Spektrum (Operatortheorie)

Das Spektrum eines linearen Operators ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik. In der endlichdimensionalen linearen Algebra betrachtet man Endomorphismen, die durch Matrizen dargestellt werden, und ihre Eigenwerte. Die Verallgemeinerung ins Unendlichdimensionale wird in der Funktionalanalysis betrachtet. Das Spektrum eines Operators kann man sich als Menge verallgemeinerter Eigenwerte vorstellen. Diese werden Spektralwerte genannt.

Zusammenhang der Spektraltheorie mit der Eigenwerttheorie

Die Spektraltheorie linearer Operatoren aus der Funktionalanalysis ist eine Verallgemeinerung der Eigenwerttheorie aus der linearen Algebra. In der linearen Algebra werden Endomorphismen auf endlichdimensionalen Vektorräumen betrachtet. Die Zahlen , für die die Gleichung

Lösungen , also ungleich dem Nullvektor, hat, werden Eigenwerte genannt, wobei eine Darstellungsmatrix des gewählten Endomorphismus ist. Bezeichnet die Einheitsmatrix, so sind Eigenwerte also Zahlen , für die nicht injektiv ist. Das ist im Endlichdimensionalen gleichbedeutend damit, dass der Endomorphismus nicht surjektiv oder nicht bijektiv ist, das heißt, dass die Matrix keine Inverse hat. Betrachtet man jedoch unendlichdimensionale Räume, so ist es notwendig zu unterscheiden, ob der Operator nicht invertierbar, nicht injektiv und/oder nicht surjektiv ist, denn im unendlichdimensionalen Fall folgt aus der Injektivität eines Endomorphismus nicht automatisch die Surjektivität. Im Folgenden wird der Begriff Spektrum in der Funktionalanalysis erläutert.

Definition

Das Spektrum eines Operators ist die Menge aller Elemente des Zahlenkörpers (meistens die komplexen Zahlen), für die die Differenz des Operators mit dem -fachen der identischen Abbildung

nicht beschränkt-invertierbar ist, das heißt, dass es keine Inverse gibt oder diese nicht beschränkt sind.

Das Spektrum des Operators wird mit bezeichnet und die Elemente des Spektrums heißen Spektralwerte.

Das Spektrum linearer Operatoren

Die obige Definition lässt sich in verschiedenen Kontexten anwenden. In diesem Abschnitt wird das Spektrum linearer Operatoren eines Vektorraums betrachtet. Die Spektraltheorie von linearen Operatoren lässt sich allerdings nur dann in einem gewissen Umfang ausbauen, wenn die Menge der zu betrachtenden Operatoren spezifiziert wird. Beispielsweise könnte man sich auf beschränkte, kompakte oder selbstadjungierte Operatoren einschränken. Im Folgenden sei ein linearer Operator auf einem komplexen Banachraum .

Resolvente

→ Hauptartikel: Resolvente

Die Resolventenmenge besteht aus allen komplexen Zahlen , so dass es einen auf definierten beschränkten Operator gibt mit

Der Operator heißt Resolvente des Operators . Das Komplement zur Resolventenmenge ist die Menge der komplexen Zahlen, für die die Resolvente nicht existiert oder unbeschränkt ist, also das Spektrum des Operators , das heißt, es gilt . In der Literatur findet sich auch die Definition , was zu einem anderen Vorzeichen der Resolvente führt. Die Resolventenmenge ist unabhängig von dieser Vorzeichenkonvention, da ein Operator genau dann invertierbar ist, wenn der mit −1 multiplizierte Operator invertierbar ist.

Aufteilung des Spektrums

Das Spektrum lässt sich in verschiedene Anteile untergliedern. Einmal wird eine Unterteilung in das Punktspektrum, das stetige Spektrum und das Residualspektrum vorgenommen. Diese Komponenten des Spektrums unterscheiden sich gewissermaßen durch den Grund der Nichtexistenz einer beschränkten Resolvente. Eine andere Zerlegung des Spektrums ist die in das diskrete und das wesentliche Spektrum. Für das Spektrum eines selbstadjungierten Operators gibt es noch die dritte Möglichkeit, es in ein Punkt- und ein stetiges Spektrum zu unterteilen, dies wird im Abschnitt zu den selbstadjungierten Operatoren beschrieben. Dabei ist das stetige Spektrum eines selbstadjungierten Operators nicht äquivalent zum stetigen Spektrum, das im folgenden Unterabschnitt definiert wird.

Das Punktspektrum (Eigenwertspektrum, diskontinuierliches Spektrum)

Wenn der Operator nicht injektiv ist, das heißt , dann ist ein Element des Punktspektrums von . Die Elemente des Punktspektrums werden Eigenwerte genannt.

Das stetige Spektrum (kontinuierliches Spektrum, Stetigkeitsspektrum, Streckenspektrum)

Wenn der Operator injektiv, jedoch nicht surjektiv ist, aber ein dichtes Bild besitzt, das heißt, es existiert ein Inverses, das jedoch nur auf einem dichten Teilraum des Banachraumes definiert ist, dann ist ein Element des stetigen Spektrums von .

Das Residualspektrum (Restspektrum)

Wenn der Operator injektiv ist, jedoch kein im Banachraum dichtes Bild besitzt, dann ist ein Element des Residualspektrums von . In diesem Fall ist insbesondere nicht surjektiv. Der zu inverse Operator existiert, ist jedoch lediglich auf einem nicht dichten Teilraum von definiert.

Diskretes und wesentliches Spektrum

→ Hauptartikel: Wesentliches Spektrum

Die Menge aller isolierten Spektralwerte mit endlicher Vielfachheit wird diskretes Spektrum genannt und mit notiert. Das Komplement heißt das wesentliche Spektrum von . Jedoch gibt es auch andere zu dieser Definition nicht äquivalente Definitionen des wesentlichen und des diskreten Spektrums.

Approximatives Punktspektrum

Falls zu einem eine Folge in existiert mit

so nennt man einen approximativen Eigenwert von . Die Menge aller approximativen Eigenwerte wird als approximatives Punktspektrum oder approximatives Eigenwertspektrum bezeichnet. Es gilt:

Falls ein beschränkter Operator ist, gilt außerdem

Beispiele

Multiplikationsoperator für Funktionen

Ein interessantes Beispiel ist der Multiplikationsoperator auf einem Funktionenraum , der die Funktion auf die Funktion abbildet, also mit .

• Betrachtet man auf dem Raum der beschränkten Funktionen mit der Supremumsnorm, so ist sein Spektrum das Intervall und alle Spektralwerte gehören zum Punktspektrum.

• Betrachtet man ihn auf dem Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen , so ist das Spektrum wiederum das Intervall und alle Spektralwerte gehören zum kontinuierlichen Spektrum.

• Betrachtet man ihn schließlich auf dem Raum der stetigen Funktionen, so ist sein Spektrum wieder das Intervall und alle Spektralwerte gehören zum residualen Spektrum.

Multiplikationsoperator für Folgen

Ist eine beschränkte Folge in , so ist

ein stetiger, linearer Operator auf dem Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen und es ist

der Abschluss der Menge der Folgenglieder. Insbesondere kommt jede kompakte Teilmenge von auch als Spektrum eines Operators vor. Ist eine solche Menge, so wähle eine dichte, abzählbare Teilmenge und betrachte obigen Operator.

Spektren kompakter Operatoren

Die kompakten Operatoren bilden beschränkte Mengen des Banachraumes auf relativkompakte Mengen desselben Banachraumes ab. Diese Klasse von Operatoren bildet für sich eine Banachalgebra, die zudem ein Norm-abgeschlossenes Ideal innerhalb der Algebra aller beschränkten Operatoren bildet.

Das Spektrum kompakter Operatoren ist erstaunlich einfach in dem Sinne, dass es fast nur aus Eigenwerten besteht. Dieses Resultat geht auf Frigyes Riesz zurück und lautet präzise:

Für einen kompakten Operator auf einem unendlichdimensionalen Banachraum gilt, dass ein Spektralwert und jedes ein Eigenwert mit endlicher Multiplizität ist, das heißt der Kern von ist endlichdimensional, und besitzt keinen von verschiedenen Häufungspunkt.

Spektren selbstadjungierter Operatoren

In der Quantenmechanik treten die selbstadjungierten Operatoren auf Hilberträumen als mathematische Formalisierung der beobachtbaren Größen, sogenannte Observablen, auf. Die Elemente des Spektrums sind mögliche Messwerte. Daher sind folgende Aussagen von grundlegender Bedeutung:

Eigenschaften

Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators ist in enthalten. Ist selbstadjungiert und beschränkt, so liegt sein Spektrum im Intervall und enthält einen der Randpunkte. Ist , so gilt

Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal zueinander. Selbstadjungierte Operatoren auf einem separablen Hilbertraum haben daher höchstens abzählbar viele Eigenwerte. Das Residualspektrum eines selbstadjungierten Operators ist leer.

Ist ein selbstadjungierter Operator, der auch ein unbeschränkter Operator sein kann, in einem Hilbertraum , so ist diesem Operator eine Spektralschar von Orthogonalprojektionen zugeordnet. Für jedes ist die Funktion die Verteilungsfunktion eines Maßes auf . Die Eigenschaften dieser Maße geben Anlass zur Definition von Teilräumen, auf die der Operator eingeschränkt werden kann. Die Spektren dieser Einschränkungen sind dann Bestandteile des Spektrums von . Dadurch erhält man neue Beschreibungen der bereits oben genannten Teile des Spektrums und weitere Unterteilungen.

Das Punktspektrum

heißt unstetiger Teilraum von bzgl. . Es gilt

Gilt , so ist und man sagt, habe ein reines Punktspektrum.

Das stetige Spektrum

heißt stetiger Teilraum von bzgl. .

Gilt , so ist und man sagt, habe ein rein stetiges Spektrum.

Das singuläre Spektrum

heißt singulärer Teilraum von bzgl. . Das Maß zu einem ist dann singulär in Bezug auf das Lebesgue-Maß.

Gilt , so ist und man sagt, habe ein rein singuläres Spektrum.

Das singuläre stetige Spektrum

heißt singulär stetiger Teilraum von bzgl. .

Gilt , so ist und man sagt, habe ein rein singulär stetiges Spektrum.

Das absolutstetige Spektrum

heißt absolutstetiger Teilraum von bzgl. . Das Maß zu einem ist dann absolutstetig in Bezug auf das Lebesgue-Maß.

Gilt , so ist und man sagt, habe ein rein absolutstetiges Spektrum.

Beziehungen der Spektren

Es gilt , , . Daraus ergibt sich

Die Teile , , und sind abgeschlossen, denn es handelt sich um Spektren. Für das Punktspektrum gilt das im Allgemeinen nicht.

Spektraltheorie für Elemente einer Banachalgebra

Streicht man die zusätzliche Forderung der Beschränktheit der Inversen, so kann obige Definition auch auf Elemente einer Operatoralgebra angewandt werden. Unter einer Operatoralgebra versteht man meist eine Banachalgebra mit Einselement und das Invertieren von Elementen ergibt in diesem Kontext nur Sinn, wenn die Inverse wiederum ein Element der Algebra ist. Da solche Operatoren nicht durch ihre Wirkung auf irgendeinen Vektorraum definiert sind (also eigentlich gar nicht operieren), gibt es auch kein a-priori-Konzept der Beschränktheit solcher Operatoren. Allerdings kann man diese immer als lineare Operatoren auf einem Vektorraum darstellen, zum Beispiel als Multiplikationsoperatoren auf der Banachalgebra selbst. Dann werden diese Operatoren zu beschränkten Operatoren auf einem Banachraum. Insbesondere bildet die Menge der beschränkten Operatoren das Standardbeispiel einer Operatoralgebra. Auch die zuvor schon erwähnten kompakten Operatoren bilden eine Operatoralgebra. Daher umfasst die Spektraltheorie für Banachalgebren diese zwei Klassen linearer Operatoren.

Beispiele

Matrizen

In der linearen Algebra bilden die -Matrizen mit komplexen Einträgen eine Algebra bezüglich der üblichen Addition und Skalarmultiplikation (komponentenweise) sowie der Matrizenmultiplikation. Die -Matrizen können daher sowohl als Beispiel für eigentliche Operatoren in ihrer Eigenschaft als lineare Abbildungen des angesehen werden, als auch als Beispiel einer Operatoralgebra, wobei es in diesem Kontext unerheblich ist, welche Operatornorm für die Matrizen gewählt wird. Da alle linearen Abbildungen eines endlichdimensionalen Raumes auf sich automatisch beschränkt sind, kann dieser Begriff in der Definition hier außer Acht gelassen werden.

Eine Matrix ist invertierbar, wenn es eine Matrix gibt, so dass (Einheitsmatrix) ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante nicht verschwindet: . Daher ist eine Zahl dann ein Spektralwert, wenn gilt. Da dies aber gerade das charakteristische Polynom der Matrix in ist, ist genau dann ein Spektralwert, wenn ein Eigenwert der Matrix ist. In der linearen Algebra bezeichnet das Spektrum einer Matrix daher die Menge der Eigenwerte.

Funktionen

Die stetigen Funktionen auf dem Intervall mit Werten in den komplexen Zahlen bilden (z. B. mit der Supremumsnorm als Norm, die hier aber nicht von Belang ist) eine Banachalgebra, wobei die Summe zweier Funktionen und das Produkt zweier Funktionen punktweise definiert wird:

Eine Funktion heißt dann in dieser Algebra invertierbar, wenn es eine andere Funktion gibt, so dass (Einsfunktion) ist, das heißt, wenn es eine Funktion gibt, deren Werte gerade die Kehrwerte von sind. Man sieht nun schnell ein, dass eine Funktion genau dann invertierbar ist, wenn sie nicht den Funktionswert besitzt und die Inverse in diesem Fall punktweise die inversen Funktionswerte (Kehrwerte) der ursprünglichen Funktion besitzt:

Eine Zahl ist also ein Spektralwert, wenn die Funktion nicht invertierbar ist, also den Funktionswert besitzt. Dies ist natürlich genau dann der Fall, wenn ein Funktionswert von ist. Das Spektrum einer Funktion ist daher genau ihr Bild.

Eigenschaften

Die Spektraltheorie der Elemente von Banachalgebren mit Eins ist eine Abstraktion der Theorie beschränkter linearer Operatoren auf einem Banachraum. Die einführenden Beispiele sind Spezialfälle dieser Theorie, wobei im ersten Beispiel die Norm der betrachteten Funktionen zu spezifizieren ist. Wählt man z. B. den Banachraum der stetigen Funktionen auf einem kompakten Raum mit der Supremumsnorm, so stellt dieses Beispiel den wohl wichtigsten Fall einer abelschen Banachalgebra mit Eins dar. Das zweite Beispiel findet seinen Platz in dieser Theorie als typisches endlichdimensionales Beispiel einer nicht abelschen Banachalgebra, wobei eine geeignete Norm für die Matrizen zu wählen ist. Das Spektrum eines Operators war im ersten Fall der Wertebereich und, da die betrachteten Funktionen stetig auf einem Kompaktum sind, eine kompakte Teilmenge in . Im zweiten Fall ist das Spektrum eine endliche Menge von Punkten in und daher ebenfalls kompakt. Diese Tatsache kann auch im abstrakten Fall bewiesen werden:

Aus diesem Satz folgt unmittelbar, dass es einen betragsmäßig größten Spektralwert gibt, denn das Supremum

wird auf dem kompakten Spektrum angenommen. Man nennt diesen Wert den Spektralradius von . Im Beispiel der Algebra der stetigen Funktionen sieht man unmittelbar ein, dass der Spektralradius gerade der Norm der Elemente entspricht. Aus der linearen Algebra weiß man jedoch, dass dies für Matrizen im Allgemeinen nicht gilt, da z. B. die Matrix

nur den Eigenwert besitzt, und daher ist , aber die Norm der Matrix (egal welche) ist nicht . Der Spektralradius ist im Allgemeinen tatsächlich kleiner als die Norm, es gilt aber

Weitere Anwendungen

• In der Quantenmechanik behandelt man vor allem das Spektrum des Hamiltonoperators. Dies sind die möglichen Energiewerte, die an dem betrachteten System gemessen werden können. Der Hamiltonoperator ist damit (und weil er die Dynamik des Systems bestimmt, siehe Mathematische Struktur der Quantenmechanik) ein besonders wichtiger Spezialfall für die meist unbeschränkten selbstadjungierten Operatoren auf dem Hilbertraum. Die Elemente dieses Raums repräsentieren die quantenmechanischen Zustände, die selbstadjungierten Operatoren dagegen die Observablen (messbare Größen). Die Selbstadjungiertheit des Operators gewährleistet, wie oben bereits erwähnt, dass die möglichen Messwerte (Spektralwerte) ausnahmslos reelle Zahlen sind. Über diese kann 1.) summiert oder 2.) integriert werden, was mit dem Spektraltyp zusammenhängt:

• In der klassischen Mechanik und der statistischen Mechanik werden Observablen durch Funktionen auf dem Phasenraum modelliert. Ganz analog zur Quantenmechanik gilt auch in diesem Fall, dass die möglichen Messwerte die Spektralwerte der Observable sind, also in diesem Fall einfach die Funktionswerte.

• In der algebraischen Quantentheorie werden Observablen abstrakt als Elemente sog. C*-Algebren (spezieller Banachalgebren) eingeführt. Ohne eine konkrete Darstellung dieser Algebra als Menge linearer Operatoren auf einem Hilbertraum anzugeben, erlaubt es der Spektralkalkül dieser Algebren dann, die möglichen Messwerte der Observablen zu berechnen. Die Zustände des physikalischen Systems werden dann nicht als Vektoren im Hilbertraum, sondern als lineare Funktionale auf der Algebra eingeführt. Die klassischen Theorien, wie die klassische (statistische) Mechanik, können in diesem Bild als Spezialfälle angesehen werden, in denen die C*-Algebra abelsch ist.

Siehe auch

• Gemeinsames Spektrum
• Numerischer Wertebereich
• Spektralmaß, Spektralsatz

Literatur

• David Borthwick: Spectral Theory: Basic Concepts and Applications (= Graduate Texts in Mathematics. Band 284). Springer, Cham, Switzerland 2020, ISBN 978-3-03038001-4, doi:10.1007/978-3-030-38002-1 (englisch). 
• Gilbert Helmberg: Introduction to Spectral Theory in Hilbert Space. Hrsg.: H. A. Lauwerier, W. T. Koiter (= Applied Mathematics and Mechanics. Band 6). North-Holland Publishing Company, London 1969 (englisch, elsevier.com). 
• Valter Moretti: Spectral Theory and Quantum Mechanics (= UNITEXT. Band 110). Springer International Publishing, Cham 2017, ISBN 978-3-319-70705-1, doi:10.1007/978-3-319-70706-8. 
• Barry Simon: A comprehensive course in analysis. Part 4: Operator theory. AMS, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 2015, ISBN 978-1-4704-1103-9 (englisch). 
• Gerald Teschl: Mathematical methods in quantum mechanics: with applications to Schrödinger operators (= Graduate studies in mathematics. volume 157). 2nd Auflage. American Mathematical Society, Providence 2014, ISBN 978-1-4704-1704-8 (englisch, univie.ac.at). 

Einzelnachweise und Fußnoten

1. David Borthwick: Spectral Theory: Basic Concepts and Applications (= Graduate Texts in Mathematics. Band 284). Springer, Cham 2020, ISBN 978-3-03038002-1. 
2. Reinhold Meise, Dietmar Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, Braunschweig 1992, ISBN 3-528-07262-8, §17
3. Włodzimierz Mlak: Hilbert Spaces and Operator Theory, Polish Scientific Publishers (1991), ISBN 83-01-09965-8, Kapitel 3.4
4. Hellmut Baumgärtel, Manfred Wollenberg: Mathematical scattering theory. Birkhäuser, Basel 1983, ISBN 3-7643-1519-9, S. 54. 
5. Harro Heuser: Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. 3. Aufl., B.G. Teubner, Stuttgart 1992. ISBN 3-519-22206-X, S. 520–521.
6. Helmut Fischer, Helmut Kaul: Mathematik für Physiker, Band 2: Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. 2. Auflage. B.G. Teubner, Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-12080-1, §21 Abschnitt 5.5 und §23 Abschnitt 5.2, S. 572–573, 665–666. 
7. H. Triebel: Höhere Analysis, Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-87144-583-5, §18: Das Spektrum selbstadjungierter Operatoren
8. Wlodzimierz Mlak: Hilbert Spaces and Operator Theory, Polish Scientific Publishers (1991), ISBN 83-01-09965-8, Theorem 4.1.5
9. J. Weidmann: Lineare Operatoren in Hilberträumen, Teubner-Verlag (1976), ISBN 3-519-02204-4, Kapitel 7.4: Spektren selbstadjungierter Operatoren
10. Es ist bereits eine wesentliche Vereinfachung, wenn der Operator nur nach einer Seite hin, etwa nach oben, unbeschränkt ist, nach der anderen aber begrenzt ist. Andernfalls wird man auf Hilfskonstruktionen wie den sogenannten Dirac-See geführt, um bestimmten Größen physikalischen Sinn zu verleihen.