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Euklid Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Weitere Bedeutungen sind unter Begriffsklärung aufgeführt von Alexandria

Euklid

Euklid von Alexandria (altgriechisch Εὐκλείδης Eukleídēs, latinisiert Euclides) war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3. Jahrhundert v. Chr. in Alexandria gelebt hat.

Darstellung Euklids, Oxford University Museum

Leben

Über das Leben Euklids ist fast nichts bekannt. Aus einer Notiz bei Pappos hat man geschlossen, dass er im ägyptischen Alexandria wirkte. Die Lebensdaten sind unbekannt. Die Annahme, dass er um 300 v. Chr. gelebt hat, beruht auf einem Verzeichnis von Mathematikern bei Proklos, andere Indizien lassen hingegen vermuten, dass Euklid etwas älter als Archimedes (ca. 285–212 v. Chr.) war.

Aus einer Stelle bei Proklos hat man auch geschlossen, dass er um das Jahr 360 v. Chr. in Athen geboren wurde, dort seine Ausbildung an Platons Akademie erhielt und dann zur Zeit Ptolemaios’ I. (ca. 367–283 v. Chr.) in Alexandria wirkte.

Er sollte nicht mit Euklid von Megara verwechselt werden, wie das bis in die frühe Neuzeit häufig geschah, so dass der Name Euklids von Megara auch auf den Titeln der Ausgaben der Elemente erschien.

Werke

Euklid, Elemente 10, Appendix in der 888 geschriebenen Handschrift Oxford, Bodleian Library, MS. D’Orville 301, fol. 268r

Die überlieferten Werke umfassen sämtliche Bereiche der antiken griechischen Mathematik: das sind die theoretischen Disziplinen Arithmetik und Geometrie (Die Elemente, Data), Musiktheorie (Die Teilung des Kanon), eine methodische Anleitung zur Findung von planimetrischen Problemlösungen von bestimmten gesicherten Ausgangspunkten aus (Porismen) sowie die physikalischen bzw. angewandten Werke (Optik, astronomische Phänomene).

In seinem berühmtesten Werk Elemente (altgriechisch Στοιχεῖα Stoicheia ‚Anfangsgründe‘, ‚Prinzipien‘, ‚Elemente‘) trug er das Wissen der griechischen Mathematik seiner Zeit zusammen. Er zeigte darin die Konstruktion geometrischer Objekte, natürlicher Zahlen sowie bestimmter Größen und untersuchte deren Eigenschaften. Dazu benutzte er Definitionen, Postulate (nach Aristoteles Grundsätze, die akzeptiert oder abgelehnt werden können) und Axiome (nach Aristoteles allgemeine und unbezweifelbare Grundsätze). Viele Sätze der Elemente stammen offenbar nicht von Euklid selbst. Seine Hauptleistung besteht vielmehr in der Sammlung und einheitlichen Darstellung des mathematischen Wissens sowie der strengen Beweisführung, die zum Vorbild für die spätere Mathematik wurde.

Erhaltene Schriften von Euklid sind neben den Elementen, den Data und der Teilung des Kanons: Optika, Über die Teilung der Figuren (auszugsweise erhalten in einer arabischen Übersetzung), Phainomena (geometrische Behandlung der Astronomie) (Fragmente ediert von Johan Ludwig Heiberg). Von weiteren Werken sind nur die Titel bekannt: u. a. Pseudaria (Trugschlüsse), Katoptrika.

Die Elemente waren vielerorts bis ins 20. Jahrhundert hinein Grundlage des Geometrieunterrichts, vor allem im angelsächsischen Raum.

Geometrie – Arithmetik – Proportionslehre

Neben der pythagoreischen Geometrie enthalten Euklids Elemente in Buch VII-IX die pythagoreische Arithmetik, die Anfänge der Zahlentheorie (die bereits Archytas von Tarent kannte) sowie die Konzepte der Teilbarkeit und des größten gemeinsamen Teilers. Zu dessen Bestimmung fand er einen Algorithmus, den euklidischen Algorithmus. Euklid bewies auch, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, nach ihm Satz des Euklid genannt. Auch Euklids Musiktheorie baut auf der Arithmetik auf. Ferner enthält das Buch V die Proportionslehre des Eudoxos, eine Verallgemeinerung der Arithmetik auf positive irrationale Größen.

Veranschaulichung von Euklids fünftem Postulat

Das bekannte fünfte Postulat der ebenen euklidischen Geometrie (heute Parallelenaxiom genannt) fordert: Wenn eine Strecke beim Schnitt mit zwei Geraden und bewirkt, dass die innen auf derselben Seite von entstehenden Winkel und zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann treffen sich die beiden Geraden und auf eben der Seite von , auf der die Winkel und liegen. Schneiden also zwei Geraden eine Strecke (oder Gerade) so, dass die auf einer Seite von der Strecke und den zwei Geraden eingeschlossenen zwei Winkel kleiner als 180° sind, dann schneiden sich die beiden Geraden auf dieser Seite und begrenzen zusammen mit der Strecke (oder dritten Geraden) ein Dreieck.

Für die Wissenschaftsgeschichte ist die Beschäftigung mit dem Parallelenaxiom von großer Bedeutung, weil sie viel zur Präzisierung mathematischer Begriffe und Beweisverfahren beigetragen hat. Im Zuge dessen wurde im 19. Jahrhundert auch die Unzulänglichkeit der euklidischen Axiome offenkundig. Eine formale Axiomatik der euklidischen Geometrie findet sich in David Hilberts Werk Grundlagen der Geometrie (1899), das zu vielen weiteren Auflagen und anschließenden Forschungen geführt hat. Darin wird zum ersten Mal ein vollständiger Aufbau der euklidischen Geometrie geleistet, bis zu der Erkenntnis, dass jedes Modell des Hilbertschen Axiomensystems isomorph zum dreidimensionalen reellen Zahlenraum mit den üblichen Deutungen der geometrischen Grundbegriffe (wie Punkt, Gerade, Ebene, Länge, Winkel, Kongruenz, Ähnlichkeit usw.) in der Analytischen Geometrie ist. Schon seit der Antike versuchten viele bedeutende Mathematiker vergeblich, das Parallelenaxiom mit den übrigen Axiomen und Postulaten zu beweisen (es wäre dann entbehrlich). Erst im 19. Jahrhundert wurde die Unverzichtbarkeit des Parallelenaxioms mit der Entdeckung einer nichteuklidischen Geometrie durch Bolyai und Lobatschewski klar. Die Poincaré’sche Halbebene H (Henri Poincaré) ist ein Modell für ein solches Axiomensystem, in dem das Parallelenaxiom nicht gilt. Somit kann das Parallelenaxiom nicht aus den übrigen Axiomen gefolgert werden (siehe nichteuklidische Geometrie).

Musiktheorie

In Euklids musiktheoretischer Schrift Die Teilung des Kanon (griechisch Katatomē kanonos, lat. Sectio canonis), die als authentisch einzustufen ist, griff er die Musiktheorie des Archytas auf und stellte sie auf eine solidere akustische Basis, nämlich auf Frequenzen von Schwingungen (er sprach von Häufigkeit der Bewegungen). Er verallgemeinerte dabei den Satz des Archytas über die Irrationalität der Quadratwurzel und bewies ganz allgemein die Irrationalität beliebiger Wurzeln . Der Grund für diese Verallgemeinerung ist seine Antithese gegen die Harmonik des Aristoxenos, die auf rationalen Vielfachen des Tons (Halbton … n-tel-Ton) aufbaut. Denn in der pythagoreischen Harmonik hat der Ton (Ganzton) die Proportion 9:8, was Euklid zu seiner Antithese „Der Ton ist weder in zwei noch in mehrere gleiche Teile teilbar“ veranlasste; sie setzt allerdings kommensurable Frequenzen voraus, die in der pythagoreischen Harmonik bis zum Ende des 16. Jahrhunderts (Simon Stevin) angenommen wurden. Die Antithese „Die Oktave ist kleiner als 6 Ganztöne“ stützte er auf die Berechnung des pythagoreischen Kommas. Ferner enthält Euklids Teilung des Kanons – wie ihr Titel signalisiert – die älteste überlieferte Darstellung eines Tonsystems am Kanon, einer geteilten Saite, und zwar eine pythagoreische Umdeutung des vollständigen diatonischen Tonsystems des Aristoxenos. Euklids Tonsystem wurde durch Boethius tradiert; es wurde in der Tonbuchstaben-Notation Odos zur Grundlage des modernen Tonsystems.

Eponyme

Nach Euklid sind folgende mathematische Strukturen benannt:

Zudem sind nach Euklid folgende mathematische Sätze und Beweise benannt:

Weiter sind nach Euklid benannt:

Ausgaben und Übersetzungen

  • Johan Ludvig Heiberg, Heinrich Menge (Hrsg.): Euclidis Opera Omnia. 9 Bände, Teubner, Leipzig 1888–1916 (griechisch/lateinisch), genauer 8 Bände mit Supplement (der Kommentar zu den Elementen von Al-Nayrizi in der Übersetzung von Gerhard von Cremona herausgegeben von Maximilian Curtze)
  • Euklid: Die Elemente. Bücher I–XIII. Hrsg. u. übers. v. Clemens Thaer. (= Ostwalds Klass. d. exakten Wiss. 235). 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2003, ISBN 3-8171-3413-4.
  • Euclid: The thirteen books of Euclid’s elements. Hrsg. u. übers. v. Thomas Heath, 3 Bände, Cambridge University Press 1908, Nachdruck Dover 1956 (englische Übersetzung mit ausführlichem Kommentar und Einleitung zu Euklid)
  • Euklides: Data. Die Data von Euklid, nach Menges Text aus d. Griech. übers. u. hrsg. v. Clemens Thaer. Springer, Berlin 1962.
  • The Medieval Latin Translation of the Data of Euclid. übersetzt von Shuntaro Ito, Tokyo University Press, 1980, Birkhauser, 1998.
  • Euklid: Sectio canonis. neu ediert, übersetzt und kommentiert in: Oliver Busch: Logos syntheseos. Die euklidische Sectio canonis, Aristoxenos, und die Rolle der Mathematik in der antiken Musiktheorie. Hildesheim 2004, ISBN 3-487-11545-X.
  • Paul ver Eecke Euclide, L’Optique et la catoptrique. Paris, Brügge 1938 (französische Übersetzung der Optik)

Literatur

Euclides, 1703

Übersichtsdarstellungen in Handbüchern

Gesamtdarstellungen und Untersuchungen

  • Benno Artmann: Euclid: The creation of mathematics. Springer, 1999.
  • Jürgen Schönbeck: Euklid: Um 300 v. Chr. Springer, 2002, ISBN 3-7643-6584-6.
  • Peter Schreiber: Euklid. Teubner, Leipzig 1987.
  • Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Geschichte, Kulturen, Menschen, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-22471-8, S. 49–65 (die Elemente Euklids und andere Schriften sowie im weiteren Verlauf des Buches deren Kontext und Rezeption in der weiteren Entwicklung der Geometrie)

Rezeption

  • Diego De Brasi: Euklid. In: Peter von Möllendorff, Annette Simonis, Linda Simonis (Hrsg.): Historische Gestalten der Antike. Rezeption in Literatur, Kunst und Musik (= Der Neue Pauly. Supplemente. Band 8). Metzler, Stuttgart/Weimar 2013, ISBN 978-3-476-02468-8, Sp. 433–438.
  • Max Steck: Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der „Elemente“ des Euklid (um 365–300). Handschriften, Inkunabeln, Frühdrucke (16. Jahrhundert). Textkritische Editionen des 17.–20. Jahrhunderts. Editionen der Opera minora (16.–20. Jahrhundert). Nachdruck, hrsg. von Menso Folkerts. Gerstenberg, Hildesheim 1981.

Arabische Überlieferung

  • Jan Hogendijk: The Arabic version of Euclid’s ‘On divisions’. In: Vestigia mathematica. Amsterdam 1993, S. 143–162.
  • Jan Hogendijk: On Euclid’s lost ‘Porisms’' and its Arabic traces. In: Boll. Storia Sci. Mat. Band 7, 1987, S. 93–115.

Weblinks

Wiktionary: Euklid – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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Wikiquote: Euklid – Zitate
Wikisource: Euklid – Quellen und Volltexte

Anmerkungen

  1. Pappos, Mathematische Sammlungen 2,33–34.
  2. Zu finden in Proklos’ Werk: Kommentar zum ersten Buch von Euklids „Elementen“.
  3. Hans-Joachim Waschkies: Euklid. In: Hellmut Flashar (Hrsg.): Grundriss der Geschichte der Philosophie. Die Philosophie der Antike. Band 2/1, Schwabe, Basel 1998, S. 372–392, hier: S. 372.
  4. Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem? Frankfurt am Main/ Bern/ New York 1986, Kap. 6, Die „Teilung des Kanons“ des Eukleides
  5. Oliver Busch: Logos Syntheseos. Die Euklidische Sectio Canonis, Aristoxenos und die Rolle der Mathematik in der antiken Musiktheorie. Berlin 1998, zugl. Mag.-Schrift als Band X der Veröffentlichungen des Staatlichen Instituts für Musikforschung Preußischer Kulturbesitz
Personendaten
NAME Euklid
ALTERNATIVNAMEN Euklid von Alexandria; Eukleidēs (altgriechisch); Εὐκλείδης
KURZBESCHREIBUNG griechischer Mathematiker
GEBURTSDATUM um 365 v. Chr.
STERBEDATUM um 300 v. Chr.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Weitere Bedeutungen sind unter Euklid Begriffsklarung aufgefuhrt Euklid von Alexandria altgriechisch Eὐkleidhs Eukleides latinisiert Euclides war ein griechischer Mathematiker der wahrscheinlich im 3 Jahrhundert v Chr in Alexandria gelebt hat Darstellung Euklids Oxford University Museum Inhaltsverzeichnis 1 Leben 2 Werke 3 Geometrie Arithmetik Proportionslehre 4 Musiktheorie 5 Eponyme 6 Ausgaben und Ubersetzungen 7 Literatur 8 Weblinks 9 AnmerkungenLebenUber das Leben Euklids ist fast nichts bekannt Aus einer Notiz bei Pappos 1 hat man geschlossen dass er im agyptischen Alexandria wirkte Die Lebensdaten sind unbekannt Die Annahme dass er um 300 v Chr gelebt hat beruht auf einem Verzeichnis von Mathematikern bei Proklos 2 andere Indizien lassen hingegen vermuten dass Euklid etwas alter als Archimedes ca 285 212 v Chr war 3 Aus einer Stelle bei Proklos hat man auch geschlossen dass er um das Jahr 360 v Chr in Athen geboren wurde dort seine Ausbildung an Platons Akademie erhielt und dann zur Zeit Ptolemaios I ca 367 283 v Chr in Alexandria wirkte Er sollte nicht mit Euklid von Megara verwechselt werden wie das bis in die fruhe Neuzeit haufig geschah so dass der Name Euklids von Megara auch auf den Titeln der Ausgaben der Elemente erschien Werke nbsp Euklid Elemente 10 Appendix in der 888 geschriebenen Handschrift Oxford Bodleian Library MS D Orville 301 fol 268rDie uberlieferten Werke umfassen samtliche Bereiche der antiken griechischen Mathematik das sind die theoretischen Disziplinen Arithmetik und Geometrie Die Elemente Data Musiktheorie Die Teilung des Kanon eine methodische Anleitung zur Findung von planimetrischen Problemlosungen von bestimmten gesicherten Ausgangspunkten aus Porismen sowie die physikalischen bzw angewandten Werke Optik astronomische Phanomene In seinem beruhmtesten Werk Elemente altgriechisch Stoixeῖa Stoicheia Anfangsgrunde Prinzipien Elemente trug er das Wissen der griechischen Mathematik seiner Zeit zusammen Er zeigte darin die Konstruktion geometrischer Objekte naturlicher Zahlen sowie bestimmter Grossen und untersuchte deren Eigenschaften Dazu benutzte er Definitionen Postulate nach Aristoteles Grundsatze die akzeptiert oder abgelehnt werden konnen und Axiome nach Aristoteles allgemeine und unbezweifelbare Grundsatze Viele Satze der Elemente stammen offenbar nicht von Euklid selbst Seine Hauptleistung besteht vielmehr in der Sammlung und einheitlichen Darstellung des mathematischen Wissens sowie der strengen Beweisfuhrung die zum Vorbild fur die spatere Mathematik wurde Erhaltene Schriften von Euklid sind neben den Elementen den Data und der Teilung des Kanons Optika Uber die Teilung der Figuren auszugsweise erhalten in einer arabischen Ubersetzung Phainomena geometrische Behandlung der Astronomie Fragmente ediert von Johan Ludwig Heiberg Von weiteren Werken sind nur die Titel bekannt u a Pseudaria Trugschlusse Katoptrika Die Elemente waren vielerorts bis ins 20 Jahrhundert hinein Grundlage des Geometrieunterrichts vor allem im angelsachsischen Raum Geometrie Arithmetik ProportionslehreNeben der pythagoreischen Geometrie enthalten Euklids Elemente in Buch VII IX die pythagoreische Arithmetik die Anfange der Zahlentheorie die bereits Archytas von Tarent kannte sowie die Konzepte der Teilbarkeit und des grossten gemeinsamen Teilers Zu dessen Bestimmung fand er einen Algorithmus den euklidischen Algorithmus Euklid bewies auch dass es unendlich viele Primzahlen gibt nach ihm Satz des Euklid genannt Auch Euklids Musiktheorie baut auf der Arithmetik auf Ferner enthalt das Buch V die Proportionslehre des Eudoxos eine Verallgemeinerung der Arithmetik auf positive irrationale Grossen nbsp Veranschaulichung von Euklids funftem PostulatDas bekannte funfte Postulat der ebenen euklidischen Geometrie heute Parallelenaxiom genannt fordert Wenn eine Strecke s displaystyle s nbsp beim Schnitt mit zwei Geraden g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp bewirkt dass die innen auf derselben Seite von s displaystyle s nbsp entstehenden Winkel a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind dann treffen sich die beiden Geraden g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp auf eben der Seite von s displaystyle s nbsp auf der die Winkel a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp liegen Schneiden also zwei Geraden eine Strecke oder Gerade so dass die auf einer Seite von der Strecke und den zwei Geraden eingeschlossenen zwei Winkel kleiner als 180 sind dann schneiden sich die beiden Geraden auf dieser Seite und begrenzen zusammen mit der Strecke oder dritten Geraden ein Dreieck Fur die Wissenschaftsgeschichte ist die Beschaftigung mit dem Parallelenaxiom von grosser Bedeutung weil sie viel zur Prazisierung mathematischer Begriffe und Beweisverfahren beigetragen hat Im Zuge dessen wurde im 19 Jahrhundert auch die Unzulanglichkeit der euklidischen Axiome offenkundig Eine formale Axiomatik der euklidischen Geometrie findet sich in David Hilberts Werk Grundlagen der Geometrie 1899 das zu vielen weiteren Auflagen und anschliessenden Forschungen gefuhrt hat Darin wird zum ersten Mal ein vollstandiger Aufbau der euklidischen Geometrie geleistet bis zu der Erkenntnis dass jedes Modell des Hilbertschen Axiomensystems isomorph zum dreidimensionalen reellen Zahlenraum mit den ublichen Deutungen der geometrischen Grundbegriffe wie Punkt Gerade Ebene Lange Winkel Kongruenz Ahnlichkeit usw in der Analytischen Geometrie ist Schon seit der Antike versuchten viele bedeutende Mathematiker vergeblich das Parallelenaxiom mit den ubrigen Axiomen und Postulaten zu beweisen es ware dann entbehrlich Erst im 19 Jahrhundert wurde die Unverzichtbarkeit des Parallelenaxioms mit der Entdeckung einer nichteuklidischen Geometrie durch Bolyai und Lobatschewski klar Die Poincare sche Halbebene H Henri Poincare ist ein Modell fur ein solches Axiomensystem in dem das Parallelenaxiom nicht gilt Somit kann das Parallelenaxiom nicht aus den ubrigen Axiomen gefolgert werden siehe nichteuklidische Geometrie MusiktheorieIn Euklids musiktheoretischer Schrift Die Teilung des Kanon griechisch Katatome kanonos lat Sectio canonis 4 5 die als authentisch einzustufen ist griff er die Musiktheorie des Archytas auf und stellte sie auf eine solidere akustische Basis namlich auf Frequenzen von Schwingungen er sprach von Haufigkeit der Bewegungen Er verallgemeinerte dabei den Satz des Archytas uber die Irrationalitat der Quadratwurzel m 1 m displaystyle sqrt tfrac m 1 m nbsp und bewies ganz allgemein die Irrationalitat beliebiger Wurzeln m 1 m n displaystyle sqrt n tfrac m 1 m nbsp Der Grund fur diese Verallgemeinerung ist seine Antithese gegen die Harmonik des Aristoxenos die auf rationalen Vielfachen des Tons Halbton n tel Ton aufbaut Denn in der pythagoreischen Harmonik hat der Ton Ganzton die Proportion 9 8 was Euklid zu seiner Antithese Der Ton ist weder in zwei noch in mehrere gleiche Teile teilbar veranlasste sie setzt allerdings kommensurable Frequenzen voraus die in der pythagoreischen Harmonik bis zum Ende des 16 Jahrhunderts Simon Stevin angenommen wurden Die Antithese Die Oktave ist kleiner als 6 Ganztone stutzte er auf die Berechnung des pythagoreischen Kommas Ferner enthalt Euklids Teilung des Kanons wie ihr Titel signalisiert die alteste uberlieferte Darstellung eines Tonsystems am Kanon einer geteilten Saite und zwar eine pythagoreische Umdeutung des vollstandigen diatonischen Tonsystems des Aristoxenos Euklids Tonsystem wurde durch Boethius tradiert es wurde in der Tonbuchstaben Notation Odos zur Grundlage des modernen Tonsystems EponymeNach Euklid sind folgende mathematische Strukturen benannt Euklidischer Abstand die Lange der direkten Verbindung zweier Punkte in der Ebene oder im Raum Euklidischer Algorithmus ein Verfahren zur Berechnung des grossten gemeinsamen Teilers zweier naturlicher Zahlen Euklidische Geometrie die anschauliche Geometrie der Ebene oder des Raums Euklidischer Korper ein geordneter Korper in dem jedes nichtnegative Element eine Quadratwurzel besitzt Euklidische Norm die Lange eines Vektors in der Ebene oder im Raum Euklidischer Raum der Anschauungsraum ein reeller affiner Raum mit dem Standardskalarprodukt Euklidische Relation eine Relation fur die gilt stehen zwei Elemente jeweils zu einem dritten in Relation dann stehen sie auch zueinander in Relation Euklidischer Ring ein Ring in dem eine Division mit Rest moglich ist Euklidische Werkzeuge die erlaubten Handlungen bei der Konstruktion mit Zirkel und LinealZudem sind nach Euklid folgende mathematische Satze und Beweise benannt Euklids Beweis der Irrationalitat der Wurzel aus 2 der erste Widerspruchsbeweis in der Geschichte der Mathematik Hohensatz des Euklid In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat uber der Hohe flachengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten Kathetensatz des Euklid In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Kathetenquadrate jeweils gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und dem zugehorigen Hypotenusenabschnitt Lemma von Euklid Teilt eine Primzahl ein Produkt zweier Zahlen dann auch mindestens einen der beiden Faktoren Satz von Euklid Es gibt unendlich viele PrimzahlenWeiter sind nach Euklid benannt Euclides Mondkrater ein Krater auf der Mondvorderseite 4354 Euclides ein Asteroid des Hauptgurtels Euclid Weltraumteleleskop der ESAAusgaben und UbersetzungenJohan Ludvig Heiberg Heinrich Menge Hrsg Euclidis Opera Omnia 9 Bande Teubner Leipzig 1888 1916 griechisch lateinisch genauer 8 Bande mit Supplement der Kommentar zu den Elementen von Al Nayrizi in der Ubersetzung von Gerhard von Cremona herausgegeben von Maximilian Curtze Euklid Die Elemente Bucher I XIII Hrsg u ubers v Clemens Thaer Ostwalds Klass d exakten Wiss 235 4 Auflage Harri Deutsch Frankfurt am Main 2003 ISBN 3 8171 3413 4 Euclid The thirteen books of Euclid s elements Hrsg u ubers v Thomas Heath 3 Bande Cambridge University Press 1908 Nachdruck Dover 1956 englische Ubersetzung mit ausfuhrlichem Kommentar und Einleitung zu Euklid Euklides Data Die Data von Euklid nach Menges Text aus d Griech ubers u hrsg v Clemens Thaer Springer Berlin 1962 The Medieval Latin Translation of the Data of Euclid ubersetzt von Shuntaro Ito Tokyo University Press 1980 Birkhauser 1998 Euklid Sectio canonis neu ediert ubersetzt und kommentiert in Oliver Busch Logos syntheseos Die euklidische Sectio canonis Aristoxenos und die Rolle der Mathematik in der antiken Musiktheorie Hildesheim 2004 ISBN 3 487 11545 X Paul ver Eecke Euclide L Optique et la catoptrique Paris Brugge 1938 franzosische Ubersetzung der Optik Literatur nbsp Euclides 1703Ubersichtsdarstellungen in Handbuchern Ivor Bulmer Thomas John Murdoch Euclid In Dictionary of Scientific Biography Band 4 Charles Scribner s Sons New York 1981 ISBN 0 684 16964 9 S 414 459 Menso Folkerts Frieder Zaminer Eukleides 3 In Der Neue Pauly DNP Band 4 Metzler Stuttgart 1998 ISBN 3 476 01474 6 Sp 238 243 Bernard Vitrac Euclide In Richard Goulet Hrsg Dictionnaire des philosophes antiques Band 3 CNRS Editions Paris 2000 ISBN 2 271 05748 5 S 252 272 Hans Joachim Waschkies Euklid In Hellmut Flashar Hrsg Grundriss der Geschichte der Philosophie Die Philosophie der Antike Band 2 1 Schwabe Basel 1998 ISBN 3 7965 1036 1 S 372 392 Hans Wussing Euklid In Arnold Wussing Hrsg Biographien bedeutender Mathematiker Berlin 1983 Gesamtdarstellungen und Untersuchungen Benno Artmann Euclid The creation of mathematics Springer 1999 Jurgen Schonbeck Euklid Um 300 v Chr Springer 2002 ISBN 3 7643 6584 6 Peter Schreiber Euklid Teubner Leipzig 1987 Christoph J Scriba Peter Schreiber 5000 Jahre Geometrie Geschichte Kulturen Menschen Springer Berlin 2005 ISBN 3 540 22471 8 S 49 65 die Elemente Euklids und andere Schriften sowie im weiteren Verlauf des Buches deren Kontext und Rezeption in der weiteren Entwicklung der Geometrie Rezeption Diego De Brasi Euklid In Peter von Mollendorff Annette Simonis Linda Simonis Hrsg Historische Gestalten der Antike Rezeption in Literatur Kunst und Musik Der Neue Pauly Supplemente Band 8 Metzler Stuttgart Weimar 2013 ISBN 978 3 476 02468 8 Sp 433 438 Max Steck Bibliographia Euclideana Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der Elemente des Euklid um 365 300 Handschriften Inkunabeln Fruhdrucke 16 Jahrhundert Textkritische Editionen des 17 20 Jahrhunderts Editionen der Opera minora 16 20 Jahrhundert Nachdruck hrsg von Menso Folkerts Gerstenberg Hildesheim 1981 Arabische Uberlieferung Jan Hogendijk The Arabic version of Euclid s On divisions In Vestigia mathematica Amsterdam 1993 S 143 162 Jan Hogendijk On Euclid s lost Porisms and its Arabic traces In Boll Storia Sci Mat Band 7 1987 S 93 115 Weblinks nbsp Wiktionary Euklid Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen nbsp Commons Euklid Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wikiquote Euklid Zitate nbsp Wikisource Euklid Quellen und Volltexte John J O Connor Edmund F Robertson Euclid 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und die Rolle der Mathematik in der antiken Musiktheorie Berlin 1998 zugl Mag Schrift als Band X der Veroffentlichungen des Staatlichen Instituts fur Musikforschung Preussischer KulturbesitzNormdaten Person GND 118638955 lobid OGND AKS LCCN n50043341 NDL 00439042 VIAF 176184097 Wikipedia Personensuche PersonendatenNAME EuklidALTERNATIVNAMEN Euklid von Alexandria Eukleides altgriechisch EὐkleidhsKURZBESCHREIBUNG griechischer MathematikerGEBURTSDATUM um 365 v Chr STERBEDATUM um 300 v Chr Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Euklid amp oldid 237472561