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Steinsche Mannigfaltigkeit Eine Stein sche Mannigfaltigkeit ist ein Objekt aus der höherdimensionalen Funktionentheorie

Steinsche Mannigfaltigkeit

Eine Stein'sche Mannigfaltigkeit ist ein Objekt aus der höherdimensionalen Funktionentheorie. Benannt wurde dieses nach dem Mathematiker Karl Stein. Eine Stein'sche Mannigfaltigkeit ist eine spezielle komplexe Mannigfaltigkeit. Sie ist die natürliche Definitionsmenge von holomorphen Funktionen, denn es ist sichergestellt, dass es genügend holomorphe Funktionen gibt; also außer den konstanten Funktionen weitere holomorphe Funktionen existieren.

Definition Bearbeiten

Mit bezeichne man die Menge der holomorphen Funktionen auf . Eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension heißt Stein'sche Mannigfaltigkeit, falls

  • holomorph konvex ist, das heißt
ist eine kompakte Teilmenge von für jede kompakte Teilmenge .
  • ist holomorph separabel, das heißt für zwei unterschiedliche Punkte und in , gibt es eine holomorphe Funktion mit

Beispiele Bearbeiten

Einbettungssatz Bearbeiten

Jede reelle -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit kann nach dem Einbettungssatz von Whitney in den eingebettet werden. Dieses Resultat ist für komplexe Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen falsch. Kompakte, komplexe Mannigfaltigkeiten positiver Dimension kann man beispielsweise nicht in den einbetten. Jedoch lassen sich Stein'sche Mannigfaltigkeiten immer einbetten. Der folgende Satz wurde von Reinhold Remmert und Errett Bishop bewiesen.

Sei eine Stein'sche Mannigfaltigkeit der Dimension , dann existiert eine holomorphe Abbildung , welche injektiv und eigentlich ist.

In dem Fall kann man jede -dimensionale Stein'sche Mannigfaltigkeit in den einbetten. Für kann man diese sogar in den einbetten. Hierbei ist die Gaußklammer, welche den Wert auf die nächste ganze Zahl aufrundet.

Literatur Bearbeiten

  • Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 213). Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95395-7.
  • Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables (= North-Holland Mathematical Library 7). 2. revised edition. North-Holland u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-7204-2450-X.
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Eine Stein sche Mannigfaltigkeit ist ein Objekt aus der hoherdimensionalen Funktionentheorie Benannt wurde dieses nach dem Mathematiker Karl Stein Eine Stein sche Mannigfaltigkeit ist eine spezielle komplexe Mannigfaltigkeit Sie ist die naturliche Definitionsmenge von holomorphen Funktionen denn es ist sichergestellt dass es genugend holomorphe Funktionen gibt also ausser den konstanten Funktionen weitere holomorphe Funktionen existieren Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Einbettungssatz 4 LiteraturDefinition BearbeitenMit O M displaystyle mathcal O M nbsp bezeichne man die Menge der holomorphen Funktionen auf M displaystyle M nbsp Eine komplexe Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp der Dimension n displaystyle n nbsp heisst Stein sche Mannigfaltigkeit falls M displaystyle M nbsp holomorph konvex ist das heisstK z M f z sup K f f u r j e d e s f O M displaystyle hat K z in M f z leq sup K f mathrm f ddot u r jedes f in mathcal O M nbsp dd ist eine kompakte Teilmenge von M displaystyle M nbsp fur jede kompakte Teilmenge K M displaystyle K subset M nbsp M displaystyle M nbsp ist holomorph separabel das heisst fur zwei unterschiedliche Punkte z 1 displaystyle z 1 nbsp und z 2 displaystyle z 2 nbsp in M displaystyle M nbsp gibt es eine holomorphe Funktion f O M displaystyle f in mathcal O M nbsp mitf z 1 f z 2 displaystyle f z 1 neq f z 2 nbsp dd Beispiele BearbeitenJedes Holomorphiegebiet ist eine Stein sche Mannigfaltigkeit Sei X displaystyle X nbsp eine Untermannigfaltigkeit einer Stein schen Mannigfaltigkeit Falls X displaystyle X nbsp abgeschlossen ist so ist X displaystyle X nbsp wieder eine Stein sche Mannigfaltigkeit Eine Riemann sche Flache M displaystyle M nbsp ist genau dann eine Stein sche Mannigfaltigkeit wenn M displaystyle M nbsp nicht kompakt ist Einbettungssatz BearbeitenJede reelle n displaystyle n nbsp dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit kann nach dem Einbettungssatz von Whitney in den R 2 n displaystyle mathbb R 2n nbsp eingebettet werden Dieses Resultat ist fur komplexe Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen falsch Kompakte komplexe Mannigfaltigkeiten positiver Dimension kann man beispielsweise nicht in den C N displaystyle mathbb C N nbsp einbetten Jedoch lassen sich Stein sche Mannigfaltigkeiten immer einbetten Der folgende Satz wurde von Reinhold Remmert und Errett Bishop bewiesen Sei M displaystyle M nbsp eine Stein sche Mannigfaltigkeit der Dimension n displaystyle n nbsp dann existiert eine holomorphe Abbildung f M C 2 n 1 displaystyle f colon M to mathbb C 2n 1 nbsp welche injektiv und eigentlich ist In dem Fall n 2 displaystyle n geq 2 nbsp kann man jede n displaystyle n nbsp dimensionale Stein sche Mannigfaltigkeit in den C 2 n displaystyle mathbb C 2n nbsp einbetten Fur n gt 6 displaystyle n gt 6 nbsp kann man diese sogar in den C 2 n n 2 3 displaystyle mathbb C 2n left n 2 3 right nbsp einbetten Hierbei ist displaystyle nbsp die Gaussklammer welche den Wert auf die nachste ganze Zahl aufrundet Literatur BearbeitenKlaus Fritzsche Hans Grauert From Holomorphic Functions to Complex Manifolds Graduate Texts in Mathematics 213 Springer New York NY u a 2002 ISBN 0 387 95395 7 Lars Hormander An Introduction to Complex Analysis in Several Variables North Holland Mathematical Library 7 2 revised edition North Holland u a Amsterdam u a 1973 ISBN 0 7204 2450 X Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Steinsche Mannigfaltigkeit amp oldid 215330498