Lemma von Euklid Das ist ein grundlegendes Lemma in der klassischen Arithmetik bzw der elementaren Zahlentheorie Seine A

Lemma von Euklid

Das Lemma von Euklid ist ein grundlegendes Lemma in der klassischen Arithmetik bzw. der elementaren Zahlentheorie. Seine Aussage wird gewöhnlich zum Beweis des Fundamentalsatzes der Arithmetik benutzt, genauer zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Es taucht schon in Euklids Elementen auf (Buch VII, Proposition 30).

Das Lemma für natürliche Zahlen Bearbeiten

Die zeitgenössische Übersetzung der klassischen Formulierung für natürliche oder ganze Zahlen lautet:

Äquivalent dazu ist folgende Verallgemeinerung:

Denn falls eine Primzahl ist, erhält man wieder die obere Fassung; ist zusammengesetzt, so gilt es für jeden seiner Primfaktoren und damit für selbst.

Beweis Bearbeiten

Der Beweis des Lemmas kann klassisch als direkter Beweis geführt werden, er nutzt das Lemma von Bézout und argumentiert damit teilweise außerhalb der natürlichen Zahlen, die Aussage gilt aber offensichtlich auch eingeschränkt auf .

Seien beliebig. Angenommen, eine Primzahl teilt das Produkt , aber nicht den Faktor . Dann ist zu zeigen, dass ein Teiler von ist.

Aus der Annahme folgt insbesondere, dass und teilerfremd sind. Mit Bézout existieren dann zwei ganze Zahlen und , sodass gilt. Diese Gleichung mit multipliziert und etwas umsortiert liefert

Laut Annahme existiert ein mit , damit lässt sich auf der linken Seite der Gleichung ausklammern:

Also ist Faktor eines Produktes, das ergibt. Somit teilt es , was zu zeigen war.

Anwendungen und Verallgemeinerung Bearbeiten

Das Lemma von Euklid kommt indirekt in nahezu jeder Argumentation mittels Teilbarkeit vor, insbesondere bei Primfaktorzerlegungen und dem euklidischen Algorithmus. Bei praktischen Rechenaufgaben spielt das Lemma selbst nur eine untergeordnete Rolle.

Das Lemma gilt auch für (kommutative) Hauptidealringe: Sei ein Hauptidealring, und irreduzibel in , dann gilt . Hierzu zeigt man die vermeintlich stärkere Aussage, dass das von einem irreduziblen Element erzeugte Hauptideal bereits ein maximales Ideal ist. In einem Hauptidealbereich fallen die Begriffe "Primideal" und "maximales Ideal" also zusammen.

Ist nämlich ein Ideal mit , so gibt es ein mit . Aus folgt also für ein geeignetes . Da irreduzibel ist, ist ein Einheit oder eine Einheit von . Also folgt oder und sind assoziiert und erzeugen dasselbe Hauptideal. Insgesamt erhält man also oder , was nach Definition bedeutet, dass maximal ist.

Einzelnachweise Bearbeiten

Euklids Elemente, Buch VII, Prop 30 (englisch Übersetzung, mit orig. Beweis)
Jürgen Wolfart: Einführung in die Algebra und Zahlentheorie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1996, ISBN 3-528-07286-5, S. 76.

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 05:44 am

Das Lemma von Euklid ist ein grundlegendes Lemma in der klassischen Arithmetik bzw der elementaren Zahlentheorie Seine Aussage wird gewohnlich zum Beweis des Fundamentalsatzes der Arithmetik benutzt genauer zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung Es taucht schon in Euklids Elementen auf Buch VII Proposition 30 1 Inhaltsverzeichnis 1 Das Lemma fur naturliche Zahlen 2 Beweis 3 Anwendungen und Verallgemeinerung 4 EinzelnachweiseDas Lemma fur naturliche Zahlen BearbeitenDie zeitgenossische Ubersetzung der klassischen Formulierung fur naturliche oder ganze Zahlen lautet Teilt eine Primzahl p displaystyle p nbsp ein Produkt a b displaystyle ab nbsp so auch einen oder beide der Faktoren Aquivalent dazu ist folgende Verallgemeinerung Teilt n N displaystyle n in mathbb N nbsp das Produkt a b displaystyle ab nbsp und ist teilerfremd zu einem der Faktoren so teilt es den anderen Denn falls n displaystyle n nbsp eine Primzahl ist erhalt man wieder die obere Fassung ist n displaystyle n nbsp zusammengesetzt so gilt es fur jeden seiner Primfaktoren und damit fur n displaystyle n nbsp selbst Beweis BearbeitenDer Beweis des Lemmas kann klassisch als direkter Beweis gefuhrt werden er nutzt das Lemma von Bezout und argumentiert damit teilweise ausserhalb der naturlichen Zahlen die Aussage gilt aber offensichtlich auch eingeschrankt auf N displaystyle mathbb N nbsp Seien a b Z displaystyle a b in mathbb Z nbsp beliebig Angenommen eine Primzahl p displaystyle p nbsp teilt das Produkt a b displaystyle ab nbsp aber nicht den Faktor a displaystyle a nbsp Dann ist zu zeigen dass p displaystyle p nbsp ein Teiler von b displaystyle b nbsp ist Aus der Annahme folgt insbesondere dass a displaystyle a nbsp und p displaystyle p nbsp teilerfremd sind Mit Bezout existieren dann zwei ganze Zahlen s displaystyle s nbsp und t displaystyle t nbsp sodass s p t a 1 displaystyle sp ta 1 nbsp gilt Diese Gleichung mit b displaystyle b nbsp multipliziert und etwas umsortiert liefert p s b a b t b displaystyle p sb ab t b nbsp Laut Annahme existiert ein c Z displaystyle c in mathbb Z nbsp mit a b c p displaystyle ab cp nbsp damit lasst sich p displaystyle p nbsp auf der linken Seite der Gleichung ausklammern p s b c t b displaystyle p sb ct b nbsp Also ist p displaystyle p nbsp Faktor eines Produktes das b displaystyle b nbsp ergibt Somit teilt es b displaystyle b nbsp was zu zeigen war Anwendungen und Verallgemeinerung BearbeitenDas Lemma von Euklid kommt indirekt in nahezu jeder Argumentation mittels Teilbarkeit vor insbesondere bei Primfaktorzerlegungen und dem euklidischen Algorithmus Bei praktischen Rechenaufgaben spielt das Lemma selbst nur eine untergeordnete Rolle Das Lemma gilt auch fur kommutative Hauptidealringe Sei H displaystyle H nbsp ein Hauptidealring a b p H displaystyle a b p in H nbsp und p displaystyle p nbsp irreduzibel in H displaystyle H nbsp dann gilt p a b p a p b displaystyle p mid ab Rightarrow p mid a lor p mid b nbsp 2 Hierzu zeigt man die vermeintlich starkere Aussage dass das von einem irreduziblen Element p displaystyle p nbsp erzeugte Hauptideal p displaystyle langle p rangle nbsp bereits ein maximales Ideal ist In einem Hauptidealbereich fallen die Begriffe Primideal und maximales Ideal also zusammen Ist namlich M H displaystyle M subseteq H nbsp ein Ideal mit p M displaystyle langle p rangle subseteq M nbsp so gibt es ein m H displaystyle m in H nbsp mit M m displaystyle M langle m rangle nbsp Aus p M m displaystyle p in M langle m rangle nbsp folgt also p m c displaystyle p mc nbsp fur ein geeignetes c H displaystyle c in H nbsp Da p displaystyle p nbsp irreduzibel ist ist m displaystyle m nbsp ein Einheit oder c displaystyle c nbsp eine Einheit von H displaystyle H nbsp Also folgt M m H displaystyle M langle m rangle H nbsp oder m displaystyle m nbsp und p displaystyle p nbsp sind assoziiert und erzeugen dasselbe Hauptideal Insgesamt erhalt man also M H displaystyle M H nbsp oder M p displaystyle M langle p rangle nbsp was nach Definition bedeutet dass p displaystyle langle p rangle nbsp maximal ist Einzelnachweise Bearbeiten Euklids Elemente Buch VII Prop 30 englisch Ubersetzung mit orig Beweis Jurgen Wolfart Einfuhrung in die Algebra und Zahlentheorie Vieweg Braunschweig Wiesbaden 1996 ISBN 3 528 07286 5 S 76 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lemma von Euklid amp oldid 238413362