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Operatoralgebra Operatoralgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis studiert Es handelt sich dab

Operatoralgebra

Operatoralgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis studiert. Es handelt sich dabei um Verallgemeinerungen der Matrizenalgebren der linearen Algebra.

Einführung Bearbeiten

Sind normierte Räume und und stetige, lineare Operatoren, so ist auch deren Komposition ein stetiger, linearer Operator , und für die Operatornormen gilt . Daher wird der Raum der stetigen, linearen Operatoren von in sich mit der Komposition als Multiplikation zu einer normierten Algebra, die bei vollständigem sogar eine Banachalgebra ist.

Diese Algebren und ihre Unteralgebren nennt man Operatoralgebren, wobei der Fall, dass ein Hilbertraum ist, besonders intensiv untersucht wird. Manche Autoren verstehen unter dem Begriff Operatoralgebra nur diesen Hilbertraumfall, das gilt insbesondere für ältere Literatur. So tragen die grundlegenden von 1936 bis 1943 erschienenen Arbeiten von Francis J. Murray und John von Neumann den Titel On rings of operators und behandeln Algebren, die man heute Von-Neumann-Algebren nennt.

Banachalgebren als Operatoralgebren Bearbeiten

Jede normierte Algebra kann als Operatoralgebra dargestellt werden. Die sogenannte linksreguläre Darstellung von , die jedem Element den Operator zuordnet, wobei , ist ein isometrischer Homomorphismus, falls ein Einselement besitzt. Ist kein Einselement vorhanden, so adjungiere man eines.

Welche Homomorphismen von einer Banachalgebra in eine Operatoralgebra existieren, wird in der Darstellungstheorie untersucht. Ein besonderes Interesse gilt dabei Darstellungen auf Hilberträumen, das heißt Homomorphismen in die Operatoralgebra über einem Hilbertraum, was zu den Begriffen Von-Neumann-Algebra und C*-Algebra führt.

Bedeutung Bearbeiten

Operatoralgebren über Banachräumen, speziell über Hilberträumen, erlauben die Einführung zusätzlicher Topologien wie etwa die starke oder schwache Operatortopologie, wobei gerade letzterer wegen der Kompaktheit der Einheitskugel eine besondere Bedeutung zukommt.

Ein weiteres Strukturelement von Operatoralgebren in , das in beliebigen Banachalgebren so nicht vorhanden ist, sind invariante Unterräume, das heißt Unterräume , für die gilt für einzelne oder alle Operatoren der Algebra. Speziell im Hilbertraumfall sind die Orthogonalprojektionen auf invariante Unterräume im Allgemeinen nicht in der Operatoralgebra enthalten, sondern in deren Kommutante.

Die für die Quantenmechanik wichtigen unbeschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum bilden zwar keine Algebra, können aber mit Operatoralgebren in Zusammenhang gebracht werden. Ferner kann man wegen des zu Grunde liegenden Raumes von Eigenvektoren sprechen, die in der Quantenmechanik die Zustände repräsentieren.

Operatoralgebren können neben der Operatornorm weitere Normen tragen und bzgl. dieser vollständig sein. Auf Hilberträumen kommt die Adjunktion von Operatoren als zusätzliches Strukturelement hinzu und kann eine Involution auf den betrachteten Algebren definieren. Hier sind besonders die Schatten-Klassen zu nennen, wobei der Spezialfall der Spurklasseoperatoren in Form gemischter Zustände in der mathematischen Formulierung der Quantenmechanik auftritt.

Weblinks Bearbeiten

  • Higson, Roe: Operator algebras

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators. Ann. of Math. (2), Band 37, 1936, Seiten 116–229.
  2. F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators II. Trans. Amer. Math. Soc., Band 41, 1937, Seiten 208–248
  3. F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators IV. Ann. of Math. (2), Band 44, 1943, Seiten 716–808.
  4. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-5400-6386-2, Kapitel III, Representation Theory
  5. Jacques Dixmier: Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann, Gauthier-Villars, 1957 (ISBN 2-87647-012-8)
  6. Jacques Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969 (ISBN 2-87647-013-6)
  7. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Band I, 1983, ISBN 0-1239-3301-3, Theorem 5.1.3
  8. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Band I, 1983, ISBN 0-1239-3301-3, Kapitel 5.6
  9. Robert Schatten: Norm Ideals of Completely Continuous Operators. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Folge, ISBN 3-540-04806-5
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Operatoralgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis studiert Es handelt sich dabei um Verallgemeinerungen der Matrizenalgebren der linearen Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Einfuhrung 2 Banachalgebren als Operatoralgebren 3 Bedeutung 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseEinfuhrung BearbeitenSind E F G displaystyle E F G nbsp normierte Raume und A E F displaystyle A E rightarrow F nbsp und B F G displaystyle B F rightarrow G nbsp stetige lineare Operatoren so ist auch deren Komposition ein stetiger linearer Operator B A E G displaystyle B circ A E rightarrow G nbsp und fur die Operatornormen gilt B A B A displaystyle B circ A leq B cdot A nbsp Daher wird der Raum L E displaystyle L E nbsp der stetigen linearen Operatoren von E displaystyle E nbsp in sich mit der Komposition als Multiplikation zu einer normierten Algebra die bei vollstandigem E displaystyle E nbsp sogar eine Banachalgebra ist Diese Algebren und ihre Unteralgebren nennt man Operatoralgebren wobei der Fall dass E displaystyle E nbsp ein Hilbertraum ist besonders intensiv untersucht wird Manche Autoren verstehen unter dem Begriff Operatoralgebra nur diesen Hilbertraumfall das gilt insbesondere fur altere Literatur So tragen die grundlegenden von 1936 bis 1943 erschienenen Arbeiten von Francis J Murray und John von Neumann den Titel On rings of operators 1 2 3 und behandeln Algebren die man heute Von Neumann Algebren nennt Banachalgebren als Operatoralgebren BearbeitenJede normierte Algebra A displaystyle mathcal A nbsp kann als Operatoralgebra dargestellt werden Die sogenannte linksregulare Darstellung von A displaystyle mathcal A nbsp die jedem Element A displaystyle A nbsp den Operator ℓ A L A displaystyle ell A in L mathcal A nbsp zuordnet wobei ℓ A B A B displaystyle ell A B AB nbsp ist ein isometrischer Homomorphismus falls A displaystyle mathcal A nbsp ein Einselement besitzt Ist kein Einselement vorhanden so adjungiere man eines Welche Homomorphismen von einer Banachalgebra in eine Operatoralgebra existieren wird in der Darstellungstheorie untersucht 4 Ein besonderes Interesse gilt dabei Darstellungen auf Hilbertraumen das heisst Homomorphismen in die Operatoralgebra uber einem Hilbertraum was zu den Begriffen Von Neumann Algebra und C Algebra fuhrt 5 6 Bedeutung BearbeitenOperatoralgebren uber Banachraumen speziell uber Hilbertraumen erlauben die Einfuhrung zusatzlicher Topologien wie etwa die starke oder schwache Operatortopologie wobei gerade letzterer wegen der Kompaktheit der Einheitskugel eine besondere Bedeutung zukommt 7 Ein weiteres Strukturelement von Operatoralgebren in L E displaystyle L E nbsp das in beliebigen Banachalgebren so nicht vorhanden ist sind invariante Unterraume das heisst Unterraume U E displaystyle U subset E nbsp fur die A U U displaystyle A U subset U nbsp gilt fur einzelne oder alle Operatoren A displaystyle A nbsp der Algebra Speziell im Hilbertraumfall sind die Orthogonalprojektionen auf invariante Unterraume im Allgemeinen nicht in der Operatoralgebra enthalten sondern in deren Kommutante Die fur die Quantenmechanik wichtigen unbeschrankten Operatoren auf einem Hilbertraum bilden zwar keine Algebra konnen aber mit Operatoralgebren in Zusammenhang gebracht werden 8 Ferner kann man wegen des zu Grunde liegenden Raumes von Eigenvektoren sprechen die in der Quantenmechanik die Zustande reprasentieren Operatoralgebren konnen neben der Operatornorm weitere Normen tragen und bzgl dieser vollstandig sein Auf Hilbertraumen kommt die Adjunktion von Operatoren als zusatzliches Strukturelement hinzu und kann eine Involution auf den betrachteten Algebren definieren Hier sind besonders die Schatten Klassen zu nennen 9 wobei der Spezialfall der Spurklasseoperatoren in Form gemischter Zustande in der mathematischen Formulierung der Quantenmechanik auftritt Weblinks BearbeitenHigson Roe Operator algebrasEinzelnachweise Bearbeiten F J Murray J von Neumann On rings of operators Ann of Math 2 Band 37 1936 Seiten 116 229 F J Murray J von Neumann On rings of operators II Trans Amer Math Soc Band 41 1937 Seiten 208 248 F J Murray J von Neumann On rings of operators IV Ann of Math 2 Band 44 1943 Seiten 716 808 F F Bonsall J Duncan Complete Normed Algebras Springer Verlag 1973 ISBN 3 5400 6386 2 Kapitel III Representation Theory Jacques Dixmier Les algebres d operateurs dans l espace hilbertien algebres de von Neumann Gauthier Villars 1957 ISBN 2 87647 012 8 Jacques Dixmier Les C algebres et leurs representations Gauthier Villars 1969 ISBN 2 87647 013 6 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras Band I 1983 ISBN 0 1239 3301 3 Theorem 5 1 3 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras Band I 1983 ISBN 0 1239 3301 3 Kapitel 5 6 Robert Schatten Norm Ideals of Completely Continuous Operators Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 2 Folge ISBN 3 540 04806 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Operatoralgebra amp oldid 194700731