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Nilpotentes Element Nilpotenz ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel Weitere Bedeutungen sind unter Nilpotenz Begriff

Nilpotentes Element

Ein nilpotentes Element ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Ein Element eines Rings heißt nilpotent, wenn es genügend oft mit sich selbst multipliziert das Nullelement ergibt.

Definition Bearbeiten

Ein Element eines Ringes heißt nilpotent, wenn eine positive natürliche Zahl existiert, sodass gilt. Ein Ideal wird als nilpotent bezeichnet, wenn eine positive natürliche Zahl existiert, sodass gilt.

Beispiele Bearbeiten

nilpotent, denn es gilt
  • Im Restklassenring sind die Restklassen von 0, 2, 4 und 6 nilpotent, da jeweils ihre dritte Potenz kongruent zu 0 modulo 8 ist. In diesem Ring ist jedes Element entweder nilpotent oder eine Einheit.
  • Im Restklassenring sind die nilpotenten Elemente genau die Restklassen von 0 und 6.
  • Das Nullelement eines Ringes ist stets nilpotent, da ist.

Eigenschaften Bearbeiten

Die Menge aller nilpotenten Elemente eines kommutativen Ringes bildet ein Ideal, das so genannte Nilradikal.

Der Durchschnitt aller Primideale in einem kommutativen Ring mit 1 ist genau das Nilradikal.

Sei im Folgenden ein Ring, ein nilpotentes Element von und die kleinste natürliche Zahl mit .

Ist zusätzlich ein Ring mit 1 und nicht der Nullring, dann gilt:

  • ist nicht invertierbar (bzgl. der Multiplikation), denn aus für ein Ringelement folgt der Widerspruch ( war minimal gewählt!).
  • ist invertierbar, denn es gilt .
  • Ist eine Einheit von , die mit kommutiert, dann ist auch invertierbar, was man durch Betrachtung der Darstellung als sieht.

Sei ein Restklassenring und das Produkt aller Primteiler von , d. h. aller Primzahlen die in der Primfaktorzerlegung von auftreten. Z. B. für ist . Dann sind die nilpotenten Elemente von genau die Restklassen von ganzen Zahlen, die Vielfache von sind. Die Beweisidee ist folgende: Ist der größte Exponent, der in der Primfaktorzerlegung von auftritt, dann ist ein Vielfaches von ; jede Zahl, für die eine Potenz ein Vielfaches vom ist, muss bereits selbst jeden Primteiler von besitzen.

Ein Ring, der außer der Null keine nilpotenten Elemente enthält, wird reduziert genannt.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Serge Lang: Algebra, 3. Auflage, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag 2005, ISBN 978-0387953854, S. 417.
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Nilpotenz ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel Weitere Bedeutungen sind unter Nilpotenz Begriffsklarung aufgefuhrt Ein nilpotentes Element ist ein Begriff aus der Ringtheorie einem Teilgebiet der Mathematik Ein Element eines Rings heisst nilpotent wenn es genugend oft mit sich selbst multipliziert das Nullelement ergibt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin Element x displaystyle x nbsp eines Ringes R displaystyle R nbsp heisst nilpotent wenn eine positive naturliche Zahl n displaystyle n nbsp existiert sodass x n 0 displaystyle x n 0 nbsp gilt Ein Ideal I R displaystyle I subseteq R nbsp wird als nilpotent bezeichnet wenn eine positive naturliche Zahl n displaystyle n nbsp existiert sodass I n 0 displaystyle I n 0 nbsp gilt Beispiele BearbeitenBeispielsweise ist die MatrixA 0 1 0 0 0 1 0 0 0 displaystyle A begin pmatrix 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 0 amp 0 amp 0 end pmatrix nbsp dd nilpotent denn es giltA 3 0 displaystyle A 3 0 nbsp dd Fur spezielle Eigenschaften nilpotenter Matrizen siehe den Artikel nilpotente Matrix Im Restklassenring Z 8 Z displaystyle mathbb Z 8 mathbb Z nbsp sind die Restklassen von 0 2 4 und 6 nilpotent da jeweils ihre dritte Potenz kongruent zu 0 modulo 8 ist In diesem Ring ist jedes Element entweder nilpotent oder eine Einheit Im Restklassenring Z 12 Z displaystyle mathbb Z 12 mathbb Z nbsp sind die nilpotenten Elemente genau die Restklassen von 0 und 6 Das Nullelement eines Ringes ist stets nilpotent da 0 1 0 displaystyle 0 1 0 nbsp ist Eigenschaften BearbeitenDie Menge aller nilpotenten Elemente eines kommutativen Ringes bildet ein Ideal das so genannte Nilradikal Der Durchschnitt aller Primideale in einem kommutativen Ring mit 1 ist genau das Nilradikal 1 Sei im Folgenden R displaystyle R nbsp ein Ring a displaystyle a nbsp ein nilpotentes Element von R displaystyle R nbsp und n displaystyle n nbsp die kleinste naturliche Zahl mit a n 0 displaystyle a n 0 nbsp Ist a 0 displaystyle a neq 0 nbsp dann ist n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp und a displaystyle a nbsp ist Nullteiler denn a a n 1 0 displaystyle aa n 1 0 nbsp und a n 1 0 displaystyle a n 1 neq 0 nbsp Ist zusatzlich R displaystyle R nbsp ein Ring mit 1 und nicht der Nullring dann gilt a displaystyle a nbsp ist nicht invertierbar bzgl der Multiplikation denn aus a b 1 displaystyle ab 1 nbsp fur ein Ringelement b displaystyle b nbsp folgt der Widerspruch 0 a n b a n 1 displaystyle 0 a n b a n 1 nbsp n displaystyle n nbsp war minimal gewahlt 1 a displaystyle 1 a nbsp ist invertierbar denn es gilt 1 a 1 a a 2 a n 1 1 a n 1 1 a a 2 a n 1 1 a displaystyle 1 a left 1 a a 2 dotsb a n 1 right 1 a n 1 left 1 a a 2 dotsb a n 1 right 1 a nbsp Ist b displaystyle b nbsp eine Einheit von R displaystyle R nbsp die mit a displaystyle a nbsp kommutiert dann ist auch b a displaystyle b a nbsp invertierbar was man durch Betrachtung der Darstellung als b a b 1 b 1 a displaystyle b a b cdot left 1 left b 1 a right right nbsp sieht Sei R displaystyle R nbsp ein Restklassenring Z m Z displaystyle mathbb Z m mathbb Z nbsp und p displaystyle p nbsp das Produkt aller Primteiler von m displaystyle m nbsp d h aller Primzahlen die in der Primfaktorzerlegung von m displaystyle m nbsp auftreten Z B fur m 12 2 2 3 displaystyle m 12 2 2 cdot 3 nbsp ist p 6 2 3 displaystyle p 6 2 cdot 3 nbsp Dann sind die nilpotenten Elemente von R displaystyle R nbsp genau die Restklassen von ganzen Zahlen die Vielfache von p displaystyle p nbsp sind Die Beweisidee ist folgende Ist k displaystyle k nbsp der grosste Exponent der in der Primfaktorzerlegung von m displaystyle m nbsp auftritt dann ist p k displaystyle p k nbsp ein Vielfaches von m displaystyle m nbsp jede Zahl fur die eine Potenz ein Vielfaches vom m displaystyle m nbsp ist muss bereits selbst jeden Primteiler von m displaystyle m nbsp besitzen Ein Ring der ausser der Null keine nilpotenten Elemente enthalt wird reduziert genannt Einzelnachweise Bearbeiten Serge Lang Algebra 3 Auflage Graduate Texts in Mathematics Springer Verlag 2005 ISBN 978 0387953854 S 417 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Nilpotentes Element amp oldid 208413664