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Diskreter Bewertungsring Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra sind diskrete Bewertungsringe spezielle l

Diskreter Bewertungsring

Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra sind diskrete Bewertungsringe spezielle lokale Ringe mit besonders guten Eigenschaften.

Definition Bearbeiten

Ein diskreter Bewertungsring ist ein lokaler Hauptidealring, der kein Körper ist.

Ein Erzeuger des maximalen Ideals heißt uniformisierendes Element oder kurz Uniformisierendes. Man schreibt auch kurz DVR (für discrete valuation ring) oder DBR.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Ein diskreter Bewertungsring ist ein Dedekindring, insbesondere ein regulärer lokaler Integritätsring.
  • Das Spektrum eines diskreten Bewertungsringes besteht aus genau zwei Punkten:
    • Einem abgeschlossenen Punkt, dem speziellen Punkt, zugehörig zum maximalen Ideal (wenn das uniformisierende Element ist)
    • und einem nicht abgeschlossenen (aber offenen) Punkt, dem generischen Punkt .
  • Für einen diskreten Bewertungsring wird durch eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper definiert (wenn für in ). Diese Bewertung hat als Bewertungsring.
  • Ordnet man einem diskret bewerteten Körper seinen Bewertungsring zu und wendet darauf obige Konstruktion an, so erhält man einen diskret bewerteten Körper, der isomorph zu ist. Mit anderen Worten: Diese Konstruktionen induzieren eine Äquivalenz von Kategorien zwischen diskret bewerteten Körpern und diskreten Bewertungsringen.

Beispiele Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Chapter 9, ISBN 0-201-00361-9
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Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra sind diskrete Bewertungsringe spezielle lokale Ringe mit besonders guten Eigenschaften Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 LiteraturDefinition BearbeitenEin diskreter Bewertungsring ist ein lokaler Hauptidealring der kein Korper ist Ein Erzeuger des maximalen Ideals heisst uniformisierendes Element oder kurz Uniformisierendes Man schreibt auch kurz DVR fur discrete valuation ring oder DBR Eigenschaften BearbeitenEin diskreter Bewertungsring ist ein Dedekindring insbesondere ein regularer lokaler Integritatsring Das Spektrum Spec R displaystyle operatorname Spec R nbsp eines diskreten Bewertungsringes R displaystyle R nbsp besteht aus genau zwei Punkten Einem abgeschlossenen Punkt dem speziellen Punkt zugehorig zum maximalen Ideal p displaystyle pi nbsp wenn p displaystyle pi nbsp das uniformisierende Element ist und einem nicht abgeschlossenen aber offenen Punkt dem generischen Punkt 0 displaystyle 0 nbsp Fur einen diskreten Bewertungsring R displaystyle R nbsp wird durch Quot R Z a b v p a v p b displaystyle operatorname Quot R rightarrow mathbb Z frac a b mapsto v pi a v pi b nbsp eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkorper definiert wenn v p a n displaystyle v pi a n nbsp fur a p n displaystyle a pi n nbsp in R displaystyle R nbsp Diese Bewertung hat R displaystyle R nbsp als Bewertungsring Ordnet man einem diskret bewerteten Korper F displaystyle F nbsp seinen Bewertungsring O F displaystyle mathcal O F nbsp zu und wendet darauf obige Konstruktion an so erhalt man einen diskret bewerteten Korper der isomorph zu F displaystyle F nbsp ist Mit anderen Worten Diese Konstruktionen induzieren eine Aquivalenz von Kategorien zwischen diskret bewerteten Korpern und diskreten Bewertungsringen Beispiele BearbeitenDer Ring der ganzen p adischen Zahlen Z p displaystyle mathbb Z p nbsp fur jede Primzahl p displaystyle p nbsp Z displaystyle mathbb Z nbsp ist dicht in Z p displaystyle mathbb Z p nbsp Der Ring der rationalen Zahlen die p adisch ganz sind fur eine Primzahl p displaystyle p nbsp Z p z n z n Z p n displaystyle mathbb Z p left left frac z n right z n in mathbb Z p nmid n right nbsp Es ist Z p Z p Q displaystyle mathbb Z p mathbb Z p cap mathbb Q nbsp und Z displaystyle mathbb Z nbsp ist dicht in Z p displaystyle mathbb Z p nbsp Der Ring der formalen Potenzreihen k T displaystyle k T nbsp in einer Unbestimmten uber einem Korper k displaystyle k nbsp Der Ring der konvergenten Potenzreihen C T i 0 a i T i r gt 0 i 0 a i z i k o n v e r g i e r t f u r z lt r C T displaystyle mathbb C T left left sum i 0 infty a i T i right exists r gt 0 colon sum i 0 infty a i z i mathrm konvergiert f ddot u r z lt r right subset mathbb C T nbsp Der lokale Ring zu einem glatten Punkt einer algebraischen Kurve Literatur BearbeitenM F Atiyah und I G MacDonald Introduction to Commutative Algebra Addison Wesley Series in Mathematics 1969 Chapter 9 ISBN 0 201 00361 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Diskreter Bewertungsring amp oldid 230262342