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Éléments de géométrie algébrique Die Elemente der algebraischen Geometrie kurz EGA von Alexander Grothendieck unter Mith

Éléments de géométrie algébrique

Die Éléments de géométrie algébrique („Elemente der algebraischen Geometrie“, kurz EGA) von Alexander Grothendieck (unter Mithilfe von Jean Dieudonné) sind eine rund 1.800seitige unvollendete Abhandlung über die algebraische Geometrie, die in acht Teilen (Fascicles) nach und nach zwischen 1960 und 1967 erschienen ist. Grothendieck versuchte, die algebraische Geometrie systematisch umzuschreiben, indem er die damals gängige Methode, von einer Varietät auf einen Ring überzugehen, umkehrte, und aus einem Ring eine Varietät konstruierte. Dies ist die Grundidee zur Konstruktion der sogenannten Schemata.

Inhaltsangabe der veröffentlichten Kapitel:

  • I. Le langage des schémas („Die Sprache der Schemata“).
  • II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes („Globale Eigenschaften einiger Klassen von Morphismen“).
  • III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents („Studium der Kohomologie kohärenter Garben“). In zwei Bänden.
  • IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas („Lokale Eigenschaften von Schemata und Schemamorphismen“). In vier Bänden.

Anfangs waren 13 Kapitel geplant (wie in Euklids Elementen, die auch 13 Kapitel umfassten und eine Grundstruktur für die Mathematik schlechthin wurden). Ursprünglich wollte er noch Abschnitte über die Fundamentalgruppe, Residuen, Schnitte, Kategorientheorie und ein wenig Homotopie geplant und nach der optimistischen Einschätzung von Grothendieck wurden drei bis vier Jahre veranschlagt. Einige der Themen bearbeitete Grothendieck mit seinen Schülern im Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie und an anderer Stelle (zum Beispiel entstand ein Buch über Residuen und Dualität von Robin Hartshorne aus brieflicher Zusammenarbeit mit Grothendieck).

Die Titel der weiteren geplanten aber nicht realisierten Kapitel waren:

  • V. Procédés élémentaires de construction des schémas.
  • VI. Techniques de descente. Méthode générale de construction des schémas.
  • VII. Schémas de groupes, espaces fibrés principaux.
  • VIII. Étude différentielle des espaces fibrés.
  • IX. Le groupe fondamental.
  • X. Résidus et dualité.
  • XI. Théories d'intersection, classes de Chern, théorème de Riemann-Roch.
  • XII. Schémas abéliens et schémas de Picard.
  • XIII. Cohomologie de Weil.

Es gibt außerdem ein Kapitel 0 mit Präliminarien, das über verschiedene Kapitel verteilt war.

Der erste Entwurf stammte meist von Grothendieck und wurde von Dieudonné ausgearbeitet. Innerhalb seines streng geregelten Arbeitspensums arbeitete Grothendieck regelmäßig in den 1960er Jahren an EGA. Nach Luc Illusie war der Hauptanteil von Dieudonné der Abschnitt in EGA IV Differentialrechnung in positiver Charakteristik mit vollständigen lokalen Ringen. Er sieht EGA auch in erster Linie als Nachschlagewerk, das aber für Studenten unentbehrlich ist, da hier Details ausgeführt sind, die sich sonst nicht in der Literatur finden. Das Bemühen, auch scheinbar „triviale“ Sachverhalte genau und lückenlos zu erklären, war typisch für Grothendieck und führte auch zu den vielen Rückverweisen im Buch – nach einer maliziösen Bemerkung von Illusie diente dies auch dazu, Dieudonné den Inhalt verständlich zu machen. Dieudonné war mit Grothendieck 1959 an das IHES gekommen, wobei dessen Direktor Motchane vor allem ihn haben wollte, Dieudonné bestand aber auf Grothendieck, denn damals war schon klar, dass Grothendieck damals der aufstrebende „Stern“ der algebraischen Geometrie war, der einen Platz für die Ausarbeitung seines monumentalen Programms der Neubegründung der algebraischen Geometrie brauchte (an einer Universität war dies nicht so einfach, da er staatenlos war und kompromisslos seine Ansichten vertrat). Beide kannten sich außerdem aus dem Kreis von Nicolas Bourbaki, in dem Dieudonné ebenfalls meist die Endredaktion übernahm. Grothendieck verließ aber 1960 vorzeitig Bourbaki, da er sein eigenes Programm verfolgen wollte. Der Titel von EGA lehnt sich an die Éléments de Mathématique von Nicolas Bourbaki an.

Noch Anfang der 2000er Jahre verkaufte das IHES über hundert Exemplare pro Jahr.

Grothendieck selbst berichtet über die Entstehung in seinem Récoltes et Sémailles von 1986.

Literatur Bearbeiten

  • A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)
    • Band I, Pub. Math. IHES 4, 1960, S. 4–228, Kapitel 0, 1-7, Kapitel I, 1-10
    • Band II, Pub. Math. IHES 8, 1961, S. 5–222, Kapitel II, 1-8
    • Band III,1, Pub. Math. IHES 11, 1961, S. 5–167, Kapitel 0, 8-13, Kapitel III, 1-5
    • Band III,2, Pub. Math. IHES 17, 1963, S. 5–91, Kapitel III, 6-7,
    • Band IV,1, Pub. Math. IHES 20, 1964, S. 5–259, Kapitel 0, 14-23, Kapitel IV, 1
    • Band IV,2, Pub. Math. IHES 24, 1965, S. 5–231, Kapitel IV, 2-7
    • Band IV,3, Pub. Math. IHES 28, 1966, S. 5–255, Kapitel IV, 8-15
    • Band IV, 4, Publ Math. IHES 32, 1967, S. 5–361, Kapitel IV, 16-21
  • A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag, 1971, ISBN 3-540-05113-9
  • Luc Illusie u. a., Reminiscences of Grothendieck and his school, Notices AMS, Oktober 2010, Digitalisat

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Allyn Jackson, Comme Apéllé de Néant, Notices AMS, Oktober 2004, S. 1050. Er zitiert Grothendieck nach einem Brief an Jean-Pierre Serre vom August 1959.
  2. In Mathematical Reviews wurde der erste Band ohne Dieudonné aufgeführt, doch zitieren Grothendieck und Dieudonné sich selbst immer zusammen, und auch die Ausgabe von 1971 führt beide. Dino Lorenzini, How should one cite the Èlèments de Géometrie Algébrique ?, pdf
  3. Illusie, Notices AMS, Oktober 2010, S. 1115
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Veröffentlichungsdatum:
Die Elements de geometrie algebrique Elemente der algebraischen Geometrie kurz EGA von Alexander Grothendieck unter Mithilfe von Jean Dieudonne sind eine rund 1 800seitige unvollendete Abhandlung uber die algebraische Geometrie die in acht Teilen Fascicles nach und nach zwischen 1960 und 1967 erschienen ist Grothendieck versuchte die algebraische Geometrie systematisch umzuschreiben indem er die damals gangige Methode von einer Varietat X displaystyle X auf einen Ring A displaystyle A uberzugehen umkehrte und aus einem Ring A displaystyle A eine Varietat Spec A displaystyle operatorname Spec A konstruierte Dies ist die Grundidee zur Konstruktion der sogenannten Schemata Inhaltsangabe der veroffentlichten Kapitel I Le langage des schemas Die Sprache der Schemata II Etude globale elementaire de quelques classes de morphismes Globale Eigenschaften einiger Klassen von Morphismen III Etude cohomologique des faisceaux coherents Studium der Kohomologie koharenter Garben In zwei Banden IV Etude locale des schemas et des morphismes de schemas Lokale Eigenschaften von Schemata und Schemamorphismen In vier Banden Anfangs waren 13 Kapitel geplant wie in Euklids Elementen die auch 13 Kapitel umfassten und eine Grundstruktur fur die Mathematik schlechthin wurden Ursprunglich wollte er noch Abschnitte uber die Fundamentalgruppe Residuen Schnitte Kategorientheorie und ein wenig Homotopie geplant und nach der optimistischen Einschatzung von Grothendieck wurden drei bis vier Jahre veranschlagt 1 Einige der Themen bearbeitete Grothendieck mit seinen Schulern im Seminaire de geometrie algebrique du Bois Marie und an anderer Stelle zum Beispiel entstand ein Buch uber Residuen und Dualitat von Robin Hartshorne aus brieflicher Zusammenarbeit mit Grothendieck Die Titel der weiteren geplanten aber nicht realisierten Kapitel waren V Procedes elementaires de construction des schemas VI Techniques de descente Methode generale de construction des schemas VII Schemas de groupes espaces fibres principaux VIII Etude differentielle des espaces fibres IX Le groupe fondamental X Residus et dualite XI Theories d intersection classes de Chern theoreme de Riemann Roch XII Schemas abeliens et schemas de Picard XIII Cohomologie de Weil Es gibt ausserdem ein Kapitel 0 mit Praliminarien das uber verschiedene Kapitel verteilt war Der erste Entwurf stammte meist von Grothendieck und wurde von Dieudonne ausgearbeitet 2 Innerhalb seines streng geregelten Arbeitspensums arbeitete Grothendieck regelmassig in den 1960er Jahren an EGA Nach Luc Illusie war der Hauptanteil von Dieudonne der Abschnitt in EGA IV Differentialrechnung in positiver Charakteristik mit vollstandigen lokalen Ringen Er sieht EGA auch in erster Linie als Nachschlagewerk das aber fur Studenten unentbehrlich ist da hier Details ausgefuhrt sind die sich sonst nicht in der Literatur finden Das Bemuhen auch scheinbar triviale Sachverhalte genau und luckenlos zu erklaren war typisch fur Grothendieck und fuhrte auch zu den vielen Ruckverweisen im Buch nach einer maliziosen Bemerkung von Illusie diente dies auch dazu Dieudonne den Inhalt verstandlich zu machen 3 Dieudonne war mit Grothendieck 1959 an das IHES gekommen wobei dessen Direktor Motchane vor allem ihn haben wollte Dieudonne bestand aber auf Grothendieck denn damals war schon klar dass Grothendieck damals der aufstrebende Stern der algebraischen Geometrie war der einen Platz fur die Ausarbeitung seines monumentalen Programms der Neubegrundung der algebraischen Geometrie brauchte an einer Universitat war dies nicht so einfach da er staatenlos war und kompromisslos seine Ansichten vertrat Beide kannten sich ausserdem aus dem Kreis von Nicolas Bourbaki in dem Dieudonne ebenfalls meist die Endredaktion ubernahm Grothendieck verliess aber 1960 vorzeitig Bourbaki da er sein eigenes Programm verfolgen wollte Der Titel von EGA lehnt sich an die Elements de Mathematique von Nicolas Bourbaki an Noch Anfang der 2000er Jahre verkaufte das IHES uber hundert Exemplare pro Jahr Grothendieck selbst berichtet uber die Entstehung in seinem Recoltes et Semailles von 1986 Literatur BearbeitenA Grothendieck J Dieudonne Elements de geometrie algebrique Publications mathematiques de l IHES 4 8 11 17 20 24 28 32 1960 1967 Eine eingescannte Kopie findet sich im NUMDAM Archiv Band I Pub Math IHES 4 1960 S 4 228 Kapitel 0 1 7 Kapitel I 1 10 Band II Pub Math IHES 8 1961 S 5 222 Kapitel II 1 8 Band III 1 Pub Math IHES 11 1961 S 5 167 Kapitel 0 8 13 Kapitel III 1 5 Band III 2 Pub Math IHES 17 1963 S 5 91 Kapitel III 6 7 Band IV 1 Pub Math IHES 20 1964 S 5 259 Kapitel 0 14 23 Kapitel IV 1 Band IV 2 Pub Math IHES 24 1965 S 5 231 Kapitel IV 2 7 Band IV 3 Pub Math IHES 28 1966 S 5 255 Kapitel IV 8 15 Band IV 4 Publ Math IHES 32 1967 S 5 361 Kapitel IV 16 21 A Grothendieck J Dieudonne Elements de geometrie algebrique I Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften Springer Verlag 1971 ISBN 3 540 05113 9Zweite uberarbeitete Auflage des ersten Kapitels 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