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Lemma von Bézout Das nach Étienne Bézout 1730 1783 in der Zahlentheorie besagt dass sich der größte gemeinsame Teiler zw

Lemma von Bézout

Das Lemma von Bézout (nach Étienne Bézout (1730–1783)) in der Zahlentheorie besagt, dass sich der größte gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen und als Linearkombination von und mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen lässt.

Bézout beschrieb die Aussage 1766 im dritten Band seiner vierbändigen Cours de Mathematiques a l’usage des Gardes du Pavillon et de la Marine und verallgemeinerte sie dort auf Polynome. Allerdings war die Aussage bezogen auf ganze Zahlen bereits 142 Jahre früher von Claude Gaspard Bachet de Méziriac aufgestellt worden, der sie als Proposition XVIII in seinem 1624 erschienenen Buch Problemes plaisants et delectables qui se fonts par les nombres bewies.

Aussage und formale Darstellung Bearbeiten

Formal ausgedrückt gilt:

Sind und teilerfremd (das ist der Spezialfall mit ), existieren , sodass

gilt. Außerdem gilt auch eine Art Umkehrung; gibt es nämlich mit , dann ist .

Die Koeffizienten und können mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus effizient berechnet werden.

Das Lemma lässt sich auf mehr als zwei ganze Zahlen verallgemeinern: Sind ganze Zahlen, dann existieren ganzzahlige Koeffizienten mit

Allgemeiner gilt das Lemma von Bézout in jedem Hauptidealring, sogar in einem nicht-kommutativen; für die genauen Aussagen siehe dort.

Die Frage, welche Zahlen sich sogar mit natürlichen Zahlen als Koeffizienten darstellen lassen, ist Gegenstand des Münzproblems.

Beweis Bearbeiten

Der Beweis des Lemmas basiert auf der Möglichkeit der Division mit Rest. Somit lässt er sich leicht auf euklidische Ringe übertragen.

Für kann und gesetzt werden, also nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass gilt. Unter allen Zahlen mit gibt es sicher auch solche, die positiv und sind. Sei die kleinste Zahl unter diesen. Da sowohl als auch teilt, teilt auch .

Wir zeigen nun, dass auch ein Teiler von und ist. Die Division mit Rest liefert uns eine Darstellung der Form , wobei . Setzt man für die Darstellung ein und löst die Gleichung nach auf, so erhält man . Wegen der Minimalität von muss sein, also ist ein Teiler von . Entsprechend gilt auch, dass ein Teiler von ist, und somit gilt . Vorher hatten wir schon gesehen, dass ein Teiler von ist. Also gilt .

Hauptideale Bearbeiten

Verwendet man den Begriff des Ideals aus der Ringtheorie, so gilt grundsätzlich, dass die Hauptideale und in dem Hauptideal enthalten sind. Also ist auch das Ideal in enthalten. Man kann das Lemma von Bézout auch so formulieren, dass für den Ring (oder allgemein für euklidische Ringe) gilt

Hauptidealringe sind Ringe, in denen jedes Ideal ein Hauptideal ist. Dort gibt es zu Elementen und des Ringes immer ein Element , sodass das Ideal das Hauptideal ist. ist dann einerseits ein gemeinsamer Teiler von und , und andererseits eine Linearkombination von und . In Hauptidealringen gilt daher gewissermaßen definitionsgemäß das Lemma von Bézout, wenn man das Element als den von und ansieht.

Folgerungen Bearbeiten

Das Lemma von Bézout ist für die Mathematik und besonders für die Zahlentheorie von elementarer Bedeutung. So lässt sich damit z. B. das Lemma von Euklid ableiten, welches die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung zur Folge hat. Der chinesische Restsatz ist eine weitere Folgerung aus dem Lemma von Bézout. Für lineare diophantische Gleichungen ergibt das Lemma von Bézout ein Kriterium für deren Lösbarkeit.

Literatur Bearbeiten

  • Kurt Meyberg: Algebra – Teil 1. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 43
  • Stephen Fletcher Hewson: A Mathematical Bridge: An Intuitive Journey in Higher Mathematics. World Scientific, 2003, ISBN 978-981-238-555-0, S. 111 ff.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. Wolfgang K. Seiler: Zahlentheorie. Vorlesungsskript, Uni Mannheim, 2018
  2. Denn ist ein gemeinsamer Teiler von und , also und , dann ist , also ein Teiler von 1. ■
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Veröffentlichungsdatum:
Das Lemma von Bezout nach Etienne Bezout 1730 1783 in der Zahlentheorie besagt dass sich der grosste gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen a displaystyle a und b displaystyle b als Linearkombination von a displaystyle a und b displaystyle b mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen lasst Bezout beschrieb die Aussage 1766 im dritten Band seiner vierbandigen Cours de Mathematiques a l usage des Gardes du Pavillon et de la Marine und verallgemeinerte sie dort auf Polynome Allerdings war die Aussage bezogen auf ganze Zahlen bereits 142 Jahre fruher von Claude Gaspard Bachet de Meziriac aufgestellt worden der sie als Proposition XVIII in seinem 1624 erschienenen Buch Problemes plaisants et delectables qui se fonts par les nombres bewies 1 Inhaltsverzeichnis 1 Aussage und formale Darstellung 2 Beweis 3 Hauptideale 4 Folgerungen 5 Literatur 6 Weblinks 7 Einzelnachweise und AnmerkungenAussage und formale Darstellung BearbeitenFormal ausgedruckt gilt a b Z s t Z ggT a b s a t b displaystyle forall a b in mathbb Z exists s t in mathbb Z operatorname ggT a b s cdot a t cdot b nbsp Sind a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp teilerfremd das ist der Spezialfall mit ggT a b 1 displaystyle operatorname ggT a b 1 nbsp existieren s t Z displaystyle s t in mathbb Z nbsp sodass 1 s a t b displaystyle 1 s cdot a t cdot b nbsp gilt Ausserdem gilt auch eine Art Umkehrung gibt es namlich s t Z displaystyle s t in mathbb Z nbsp mit s a t b 1 displaystyle sa tb 1 nbsp dann ist ggT a b 1 displaystyle operatorname ggT a b 1 nbsp 2 Die Koeffizienten s displaystyle s nbsp und t displaystyle t nbsp konnen mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus effizient berechnet werden Das Lemma lasst sich auf mehr als zwei ganze Zahlen verallgemeinern Sind a 1 a n displaystyle a 1 dotsc a n nbsp ganze Zahlen dann existieren ganzzahlige Koeffizienten s 1 s n displaystyle s 1 dotsc s n nbsp mit s 1 a 1 s n a n ggT a 1 a n displaystyle s 1 a 1 dotsb s n a n operatorname ggT a 1 dotsc a n nbsp Allgemeiner gilt das Lemma von Bezout in jedem Hauptidealring sogar in einem nicht kommutativen fur die genauen Aussagen siehe dort Die Frage welche Zahlen sich sogar mit naturlichen Zahlen als Koeffizienten darstellen lassen ist Gegenstand des Munzproblems Beweis BearbeitenDer Beweis des Lemmas basiert auf der Moglichkeit der Division mit Rest Somit lasst er sich leicht auf euklidische Ringe ubertragen Fur a 0 displaystyle a 0 nbsp kann s 0 displaystyle s 0 nbsp und t 1 displaystyle t pm 1 nbsp gesetzt werden also nehmen wir ohne Beschrankung der Allgemeinheit an dass a 0 displaystyle a neq 0 nbsp gilt Unter allen Zahlen x s a t b displaystyle x s cdot a t cdot b nbsp mit s t Z displaystyle s t in mathbb Z nbsp gibt es sicher auch solche die positiv und 0 displaystyle neq 0 nbsp sind Sei d s a t b displaystyle d s cdot a t cdot b nbsp die kleinste Zahl unter diesen Da ggT a b displaystyle operatorname ggT a b nbsp sowohl a displaystyle a nbsp als auch b displaystyle b nbsp teilt teilt ggT a b displaystyle operatorname ggT a b nbsp auch d displaystyle d nbsp Wir zeigen nun dass d displaystyle d nbsp auch ein Teiler von a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp ist Die Division mit Rest liefert uns eine Darstellung a displaystyle a nbsp der Form q d r displaystyle q cdot d r nbsp wobei 0 r lt d displaystyle 0 leq r lt d nbsp Setzt man fur d displaystyle d nbsp die Darstellung s a t b displaystyle s cdot a t cdot b nbsp ein und lost die Gleichung nach r displaystyle r nbsp auf so erhalt man r 1 q s a q t b displaystyle r 1 q cdot s cdot a q cdot t cdot b nbsp Wegen der Minimalitat von d displaystyle d nbsp muss r 0 displaystyle r 0 nbsp sein also ist d displaystyle d nbsp ein Teiler von a displaystyle a nbsp Entsprechend gilt auch dass d displaystyle d nbsp ein Teiler von b displaystyle b nbsp ist und somit gilt d ggT a b displaystyle d leq operatorname ggT a b nbsp Vorher hatten wir schon gesehen dass ggT a b displaystyle operatorname ggT a b nbsp ein Teiler von d displaystyle d nbsp ist Also gilt d ggT a b displaystyle d operatorname ggT a b nbsp Hauptideale BearbeitenVerwendet man den Begriff des Ideals aus der Ringtheorie so gilt grundsatzlich dass die Hauptideale a R displaystyle aR nbsp und b R displaystyle bR nbsp in dem Hauptideal ggT a b R displaystyle operatorname ggT a b R nbsp enthalten sind Also ist auch das Ideal a R b R displaystyle aR bR nbsp in ggT a b R displaystyle operatorname ggT a b R nbsp enthalten Man kann das Lemma von Bezout auch so formulieren dass fur den Ring R Z displaystyle R mathbb Z nbsp oder allgemein fur euklidische Ringe gilt a R b R c R displaystyle aR bR cR nbsp wenn c ggT a b displaystyle c operatorname ggT a b nbsp Hauptidealringe sind Ringe in denen jedes Ideal ein Hauptideal ist Dort gibt es zu Elementen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp des Ringes immer ein Element c displaystyle c nbsp sodass das Ideal a R b R displaystyle aR bR nbsp das Hauptideal c R displaystyle cR nbsp ist c displaystyle c nbsp ist dann einerseits ein gemeinsamer Teiler von a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp und andererseits eine Linearkombination von a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp In Hauptidealringen gilt daher gewissermassen definitionsgemass das Lemma von Bezout wenn man das Element c displaystyle c nbsp als den ggT displaystyle operatorname ggT nbsp von a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp ansieht Folgerungen BearbeitenDas Lemma von Bezout ist fur die Mathematik und besonders fur die Zahlentheorie von elementarer Bedeutung So lasst sich damit z B das Lemma von Euklid ableiten welches die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung zur Folge hat Der chinesische Restsatz ist eine weitere Folgerung aus dem Lemma von Bezout Fur lineare diophantische Gleichungen ergibt das Lemma von Bezout ein Kriterium fur deren Losbarkeit Literatur BearbeitenKurt Meyberg Algebra Teil 1 Hanser 1980 ISBN 3 446 13079 9 S 43 Stephen Fletcher Hewson A Mathematical Bridge An Intuitive Journey in Higher Mathematics World Scientific 2003 ISBN 978 981 238 555 0 S 111 ff Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Bezout s Identity In MathWorld englisch Bezout s Lemma im ProofWikiEinzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Wolfgang K Seiler Zahlentheorie Vorlesungsskript Uni Mannheim 2018 Denn ist d Z displaystyle d in mathbb Z nbsp ein gemeinsamer Teiler von a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp also a a d displaystyle a a prime d nbsp und b b d displaystyle b b prime d nbsp dann ist 1 s a d t b d s a t b d 1 displaystyle 1 sa prime d tb prime d sa prime tb prime d 1 nbsp also d displaystyle d nbsp ein Teiler von 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lemma von Bezout amp oldid 233014303