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Holomorphiegebiet Das wird in der mehrdimensionalen Funktionentheorie betrachtet Auf jedem gibt es eine holomorphe Funkt

Holomorphiegebiet

Das Holomorphiegebiet wird in der mehrdimensionalen Funktionentheorie betrachtet. Auf jedem Holomorphiegebiet gibt es eine holomorphe Funktion, welche nicht über das Gebiet fortgesetzt werden kann.

Definition Bearbeiten

Die Mengen in der Definition

Eine offene Menge heißt Holomorphiegebiet, falls es keine offenen Teilmengen und in gibt mit den folgenden Eigenschaften:

  1. .
  2. ist zusammenhängend und nicht in enthalten.
  3. Für jede holomorphe Funktion existiert eine (notwendigerweise eindeutige) holomorphe Funktion , so dass in gilt.

Beispiele Bearbeiten

  • Einfache Beispiele sind der , die offene Kugel oder der Polyzylinder.
  • Jede konvexe Menge ist ein Holomorphiegebiet.
  • Ein Gebiet ist genau dann ein Holomorphiegebiet, wenn es pseudokonvex ist.
  • Im Fall ist jede offene Teilmenge ein Holomorphiegebiet. Wähle eine holomorphe Funktion nur mit Nullstellen auf allen Randpunkten von , so kann man nicht über hinaus fortsetzen. Das Lemma von Hartogs zeigt, dass eine analoge Aussage für falsch ist. Insbesondere ist kein Holomorphiegebiet, wobei Polyzylinder bezeichne.

Literatur Bearbeiten

  • Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland Pub. Co., Amsterdam; American Elsevier Pub. Co., New York 1973, ISBN 9780444105233.
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Veröffentlichungsdatum:
Das Holomorphiegebiet wird in der mehrdimensionalen Funktionentheorie betrachtet Auf jedem Holomorphiegebiet gibt es eine holomorphe Funktion welche nicht uber das Gebiet fortgesetzt werden kann Definition Bearbeiten nbsp Die Mengen in der DefinitionEine offene Menge W C n displaystyle Omega subset mathbb C n nbsp heisst Holomorphiegebiet falls es keine offenen Teilmengen W 1 displaystyle Omega 1 nbsp und W 2 displaystyle Omega 2 nbsp in C n displaystyle mathbb C n nbsp gibt mit den folgenden Eigenschaften W 1 W 2 W displaystyle emptyset neq Omega 1 subset Omega 2 cap Omega nbsp W 2 displaystyle Omega 2 nbsp ist zusammenhangend und nicht in W displaystyle Omega nbsp enthalten Fur jede holomorphe Funktion u W C displaystyle u colon Omega to mathbb C nbsp existiert eine notwendigerweise eindeutige holomorphe Funktion u 2 W 2 C displaystyle u 2 colon Omega 2 to mathbb C nbsp so dass u u 2 displaystyle u u 2 nbsp in W 1 displaystyle Omega 1 nbsp gilt Beispiele BearbeitenEinfache Beispiele sind der C n displaystyle mathbb C n nbsp die offene Kugel oder der Polyzylinder Jede konvexe Menge ist ein Holomorphiegebiet Ein Gebiet ist genau dann ein Holomorphiegebiet wenn es pseudokonvex ist Im Fall n 1 displaystyle n 1 nbsp ist jede offene Teilmenge W C displaystyle Omega subset mathbb C nbsp ein Holomorphiegebiet Wahle eine holomorphe Funktion f O C displaystyle f in mathcal O mathbb C nbsp nur mit Nullstellen auf allen Randpunkten von W displaystyle Omega nbsp so kann man 1 f displaystyle tfrac 1 f nbsp nicht uber W displaystyle Omega nbsp hinaus fortsetzen Das Lemma von Hartogs zeigt dass eine analoge Aussage fur n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp falsch ist Insbesondere ist D 0 0 2 2 D 0 0 1 1 C 2 displaystyle Delta 0 0 2 2 overline Delta 0 0 1 1 subset mathbb C 2 nbsp kein Holomorphiegebiet wobei D displaystyle Delta ldots ldots nbsp Polyzylinder bezeichne Literatur BearbeitenLars Hormander An Introduction to Complex Analysis in Several Variables North Holland Pub Co Amsterdam American Elsevier Pub Co New York 1973 ISBN 9780444105233 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Holomorphiegebiet amp oldid 194545564