www.wikidata.de-de.nina.az

Spektrum eines Ringes Das ist ein Konstrukt aus der Algebra einem Teilgebiet der Mathematik Das R displaystyle R ist die

Spektrum eines Ringes

Das Spektrum eines Ringes ist ein Konstrukt aus der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Das Spektrum eines Ringes ist die Menge aller Primideale in , in Zeichen

Es bezeichnet das dem Ring entsprechende geometrische Objekt.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition Bearbeiten

Für einen Ring ist das Spektrum ein topologischer Raum mit einer Garbe von Ringen:

  • Die dem Raum zugrundeliegende Menge ist die Menge der Primideale von .
  • Die Topologie ist die Zariski-Topologie, bei der eine Basis der offenen Mengen durch die Mengen
für Elemente von gegeben ist.
  • Die Schnitte der Strukturgarbe über sind gleich der Lokalisierung . Insbesondere ist

Lokal geringte Räume, die isomorph zum Spektrum eines Ringes sind, werden affine Schemata genannt.

Beispiele Bearbeiten

  • Das Spektrum eines Körpers besteht aus einem einzelnen Punkt; die Schnitte der Strukturgarbe über diesem Punkt sind gleich dem Körper selbst.
  • besteht aus der 0 und den (positiven) Primzahlen; offene Mengen sind Komplemente einer endlichen Menge von Primzahlen ; die Schnitte der Strukturgarbe über einer solchen offenen Menge sind die rationalen Zahlen, deren Nenner nur Primfaktoren aus enthalten.
  • Der -dimensionale affine Raum über einem Ring ist das affine Schema . Ist ein algebraisch abgeschlossener Körper, dann entsprechen die abgeschlossenen Punkte (äquivalent: die maximalen Ideale) bijektiv den Punkten im Raum (Siehe: Hilbertscher Nullstellensatz).
  • Sei ein kompakter Hausdorff-Raum und sei der Ring der komplexwertigen stetigen Funktionen auf , dann entsprechen die abgeschlossenen Punkte im Spektrum bijektiv den Punkten in . Man kann auf diese Weise den Hausdorff-Raum topologisch in den (im Allgemeinen nichthausdorffschen) Raum einbetten. Dieses Beispiel verbindet das hier behandelte Spektrum der Ringtheorie mit dem Gelfand-Spektrum einer Banachalgebra, wie es in der Funktionalanalysis und der Operatorentheorie untersucht und verwendet wird.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Das Spektrum eines Ringes ist ein lokal geringter Raum: der Halm der Strukturgarbe in einem Punkt ist der lokale Ring .
  • Das Spektrum eines Ringes ist stets quasi-kompakt.
  • Die Bildung des Spektrums ist ein kontravarianter Funktor: Für einen Ringhomomorphismus ist stetig, genauer: ein Homomorphismus lokal geringter Räume.
  • Der Funktor Spec ist eine Kategorienäquivalenz zwischen der Kategorie der Ringe (kommutativ mit Eins) und der Kategorie der affinen Schemata, insbesondere ist jeder Morphismus von affinen Schemata von der Form für einen Ringhomomorphismus .

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Das Spektrum eines Ringes ist ein Konstrukt aus der Algebra einem Teilgebiet der Mathematik Das Spektrum eines Ringes R displaystyle R ist die Menge aller Primideale in R displaystyle R in Zeichen Spec R P P R mit P Primideal displaystyle operatorname Spec R P mid P subseteq R text mit P text Primideal Es bezeichnet das dem Ring entsprechende geometrische Objekt Dieser Artikel beschaftigt sich mit kommutativer Algebra Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement Fur weitere Details siehe Kommutative Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Siehe auch 5 LiteraturDefinition BearbeitenFur einen Ring R displaystyle R nbsp ist das Spektrum Spec R displaystyle operatorname Spec R nbsp ein topologischer Raum mit einer Garbe von Ringen Die dem Raum zugrundeliegende Menge ist die Menge der Primideale von R displaystyle R nbsp Die Topologie ist die Zariski Topologie bei der eine Basis der offenen Mengen durch die MengenD f P Spec R f P displaystyle D f P in operatorname Spec R mid f notin P nbsp dd fur Elemente f displaystyle f nbsp von R displaystyle R nbsp gegeben ist Die Schnitte der Strukturgarbe O Spec R displaystyle mathcal O operatorname Spec R nbsp uber D f displaystyle D f nbsp sind gleich der Lokalisierung R f displaystyle R f nbsp Insbesondere istG Spec R O Spec R R displaystyle Gamma operatorname Spec R mathcal O operatorname Spec R R nbsp dd Lokal geringte Raume die isomorph zum Spektrum eines Ringes sind werden affine Schemata genannt Beispiele BearbeitenDas Spektrum eines Korpers besteht aus einem einzelnen Punkt die Schnitte der Strukturgarbe uber diesem Punkt sind gleich dem Korper selbst Spec Z displaystyle operatorname Spec mathbb Z nbsp besteht aus der 0 und den positiven Primzahlen offene Mengen sind Komplemente einer endlichen Menge von Primzahlen S displaystyle S nbsp die Schnitte der Strukturgarbe uber einer solchen offenen Menge sind die rationalen Zahlen deren Nenner nur Primfaktoren aus S displaystyle S nbsp enthalten Der n displaystyle n nbsp dimensionale affine Raum uber einem Ring R displaystyle R nbsp ist das affine Schema Spec R x 1 x n displaystyle operatorname Spec R x 1 dotsc x n nbsp Ist R k displaystyle R k nbsp ein algebraisch abgeschlossener Korper dann entsprechen die abgeschlossenen Punkte aquivalent die maximalen Ideale bijektiv den Punkten im Raum k n displaystyle k n nbsp Siehe Hilbertscher Nullstellensatz Sei X displaystyle X nbsp ein kompakter Hausdorff Raum und sei R displaystyle R nbsp der Ring der komplexwertigen stetigen Funktionen auf X displaystyle X nbsp dann entsprechen die abgeschlossenen Punkte im Spektrum bijektiv den Punkten in X displaystyle X nbsp Man kann auf diese Weise den Hausdorff Raum X displaystyle X nbsp topologisch in den im Allgemeinen nichthausdorffschen Raum Spec R displaystyle operatorname Spec R nbsp einbetten Dieses Beispiel verbindet das hier behandelte Spektrum der Ringtheorie mit dem Gelfand Spektrum einer Banachalgebra wie es in der Funktionalanalysis und der Operatorentheorie untersucht und verwendet wird Eigenschaften BearbeitenDas Spektrum eines Ringes ist ein lokal geringter Raum der Halm der Strukturgarbe O Spec R displaystyle mathcal O operatorname Spec R nbsp in einem Punkt P displaystyle P nbsp ist der lokale Ring R P displaystyle R P nbsp Das Spektrum eines Ringes ist stets quasi kompakt Die Bildung des Spektrums ist ein kontravarianter Funktor Fur einen Ringhomomorphismus f A B displaystyle varphi colon A to B nbsp ist Spec f Spec B Spec A displaystyle operatorname Spec varphi colon operatorname Spec B to operatorname Spec A nbsp stetig genauer ein Homomorphismus lokal geringter Raume Der Funktor Spec ist eine Kategorienaquivalenz zwischen der Kategorie der Ringe kommutativ mit Eins und der Kategorie der affinen Schemata insbesondere ist jeder Morphismus von affinen Schemata von der Form Spec f displaystyle operatorname Spec varphi nbsp fur einen Ringhomomorphismus f displaystyle varphi nbsp Siehe auch BearbeitenSpektrum Operatortheorie Literatur BearbeitenRobin Hartshorne Algebraic Geometry Springer Verlag New York Berlin Heidelberg 1977 ISBN 3 540 90244 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Spektrum eines Ringes amp oldid 227232827