Weierstraßscher Produktsatz Der weierstraßsche Produktsatz für C displaystyle mathbb C besagt dass zu einer vorgegebenen

Weierstraßscher Produktsatz

Der weierstraßsche Produktsatz für besagt, dass zu einer vorgegebenen Nullstellenverteilung in eine holomorphe Funktion mit genau diesen Nullstellen existiert. Die Funktion kann als sogenanntes Weierstraß-Produkt explizit konstruiert werden. Der Satz wurde 1876 von Karl Weierstraß gefunden.

Motivation Bearbeiten

Zu endlich vielen Nullstellen kann man sofort ein Polynom hinschreiben, welches das gestellte Problem löst, beispielsweise . Im Falle (abzählbar) unendlich vieler Nullstellen wird das Produkt im Allgemeinen nicht mehr konvergieren. Ausgehend von der Identität führte Weierstraß deshalb "konvergenzerzeugende" Faktoren ein, indem er die Reihenentwicklung abbrach und Faktoren definierte. hat nur eine Nullstelle bei , kann aber im Gegensatz zu auf jeder kompakten Teilmenge des Einheitskreises beliebig nahe an liegen, sofern groß genug gewählt wird. Dadurch kann auch die Konvergenz eines unendlichen Produktes erreicht werden.

Weierstraß-Produkt Bearbeiten

Es sei ein positiver Divisor im Bereich und eine so gewählte Folge, dass . Das heißt, die Folge durchläuft mit Ausnahme des Nullpunktes alle Punkte des Trägers von mit der nötigen Multiplizität. Sie heißt die zum Divisor gehörende Folge. Ein Produkt heißt Weierstrass-Produkt zum Divisor , falls gilt:

holomorph in
hat genau eine Nullstelle, und zwar in und von der Multiplizität
Das Produkt konvergiert normal auf jeder kompakten Teilmenge von .

Produktsatz in ℂ Bearbeiten

Zu jedem positiven Divisor in existieren Weierstrass-Produkte der Form . Dabei sei die zum Divisor gehörende Folge.

Folgerungen in ℂ Bearbeiten

Zu jedem Divisor gibt es eine meromorphe Funktion mit den dadurch vorgegebenen Null- und Polstellen. Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor.
Zu jeder meromorphen Funktion gibt es zwei holomorphe Funktionen ohne gemeinsame Nullstellen derart, dass . Insbesondere ist der Körper der meromorphen Funktionen der Quotientenkörper des Integritätsrings der holomorphen Funktionen.
Im Ring der holomorphen Funktionen besitzt jede nicht-leere Teilmenge einen größten gemeinsamen Teiler, obwohl der Ring nicht faktoriell ist.

Verallgemeinerung für beliebige Bereiche Bearbeiten

Es sei ein Bereich und ein positiver Divisor auf mit Träger und es bezeichne die Menge aller Häufungspunkte von in . Dann existieren zum Divisor Weierstraß-Produkte in . Sie konvergieren im Allgemeinen also auf einem größeren Bereich als .

Verallgemeinerung für Steinsche Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Eine erste Verallgemeinerung des Produktsatzes für andere komplexe Mannigfaltigkeiten gelang 1895 Pierre Cousin, der den Satz für Zylindergebiete im bewies. Aus diesem Grund wird die Frage, ob zu einem vorgegebenen Divisor eine passende meromorphe Funktion konstruiert werden kann, auch als Cousin-Problem bezeichnet.

Jean-Pierre Serre löste 1953 das Cousin-Problem endgültig und zeigte: In einer Steinschen Mannigfaltigkeit ist ein Divisor genau dann der Divisor einer meromorphen Funktion, wenn seine Chernsche Kohomologieklasse in verschwindet. Insbesondere ist in einer Steinschen Mannigfaltigkeit mit jeder Divisor ein Hauptdivisor. Dies ist die unmittelbare Folgerung daraus, dass in Steinschen Mannigfaltigkeiten folgende Sequenz exakt ist, wobei die Garbe der Divisoren bezeichnet:

Literatur Bearbeiten

Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-57052-3.
Hans Grauert, Reinhold Remmert: Theory of Stein Spaces. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-00373-8.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 19:03 pm

Der weierstrasssche Produktsatz fur C displaystyle mathbb C besagt dass zu einer vorgegebenen Nullstellenverteilung in C displaystyle mathbb C eine holomorphe Funktion mit genau diesen Nullstellen existiert Die Funktion kann als sogenanntes Weierstrass Produkt explizit konstruiert werden Der Satz wurde 1876 von Karl Weierstrass gefunden Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Weierstrass Produkt 3 Produktsatz in ℂ 4 Folgerungen in ℂ 5 Verallgemeinerung fur beliebige Bereiche 6 Verallgemeinerung fur Steinsche Mannigfaltigkeiten 7 LiteraturMotivation BearbeitenZu endlich vielen Nullstellen a 1 a n C displaystyle a 1 dots a n in mathbb C nbsp kann man sofort ein Polynom hinschreiben welches das gestellte Problem lost beispielsweise 1 z a 1 1 z a n displaystyle left 1 frac z a 1 right cdots left 1 frac z a n right nbsp Im Falle abzahlbar unendlich vieler Nullstellen wird das Produkt im Allgemeinen nicht mehr konvergieren Ausgehend von der Identitat 1 z exp log 1 z exp k 1 z k k z C z lt 1 displaystyle 1 z exp log 1 z exp left sum k 1 infty frac z k k right quad z in mathbb C z lt 1 nbsp fuhrte Weierstrass deshalb konvergenzerzeugende Faktoren ein indem er die Reihenentwicklung abbrach und Faktoren E n z 1 z exp k 1 n z k k displaystyle E n z 1 z exp left sum k 1 n frac z k k right nbsp definierte E n displaystyle E n nbsp hat nur eine Nullstelle bei 1 displaystyle 1 nbsp kann aber im Gegensatz zu 1 z displaystyle 1 z nbsp auf jeder kompakten Teilmenge des Einheitskreises beliebig nahe an 1 displaystyle 1 nbsp liegen sofern n displaystyle n nbsp gross genug gewahlt wird Dadurch kann auch die Konvergenz eines unendlichen Produktes erreicht werden Weierstrass Produkt BearbeitenEs sei D displaystyle D nbsp ein positiver Divisor im Bereich W C displaystyle Omega subseteq mathbb C nbsp und a k displaystyle a k nbsp eine so gewahlte Folge dass D D 0 0 k a k displaystyle D D 0 cdot 0 sum k a k nbsp Das heisst die Folge durchlauft mit Ausnahme des Nullpunktes alle Punkte des Tragers von D displaystyle D nbsp mit der notigen Multiplizitat Sie heisst die zum Divisor D displaystyle D nbsp gehorende Folge Ein Produkt z D 0 k 1 f k z displaystyle z D 0 prod k geq 1 f k z nbsp heisst Weierstrass Produkt zum Divisor D displaystyle D nbsp falls gilt f k displaystyle f k nbsp holomorph in W displaystyle Omega nbsp f k displaystyle f k nbsp hat genau eine Nullstelle und zwar in a k displaystyle a k nbsp und von der Multiplizitat 1 displaystyle 1 nbsp Das Produkt k f k displaystyle textstyle prod k f k nbsp konvergiert normal auf jeder kompakten Teilmenge von W displaystyle Omega nbsp Produktsatz in ℂ BearbeitenZu jedem positiven Divisor D displaystyle D nbsp in C displaystyle mathbb C nbsp existieren Weierstrass Produkte der Form z D 0 k 1 E k 1 z a k displaystyle z D 0 prod k geq 1 E k 1 left frac z a k right nbsp Dabei sei a k displaystyle a k nbsp die zum Divisor D displaystyle D nbsp gehorende Folge Folgerungen in ℂ BearbeitenZu jedem Divisor gibt es eine meromorphe Funktion mit den dadurch vorgegebenen Null und Polstellen Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor Zu jeder meromorphen Funktion h displaystyle h nbsp gibt es zwei holomorphe Funktionen f g displaystyle f g nbsp ohne gemeinsame Nullstellen derart dass h f g displaystyle h f g nbsp Insbesondere ist der Korper der meromorphen Funktionen der Quotientenkorper des Integritatsrings der holomorphen Funktionen Im Ring der holomorphen Funktionen besitzt jede nicht leere Teilmenge einen grossten gemeinsamen Teiler obwohl der Ring nicht faktoriell ist Verallgemeinerung fur beliebige Bereiche BearbeitenEs sei W C displaystyle Omega subseteq mathbb C nbsp ein Bereich und D displaystyle D nbsp ein positiver Divisor auf W displaystyle Omega nbsp mit Trager T displaystyle T nbsp und es bezeichne T T T displaystyle T overline T setminus T nbsp die Menge aller Haufungspunkte von T displaystyle T nbsp in C displaystyle mathbb C nbsp Dann existieren zum Divisor D displaystyle D nbsp Weierstrass Produkte in C T displaystyle mathbb C setminus T nbsp Sie konvergieren im Allgemeinen also auf einem grosseren Bereich als W displaystyle Omega nbsp Verallgemeinerung fur Steinsche Mannigfaltigkeiten BearbeitenEine erste Verallgemeinerung des Produktsatzes fur andere komplexe Mannigfaltigkeiten gelang 1895 Pierre Cousin der den Satz fur Zylindergebiete im C n displaystyle mathbb C n nbsp bewies Aus diesem Grund wird die Frage ob zu einem vorgegebenen Divisor eine passende meromorphe Funktion konstruiert werden kann auch als Cousin Problem bezeichnet Jean Pierre Serre loste 1953 das Cousin Problem endgultig und zeigte In einer Steinschen Mannigfaltigkeit X displaystyle X nbsp ist ein Divisor genau dann der Divisor einer meromorphen Funktion wenn seine Chernsche Kohomologieklasse in H 2 X Z displaystyle H 2 X mathbb Z nbsp verschwindet Insbesondere ist in einer Steinschen Mannigfaltigkeit mit H 2 X Z 0 displaystyle H 2 X mathbb Z 0 nbsp jeder Divisor ein Hauptdivisor Dies ist die unmittelbare Folgerung daraus dass in Steinschen Mannigfaltigkeiten folgende Sequenz exakt ist wobei D displaystyle mathcal D nbsp die Garbe der Divisoren bezeichnet 0 O X M X D X H 2 X Z 0 displaystyle 0 to mathcal O X to mathcal M X to mathcal D X rightarrow H 2 X mathbb Z to 0 nbsp Literatur BearbeitenReinhold Remmert Georg Schumacher Funktionentheorie 2 Springer Berlin 2007 ISBN 978 3 540 57052 3 Hans Grauert Reinhold Remmert Theory of Stein Spaces Springer Berlin 2004 ISBN 3 540 00373 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Weierstrassscher Produktsatz amp oldid 222613607