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Normalität kommutative Algebra Im mathematischen Teilgebiet der Algebra heißt ein Integritätsbereich A displaystyle A no

Normalität (kommutative Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra heißt ein Integritätsbereich normal, wenn er ganzabgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist. Das heißt: Ist und ganz über , so ist bereits . Allgemein heißt ein beliebiger kommutativer Ring normal, wenn alle seine lokalen Ringe normale Integritätsbereiche sind. Für Integritätsbereiche stimmen die beiden Definitionen überein.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Eigenschaften Bearbeiten

Wird vorausgesetzt, dass der Ring noethersch ist, so gilt:

  • Ein normaler Ring ist ein endliches Produkt normaler Integritätsbereiche.
  • Ein normaler Integritätsbereich ist der Schnitt seiner Lokalisierungen an Primidealen der Höhe 1:

Beispiele Bearbeiten

  • Der Ring der ganzen Zahlen ist normal.
  • Der Ring mit der ganzen Gaußschen Zahlen ist ebenfalls normal.
  • Der Ring für ist nicht normal, weil i im Quotientenkörper von A liegt und ganz über A ist, aber nicht in A liegt.

Serresches Normalitätskriterium Bearbeiten

Ein noetherscher Ring ist genau dann normal, wenn die Bedingungen R1 und S2 erfüllt sind.

Die Regularitätsbedingung Rk für eine ganze Zahl besagt, dass die Lokalisierungen an Primidealen der Höhe  regulär sind. R1 bedeutet für einen noetherschen Integritätsbereich lediglich, dass die Lokalisierungen an Primidealen der Höhe 1 diskrete Bewertungsringe sind; für beliebige noethersche Ringe ist noch Reduziertheit, d. h. die Abwesenheit nichttrivialer nilpotenter Elemente, erforderlich.

Die Serre-Bedingung Sk für eine natürliche Zahl besagt, dass die Tiefe jedes lokalen Ringes größer oder gleich dem Minimum aus seiner Dimension und ist, in Formeln

Die Kombination aus R1 und S2 kann auch wie folgt zusammengefasst werden:

  • Für Primideale der Höhe ist der lokale Ring regulär, d. h. ein Körper oder ein diskreter Bewertungsring.
  • Für Primideale der Höhe ist die Tiefe des lokalen Ringes mindestens 2.

Insbesondere gilt also: Ein eindimensionaler noetherscher Integritätsbereich ist genau dann normal, wenn die Lokalisierungen an den maximalen Idealen diskrete Bewertungsringe sind. Derartige Ringe heißen Dedekindringe.

Anwendungen Bearbeiten

In der algebraischen Geometrie wird ein Schema als normal bezeichnet, wenn alle lokalen Ringe normal sind.

Ist ein beliebiges integres Schema und der zugehörige Funktionenkörper, dann kann ein weiteres Schema , die Normalisierung von , wie folgt konstruiert werden: Ist eine offene, affine Teilmenge, also das Spektrums eines Rings , dann bilde den ganzen Abschluss von in . Die Spektren der Ringe lassen sich zu einem Schema verkleben. Der Morphismus wird dabei induziert von den Inklusionen . Die so erhaltene Normalisierung hat die Eigenschaft, regulär in Kodimension 1 zu sein. Ist also eine Kurve, so besitzt keine Singularitäten. (Unter milden Bedingungen ist eine Auflösung der Singularitäten im Sinne der algebraischen Geometrie.)

Quellen Bearbeiten

  • David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer-Verlag, New York 1995. ISBN 0-387-94269-6
  • Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989. ISBN 0-521-36764-6
  • A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)
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Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Teilgebiet der Algebra heisst ein Integritatsbereich A displaystyle A normal wenn er ganzabgeschlossen in seinem Quotientenkorper ist Das heisst Ist a Q u o t A displaystyle alpha in mathrm Quot A und a displaystyle alpha ganz uber A displaystyle A so ist bereits a A displaystyle alpha in A Allgemein heisst ein beliebiger kommutativer Ring normal wenn alle seine lokalen Ringe normale Integritatsbereiche sind Fur Integritatsbereiche stimmen die beiden Definitionen uberein Dieser Artikel beschaftigt sich mit kommutativer Algebra Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement Fur weitere Details siehe Kommutative Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Beispiele 3 Serresches Normalitatskriterium 4 Anwendungen 5 QuellenEigenschaften BearbeitenJeder faktorielle Ring ist normal Jeder regulare Ring ist normal Lokalisierungen normaler Ringe sind wieder normal Wird vorausgesetzt dass der Ring noethersch ist so gilt Ein normaler Ring ist ein endliches Produkt normaler Integritatsbereiche Ein normaler Integritatsbereich ist der Schnitt seiner Lokalisierungen an Primidealen der Hohe 1 A ht p 1 A p displaystyle A bigcap operatorname ht mathfrak p 1 A mathfrak p nbsp dd Die Lokalisierungen an Primidealen der Hohe 1 sind diskrete Bewertungsringe Beispiele BearbeitenDer Ring Z displaystyle mathbb Z nbsp der ganzen Zahlen ist normal Der Ring Z i a b i a b Z displaystyle mathbb Z i a bi a b in mathbb Z nbsp mit i 2 1 displaystyle i 2 1 nbsp der ganzen Gaussschen Zahlen ist ebenfalls normal Der Ring A Z d i displaystyle A mathbb Z di nbsp fur d gt 1 displaystyle d gt 1 nbsp ist nicht normal weil i im Quotientenkorper von A liegt und ganz uber A ist aber nicht in A liegt Serresches Normalitatskriterium BearbeitenEin noetherscher Ring ist genau dann normal wenn die Bedingungen R1 und S2 erfullt sind Die Regularitatsbedingung Rk fur eine ganze Zahl k 0 displaystyle k geq 0 nbsp besagt dass die Lokalisierungen an Primidealen der Hohe k displaystyle leq k nbsp regular sind R1 bedeutet fur einen noetherschen Integritatsbereich lediglich dass die Lokalisierungen an Primidealen der Hohe 1 diskrete Bewertungsringe sind fur beliebige noethersche Ringe ist noch Reduziertheit d h die Abwesenheit nichttrivialer nilpotenter Elemente erforderlich Die Serre Bedingung Sk fur eine naturliche Zahl k 1 displaystyle k geq 1 nbsp besagt dass die Tiefe jedes lokalen Ringes grosser oder gleich dem Minimum aus seiner Dimension und k displaystyle k nbsp ist in Formeln tf A p min k dim A p displaystyle operatorname tf A mathfrak p geq min k dim A mathfrak p nbsp Die Kombination aus R1 und S2 kann auch wie folgt zusammengefasst werden Fur Primideale der Hohe 1 displaystyle leq 1 nbsp ist der lokale Ring regular d h ein Korper oder ein diskreter Bewertungsring Fur Primideale der Hohe 2 displaystyle geq 2 nbsp ist die Tiefe des lokalen Ringes mindestens 2 Insbesondere gilt also Ein eindimensionaler noetherscher Integritatsbereich ist genau dann normal wenn die Lokalisierungen an den maximalen Idealen diskrete Bewertungsringe sind Derartige Ringe heissen Dedekindringe Anwendungen BearbeitenIn der algebraischen Geometrie wird ein Schema X displaystyle X nbsp als normal bezeichnet wenn alle lokalen Ringe O X x displaystyle mathcal O X x nbsp normal sind Ist X displaystyle X nbsp ein beliebiges integres Schema und K X displaystyle K X nbsp der zugehorige Funktionenkorper dann kann ein weiteres Schema X n o r m X displaystyle X norm rightarrow X nbsp die Normalisierung von X displaystyle X nbsp wie folgt konstruiert werden Ist U X displaystyle U subset X nbsp eine offene affine Teilmenge also das Spektrums eines Rings R displaystyle R nbsp dann bilde den ganzen Abschluss R displaystyle tilde R nbsp von R displaystyle R nbsp in K X displaystyle K X nbsp Die Spektren der Ringe R displaystyle tilde R nbsp lassen sich zu einem Schema X n o r m displaystyle X norm nbsp verkleben Der Morphismus X n o r m X displaystyle X norm rightarrow X nbsp wird dabei induziert von den Inklusionen R R displaystyle R rightarrow tilde R nbsp Die so erhaltene Normalisierung hat die Eigenschaft regular in Kodimension 1 zu sein Ist X displaystyle X nbsp also eine Kurve so besitzt X n o r m displaystyle X norm nbsp keine Singularitaten Unter milden Bedingungen ist X n o r m X displaystyle X norm rightarrow X nbsp eine Auflosung der Singularitaten im Sinne der algebraischen Geometrie Quellen BearbeitenDavid Eisenbud Commutative algebra with a view toward algebraic geometry Springer Verlag New York 1995 ISBN 0 387 94269 6 Hideyuki Matsumura Commutative ring theory Cambridge University Press Cambridge 1989 ISBN 0 521 36764 6 A Grothendieck J Dieudonne Elements de geometrie algebrique Publications mathematiques de l IHES 4 8 11 17 20 24 28 32 1960 1967 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Normalitat kommutative Algebra amp oldid 220857999