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Quotientenkörper In der Algebra ist der eines Rings mit bestimmten Eigenschaften eine Obermenge dieses Rings auf welche

Quotientenkörper

In der Algebra ist der Quotientenkörper eines Rings (mit bestimmten Eigenschaften) eine Obermenge dieses Rings, auf welche die Addition und die Multiplikation des Rings fortgesetzt werden und in der jedes Element außer ein multiplikatives Inverses besitzt. Das prominenteste Beispiel ist der Körper der rationalen Zahlen als Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen. Eine Verallgemeinerung des Konzepts für nicht notwendigerweise nullteilerfreie Ringe ist durch die Lokalisierung gegeben.

Definition Bearbeiten

Es sei ein vom Nullring verschiedener, nullteilerfreier kommutativer Ring. Der kleinste Körper, in den eingebettet werden kann, wird der Quotientenkörper oder Körper der Brüche des Rings genannt. Gebräuchlich ist die symbolische Abkürzung oder auch .

Bemerkungen Bearbeiten

Für den Nullring wäre die Menge in der Definition unten leer. Der Ring muss frei von Nullteilern sein, da ansonsten für mit die Multiplikation nicht wohldefiniert wäre (siehe unten). Ist der Ring nicht kommutativ, so entsteht lediglich ein Schiefkörper, der nicht zwangsläufig ein Körper ist.

Jeder Ring obiger Art kann in einen „kleinsten“ Körper eingebettet werden, d. h. alle Körper, in die der Ring eingebettet werden kann, enthalten einen zu diesem kleinsten Körper, dem Quotientenkörper des Rings, isomorphen Teilkörper; insbesondere kann er so auch zu einem Integritätsring erweitert werden, indem der Quotientenkörper gebildet und zu adjungiert wird. Das heißt, ist der kleinste Integritätsring, der enthält.

Insbesondere erfüllt jeder Integritätsring die geforderten Eigenschaften; allerdings ist ein Einselement, das der Integritätsring zusätzlich fordert, nicht notwendig, um den Quotientenkörper bilden zu können. Dennoch fordern viele Autoren wegen besserer Übersichtlichkeit einen Integritätsring.

Die Konstruktion des Quotientenkörpers ist ein Spezialfall der Lokalisierung.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Der Quotientenkörper eines Körpers ist bis auf Isomorphie der Körper selbst.
  • Abstrakt definiert man den Quotientenkörper eines Ringes durch folgende universelle Eigenschaft: Ein Quotientenkörper ist ein Paar , wobei ein Körper und ein injektiver Ringhomomorphismus ist, mit der Eigenschaft, dass es für jedes Paar , wobei ein Körper und ein injektiver Ringhomomorphismus ist, genau einen injektiven Körperhomomorphismus gibt mit . Anschaulich bedeutet dies, dass man in jeden Körper, in den man einbetten kann, ebenfalls den Quotientenkörper von einbetten kann (wobei letztere Einbettung eine Fortsetzung der ersten ist).

Aus der letztgenannten Eigenschaft folgt, dass der kleinste Körper ist, der enthält, und dass dieser bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist, also ist es gerechtfertigt, von dem Quotientenkörper zu sprechen.

Konstruktion Bearbeiten

Man kann den Quotientenkörper eines Rings wie folgt konstruieren:

  • Üblicherweise schreibt man für die Äquivalenzklasse von .
  • Man setzt nun gleich der Menge der Äquivalenzklassen: .
  • Definiere auf die Addition und Multiplikation wie folgt vertreterweise:
  • Der Ring ist nicht der Nullring, enthält also ein Element . Das neutrale Element bezüglich der Addition (das Nullelement) ist , das neutrale Element bezüglich der Multiplikation (das Einselement) ist . Diese Äquivalenzklassen sind für alle gleich. Im Falle des Integritätsrings wird meist gewählt.
  • Für ist das Inverse bezüglich der Addition durch gegeben, und falls ist, ist invertierbar bezüglich der Multiplikation, wobei das Inverse durch gegeben ist.
  • Damit ist ein Körper, insbesondere ist für einen Integritätsring , ein injektiver Ringhomomorphismus, welcher die gewünschte Einbettung vermittelt. Es gilt .

Für die Wohldefiniertheit der Struktur von ist die Kürzungsregel in nullteilerfreien Ringen entscheidend, d. h., dass für aus stets folgt.

Beispiele Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. Auflage. Springer, 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Zu Anwendungen in der Funktionentheorie:

  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3-540-67641-4.
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In der Algebra ist der Quotientenkorper eines Rings mit bestimmten Eigenschaften eine Obermenge dieses Rings auf welche die Addition und die Multiplikation des Rings fortgesetzt werden und in der jedes Element ausser 0 displaystyle 0 ein multiplikatives Inverses besitzt Das prominenteste Beispiel ist der Korper der rationalen Zahlen als Quotientenkorper des Rings der ganzen Zahlen Eine Verallgemeinerung des Konzepts fur nicht notwendigerweise nullteilerfreie Ringe ist durch die Lokalisierung gegeben Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Bemerkungen 2 Eigenschaften 3 Konstruktion 4 Beispiele 5 LiteraturDefinition BearbeitenEs sei R displaystyle R nbsp ein vom Nullring verschiedener nullteilerfreier kommutativer Ring Der kleinste Korper in den R displaystyle R nbsp eingebettet werden kann wird der Quotientenkorper oder Korper der Bruche des Rings genannt Gebrauchlich ist die symbolische Abkurzung Quot R displaystyle operatorname Quot R nbsp oder auch Q R displaystyle operatorname Q R nbsp Bemerkungen Bearbeiten Fur den Nullring ware die Menge M displaystyle M nbsp in der Definition unten leer Der Ring muss frei von Nullteilern sein da ansonsten fur b d R 0 displaystyle b d in R setminus 0 nbsp mit b d 0 displaystyle bd 0 nbsp die Multiplikation nicht wohldefiniert ware siehe unten Ist der Ring nicht kommutativ so entsteht lediglich ein Schiefkorper der nicht zwangslaufig ein Korper ist Jeder Ring obiger Art kann in einen kleinsten Korper eingebettet werden d h alle Korper in die der Ring eingebettet werden kann enthalten einen zu diesem kleinsten Korper dem Quotientenkorper des Rings isomorphen Teilkorper insbesondere kann er so auch zu einem Integritatsring erweitert werden indem der Quotientenkorper gebildet und 1 Quot R displaystyle 1 in operatorname Quot R nbsp zu R Quot R displaystyle R subset operatorname Quot R nbsp adjungiert wird Das heisst R 1 Quot R displaystyle R 1 subset operatorname Quot R nbsp ist der kleinste Integritatsring der R displaystyle R nbsp enthalt Insbesondere erfullt jeder Integritatsring die geforderten Eigenschaften allerdings ist ein Einselement das der Integritatsring zusatzlich fordert nicht notwendig um den Quotientenkorper bilden zu konnen Dennoch fordern viele Autoren wegen besserer Ubersichtlichkeit einen Integritatsring Die Konstruktion des Quotientenkorpers ist ein Spezialfall der Lokalisierung Eigenschaften Bearbeiten nbsp Der Quotientenkorper eines Korpers ist bis auf Isomorphie der Korper selbst Abstrakt definiert man den Quotientenkorper eines Ringes R displaystyle R nbsp durch folgende universelle Eigenschaft Ein Quotientenkorper ist ein Paar Quot R i displaystyle operatorname Quot R i nbsp wobei Quot R displaystyle operatorname Quot R nbsp ein Korper und i R Quot R displaystyle i colon R to operatorname Quot R nbsp ein injektiver Ringhomomorphismus ist mit der Eigenschaft dass es fur jedes Paar K f displaystyle K f nbsp wobei K displaystyle K nbsp ein Korper und f R K displaystyle f colon R to K nbsp ein injektiver Ringhomomorphismus ist genau einen injektiven Korperhomomorphismus g Quot R K displaystyle g colon operatorname Quot R to K nbsp gibt mit f g i displaystyle f g circ i nbsp Anschaulich bedeutet dies dass man in jeden Korper in den man R displaystyle R nbsp einbetten kann ebenfalls den Quotientenkorper von R displaystyle R nbsp einbetten kann wobei letztere Einbettung eine Fortsetzung der ersten ist Aus der letztgenannten Eigenschaft folgt dass Quot R displaystyle operatorname Quot R nbsp der kleinste Korper ist der R displaystyle R nbsp enthalt und dass dieser bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist also ist es gerechtfertigt von dem Quotientenkorper zu sprechen Konstruktion BearbeitenMan kann den Quotientenkorper Quot R i displaystyle operatorname Quot R i nbsp eines Rings R displaystyle R nbsp wie folgt konstruieren Erklare auf M R R 0 displaystyle M R times left R setminus 0 right nbsp die Aquivalenzrelation a b c d a d c b displaystyle a b sim c d quad iff quad ad cb nbsp Ublicherweise schreibt man a b displaystyle tfrac a b nbsp fur die Aquivalenzklasse von a b displaystyle a b nbsp Man setzt nun Q displaystyle Q nbsp gleich der Menge der Aquivalenzklassen Q M a b a b M displaystyle Q M sim left tfrac a b mid a b in M right nbsp Definiere auf Q displaystyle Q nbsp die Addition und Multiplikation wie folgt vertreterweise a b c d a d c b b d a b c d a c b d displaystyle frac a b frac c d frac ad cb bd qquad frac a b cdot frac c d frac ac bd nbsp Insbesondere sind die so definierten Operationen wohldefiniert also die beiden Seiten von der Wahl der Vertreter unabhangig Der Ring ist nicht der Nullring enthalt also ein Element a 0 displaystyle a neq 0 nbsp Das neutrale Element bezuglich der Addition das Nullelement ist 0 a textstyle frac 0 a nbsp das neutrale Element bezuglich der Multiplikation das Einselement ist a a textstyle frac a a nbsp Diese Aquivalenzklassen sind fur alle a R 0 displaystyle a in R setminus 0 nbsp gleich Im Falle des Integritatsrings wird meist a 1 displaystyle a 1 nbsp gewahlt Fur a b displaystyle tfrac a b nbsp ist das Inverse bezuglich der Addition durch a b displaystyle tfrac a b nbsp gegeben und falls a 0 displaystyle a neq 0 nbsp ist ist a b displaystyle tfrac a b nbsp invertierbar bezuglich der Multiplikation wobei das Inverse durch b a displaystyle tfrac b a nbsp gegeben ist Damit ist Q displaystyle Q cdot nbsp ein Korper insbesondere ist fur einen Integritatsring i R Q displaystyle i colon R to Q nbsp a a 1 displaystyle a mapsto tfrac a 1 nbsp ein injektiver Ringhomomorphismus welcher die gewunschte Einbettung vermittelt Es gilt Quot R Q displaystyle operatorname Quot R Q cdot nbsp Fur die Wohldefiniertheit der Struktur von Quot R displaystyle operatorname Quot R nbsp ist die Kurzungsregel in nullteilerfreien Ringen entscheidend d h dass fur a 0 displaystyle a neq 0 nbsp aus a x a y displaystyle ax ay nbsp stets x y displaystyle x y nbsp folgt Beispiele BearbeitenDer Quotientenkorper Quot Z displaystyle operatorname Quot mathbb Z nbsp des Integritatsrings Z displaystyle mathbb Z nbsp der ganzen Zahlen ist der Korper Q displaystyle mathbb Q nbsp der rationalen Zahlen Der Quotientenkorper Quot 2 Z displaystyle operatorname Quot 2 mathbb Z nbsp des Rings der geraden ganzen Zahlen ein Ring ohne Eins ist ebenfalls der Korper Q displaystyle mathbb Q nbsp Der Quotientenkorper Quot K X displaystyle operatorname Quot big K X big nbsp des Polynomrings wird haufig als der rationale Funktionenkorper K X displaystyle displaystyle K X nbsp definiert Der Quadratische Zahlkorper Q i displaystyle mathbb Q mathrm i nbsp ist der Quotientenkorper der Gaussschen Zahlen Z i displaystyle mathbb Z mathrm i nbsp Sei O C displaystyle mathcal O mathbb C nbsp der Integritatsring der ganzen Funktionen und M C displaystyle mathcal M mathbb C nbsp der Korper der auf C displaystyle mathbb C nbsp meromorphen Funktionen Mit dem Weierstrassschen Produktsatz sieht man dass man jede auf C displaystyle mathbb C nbsp meromorphe Funktion als Quotient zweier ganzer Funktionen schreiben kann folglich ist M C Quot O C displaystyle mathcal M mathbb C operatorname Quot mathcal O mathbb C nbsp Literatur BearbeitenThomas W Hungerford Algebra 5 Auflage Springer 1989 ISBN 0 387 90518 9 Zu Anwendungen in der Funktionentheorie Eberhard Freitag Rolf Busam Funktionentheorie 1 3 Auflage Springer 2000 ISBN 3 540 67641 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quotientenkorper amp oldid 216959225