Polynom für , , irreduzibel über . Das Minimalpolynom von über ist also . Als Folgerung ergibt sich beispielsweise, dass die Quadratwurzel aus eine irrationale Zahl ist (oder eine -te Wurzel aus einer Primzahl mit ).
- (oder als Element aus – man beachte, dass es primitiv ist) ist irreduzibel (Eisensteinsches Kriterium). Das Primelement ist dabei . Dieses Polynom ist allerdings nicht separabel, d. h., es hat im algebraischen Abschluss von eine mehrfache Nullstelle. Dieses Phänomen tritt nicht in auf.
Literatur
- Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2600-0, Kapitel 18.
Einzelnachweise
- Ed Dubinsky, Uri Leron: Learning abstract algebra with ISETL. 2019, ISBN 978-3-662-25454-7, S. 232 (Satz 6.17).