Adjunktion Einselement Die Adjunktion eines Einselementes wird in der Mathematik angewendet wenn man einen Ring ohne Ein

Adjunktion (Einselement)

Die Adjunktion eines Einselementes wird in der Mathematik angewendet, wenn man einen Ring ohne Einselement in einen Ring mit Einselement einbetten will, zum Beispiel um einen Satz anwenden zu können, der nur für Ringe mit Einselement gilt.

Ringe Bearbeiten

Sei ein beliebiger Ring. Dann definiere man auf dem kartesischen Produkt die Operationen

wobei . Man beachte, dass man Produkte wie mittels der naheliegenden -Modul-Struktur bilden kann. Einfache Rechnungen zeigen, dass mit diesen Operationen ein Ring mit dem Einselement ist. Identifiziert man mit so kann man ein Element als schreiben und als Unterring von auffassen. Obige Definitionen schreiben sich dann in der folgenden erwarteten Form:

Damit kann jeder Ring in einen Ring mit Einselement eingebettet werden. Wenn bereits ein Einselement hatte, so erhält man in ein neues Einselement, das ursprüngliche Einselement von ist kein Einselement mehr in und die Charakteristik von ist 0, auch wenn positive Charakteristik hatte.

Bei obiger Konstruktion ist ein zweiseitiges Ideal in und es gilt . Da nullteilerfrei ist, ist sogar ein Primideal in .

Algebren Bearbeiten

Wenn nicht nur ein Ring, sondern sogar eine Algebra über einem Körper ist, so kann man obige Konstruktion so anpassen, dass der entstehende Ring wieder eine -Algebra ist. Dazu hat man lediglich durch zu ersetzen, das heißt man bildet dann . Die -Algebren-Struktur ist durch die Formel

gegeben. Wenn im Kontext von Algebren von der Adjunktion eines Einselementes die Rede ist, so ist in der Regel diese Konstruktion gemeint. Wieder ist ein zweiseitiges Ideal in und es gilt . Da ein Körper ist, ist sogar ein maximales Ideal in .

Normierte Algebren Bearbeiten

Ist eine normierte Algebra oder sogar eine Banachalgebra über , wobei für oder stehe, so kann man auch zu einer normierten -Algebra machen, in dem man

setzt. Das macht sicher zu einem normierten Raum, und die multiplikative Dreiecksungleichung von überträgt sich auf , denn

= := = = .

Ist eine Banachalgebra, das heißt als normierter Raum vollständig, so ist auch eine Banachalgebra.

Ist eine -Banachalgebra mit Involution , so kann man die Involution durch die Formel

auf erweitern. Ist die Involution auf isometrisch, so gilt dasselbe auch für .

C*-Algebren Bearbeiten

Ist eine C*-Algebra ohne Einselement, so liefert obige Konstruktion keine C*-Algebra . Man kann aber eine andere Norm auf wählen, die ebenfalls zu einer C*-Algebra macht. Dazu setzt man

Dies ist gerade die Operatornorm der Linksmultiplikation .

Quellen Bearbeiten

Jacques Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations (Les grands classiques Gauthier-Villars). Éditions Gabay, Paris 1996, ISBN 2-87647-013-6 (unveränderter Nachdr. d. Ausg. Paris 1969)
Louis H. Rowen: Ring Theory, Bd. 1 (Pure and applied mathematics; Bd. 127). Academic Press, Boston, Mass. 1988, ISBN 0-12-599841-4.

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Veröffentlichungsdatum: November 03, 2023, 14:29 pm

Die Adjunktion eines Einselementes wird in der Mathematik angewendet wenn man einen Ring ohne Einselement in einen Ring mit Einselement einbetten will zum Beispiel um einen Satz anwenden zu konnen der nur fur Ringe mit Einselement gilt Inhaltsverzeichnis 1 Ringe 2 Algebren 3 Normierte Algebren 4 C Algebren 5 QuellenRinge BearbeitenSei A displaystyle A nbsp ein beliebiger Ring Dann definiere man auf dem kartesischen Produkt A Z displaystyle A times mathbb Z nbsp die Operationen a l b m a b l m displaystyle a lambda b mu a b lambda mu nbsp a l b m a b l b m a l m displaystyle a lambda cdot b mu ab lambda b mu a lambda mu nbsp wobei a b A l m Z displaystyle a b in A lambda mu in mathbb Z nbsp Man beachte dass man Produkte wie l b displaystyle lambda b nbsp mittels der naheliegenden Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul Struktur bilden kann Einfache Rechnungen zeigen dass A 1 A Z displaystyle A 1 A times mathbb Z nbsp mit diesen Operationen ein Ring mit dem Einselement e 0 1 displaystyle e 0 1 nbsp ist Identifiziert man A displaystyle A nbsp mit A 0 A Z displaystyle A times 0 subset A times mathbb Z nbsp so kann man ein Element a l displaystyle a lambda nbsp als a l e displaystyle a lambda e nbsp schreiben und A displaystyle A nbsp als Unterring von A 1 displaystyle A 1 nbsp auffassen Obige Definitionen schreiben sich dann in der folgenden erwarteten Form a l e b m e a b l m e displaystyle a lambda e b mu e a b lambda mu e nbsp a l e b m e a b l b m a l m e displaystyle a lambda e cdot b mu e ab lambda b mu a lambda mu e nbsp Damit kann jeder Ring in einen Ring mit Einselement eingebettet werden Wenn A displaystyle A nbsp bereits ein Einselement hatte so erhalt man in A 1 displaystyle A 1 nbsp ein neues Einselement das ursprungliche Einselement von A displaystyle A nbsp ist kein Einselement mehr in A 1 displaystyle A 1 nbsp und die Charakteristik von A 1 displaystyle A 1 nbsp ist 0 auch wenn A displaystyle A nbsp positive Charakteristik hatte Bei obiger Konstruktion ist A displaystyle A nbsp ein zweiseitiges Ideal in A 1 displaystyle A 1 nbsp und es gilt A 1 A Z displaystyle A 1 A cong mathbb Z nbsp Da Z displaystyle mathbb Z nbsp nullteilerfrei ist ist A displaystyle A nbsp sogar ein Primideal in A 1 displaystyle A 1 nbsp Algebren BearbeitenWenn A displaystyle A nbsp nicht nur ein Ring sondern sogar eine Algebra uber einem Korper K displaystyle K nbsp ist so kann man obige Konstruktion so anpassen dass der entstehende Ring wieder eine K displaystyle K nbsp Algebra ist Dazu hat man lediglich Z displaystyle mathbb Z nbsp durch K displaystyle K nbsp zu ersetzen das heisst man bildet dann A 1 A K displaystyle A 1 A oplus K nbsp Die K displaystyle K nbsp Algebren Struktur ist durch die Formel m a l e m a m l e displaystyle mu cdot a lambda e mu a mu lambda e nbsp gegeben Wenn im Kontext von Algebren von der Adjunktion eines Einselementes die Rede ist so ist in der Regel diese Konstruktion gemeint Wieder ist A displaystyle A nbsp ein zweiseitiges Ideal in A 1 displaystyle A 1 nbsp und es gilt A 1 A K displaystyle A 1 A cong K nbsp Da K displaystyle K nbsp ein Korper ist ist A displaystyle A nbsp sogar ein maximales Ideal in A 1 displaystyle A 1 nbsp Normierte Algebren BearbeitenIst A displaystyle A cdot nbsp eine normierte Algebra oder sogar eine Banachalgebra uber K displaystyle mathbb K nbsp wobei K displaystyle mathbb K nbsp fur R displaystyle mathbb R nbsp oder C displaystyle mathbb C nbsp stehe so kann man auch A 1 displaystyle A 1 nbsp zu einer normierten K displaystyle mathbb K nbsp Algebra machen in dem man a l e a l displaystyle a lambda e a lambda nbsp setzt Das macht A 1 displaystyle A 1 nbsp sicher zu einem normierten Raum und die multiplikative Dreiecksungleichung von A displaystyle A cdot nbsp ubertragt sich auf A 1 displaystyle A 1 cdot nbsp denn a l e b m e displaystyle a lambda e cdot b mu e nbsp a b l b m a l m e displaystyle ab lambda b mu a lambda mu e nbsp a b l b m a l m a b l b m a l m displaystyle ab lambda b mu a lambda mu leq a b lambda b mu a lambda mu nbsp a l b m displaystyle a lambda b mu nbsp a l e b m e displaystyle a lambda e cdot b mu e nbsp Ist A displaystyle A nbsp eine Banachalgebra das heisst als normierter Raum vollstandig so ist auch A 1 displaystyle A 1 nbsp eine Banachalgebra Ist A displaystyle A nbsp eine C displaystyle mathbb C nbsp Banachalgebra mit Involution a a displaystyle a mapsto a nbsp so kann man die Involution durch die Formel a l e a l e displaystyle a lambda e a overline lambda e nbsp auf A 1 displaystyle A 1 nbsp erweitern Ist die Involution auf A displaystyle A nbsp isometrisch so gilt dasselbe auch fur A 1 displaystyle A 1 nbsp C Algebren BearbeitenIst A displaystyle A nbsp eine C Algebra ohne Einselement so liefert obige Konstruktion keine C Algebra A 1 displaystyle A 1 nbsp Man kann aber eine andere Norm auf A 1 displaystyle A 1 nbsp wahlen die A 1 displaystyle A 1 nbsp ebenfalls zu einer C Algebra macht Dazu setzt man a l e sup a b l b b A b 1 displaystyle a lambda e sup ab lambda b b in A b leq 1 nbsp Dies ist gerade die Operatornorm der Linksmultiplikation L a l e A A b a l e b a b l b displaystyle L a lambda e A rightarrow A b mapsto a lambda e b ab lambda b nbsp Quellen BearbeitenJacques Dixmier Les C algebres et leurs representations Les grands classiques Gauthier Villars Editions Gabay Paris 1996 ISBN 2 87647 013 6 unveranderter Nachdr d Ausg Paris 1969 Louis H Rowen Ring Theory Bd 1 Pure and applied mathematics Bd 127 Academic Press Boston Mass 1988 ISBN 0 12 599841 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Adjunktion Einselement amp oldid 173828026