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Charakteristik Algebra Die Charakteristik ist in der Algebra eine Kennzahl eines Ringes oder Körpers Sie gibt die kleins

Charakteristik (Algebra)

Die Charakteristik ist in der Algebra eine Kennzahl eines Ringes oder Körpers. Sie gibt die kleinste Anzahl der benötigten Schritte an, in denen man das multiplikative neutrale Element (1) eines Körpers oder Rings addieren muss, um das additive neutrale Element (0) zu erhalten. Ist dies nicht möglich, so ist die Charakteristik 0. Davon zu unterscheiden ist der mathematische Begriff Charakter.

Definition Bearbeiten

Die Charakteristik eines unitären Ringes ist die kleinste natürliche Zahl , für die in der Arithmetik des Ringes die -fache Summe des Einselementes gleich dem Nullelement wird, also

falls eine solche Zahl existiert. Anderenfalls, also wenn jede endliche Summe von Einsen ungleich null ist, wird die Charakteristik des Ringes als definiert.

Eine übliche Abkürzung der Charakteristik von ist .

Alternative Definitionsmöglichkeiten, die keine Sonderbehandlung für das Ergebnis benötigen, sind:

  • Die Charakteristik des unitären Rings ist der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kerns des kanonischen unitären Ringhomomorphismus
  • Die Charakteristik des unitären Rings ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl , für die einen unitären Teilring enthält, der isomorph zum Restklassenring ist. (Beachte, dass ist.)

Bemerkung Bearbeiten

Obige Definitionen erklären insbesondere auch die Charakteristik von Körpern, denn jeder Körper ist ein unitärer Ring.

Eigenschaften Bearbeiten

Bei Ringen Bearbeiten

Jeder unitäre Teilring eines unitären Rings hat dieselbe Charakteristik wie .

Gibt es einen Ringhomomorphismus zwischen zwei unitären Ringen und , so ist die Charakteristik von ein Teiler der Charakteristik von .

Für jeden Integritätsring (und insbesondere jeden Körper) ist die Charakteristik entweder 0 oder eine Primzahl (zum Beweis siehe Artikel Integritätsring). Im letzteren Fall spricht man auch von positiver Charakteristik.

Ist ein kommutativer unitärer Ring mit Primzahlcharakteristik , dann gilt für alle . Die Abbildung ist dann ein Ringhomomorphismus und wird Frobeniushomomorphismus genannt.

Ein kommutativer Ring mit der Charakteristik 0 wird ein Ring gemischter Charakteristik genannt, wenn es ein Ideal des Rings gibt, so dass positive Charakteristik hat. Ein Beispiel ist der Ring der ganzen Zahlen mit Charakteristik Null, bei dem für jede Primzahl ein endlicher Körper mit Charakteristik ist.

Beispiel Bearbeiten

Der Restklassenring hat die Charakteristik .

Bei Körpern Bearbeiten

Jeder geordnete Körper hat die Charakteristik 0; Beispiele sind die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen. Jeder Körper der Charakteristik 0 ist unendlich; er enthält nämlich einen Primkörper, der isomorph zum Körper der rationalen Zahlen ist.

Beispiele Bearbeiten

  • Da der Körper der komplexen Zahlen die rationalen Zahlen enthält, ist auch seine Charakteristik 0.
  • Die Mächtigkeit eines endlichen Körpers der Charakteristik ist eine Potenz von . Denn er enthält den Teilkörper und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über diesem Teilkörper. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die Ordnung des Vektorraums dann eine Potenz von ist.

Literatur Bearbeiten

  • Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, Abschnitt 3.1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Mixed Characteristic, ncatlab
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Die Charakteristik ist in der Algebra eine Kennzahl eines Ringes oder Korpers Sie gibt die kleinste Anzahl der benotigten Schritte an in denen man das multiplikative neutrale Element 1 eines Korpers oder Rings addieren muss um das additive neutrale Element 0 zu erhalten Ist dies nicht moglich so ist die Charakteristik 0 Davon zu unterscheiden ist der mathematische Begriff Charakter Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Bemerkung 2 Eigenschaften 2 1 Bei Ringen 2 1 1 Beispiel 2 2 Bei Korpern 2 2 1 Beispiele 3 Literatur 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Charakteristik eines unitaren Ringes R displaystyle R nbsp ist die kleinste naturliche Zahl n 1 displaystyle n geq 1 nbsp fur die in der Arithmetik des Ringes die n displaystyle n nbsp fache Summe des Einselementes 1 displaystyle 1 nbsp gleich dem Nullelement wird also 1 1 1 n mal 0 displaystyle underbrace 1 1 dotsb 1 n text mal 0 nbsp falls eine solche Zahl existiert Anderenfalls also wenn jede endliche Summe von Einsen ungleich null ist wird die Charakteristik des Ringes als 0 displaystyle 0 nbsp definiert Eine ubliche Abkurzung der Charakteristik von R displaystyle R nbsp ist char R displaystyle operatorname char R nbsp Alternative Definitionsmoglichkeiten die keine Sonderbehandlung fur das Ergebnis 0 displaystyle 0 nbsp benotigen sind Die Charakteristik des unitaren Rings R displaystyle R nbsp ist der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kerns des kanonischen unitaren Ringhomomorphismusx Z R x n n 1 R displaystyle chi colon mathbb Z to R colon chi n n cdot 1 R nbsp dd Die Charakteristik des unitaren Rings R displaystyle R nbsp ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl n displaystyle n nbsp fur die R displaystyle R nbsp einen unitaren Teilring enthalt der isomorph zum Restklassenring Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z nbsp ist Beachte dass Z 0 Z Z displaystyle mathbb Z 0 mathbb Z mathbb Z nbsp ist Bemerkung Bearbeiten Obige Definitionen erklaren insbesondere auch die Charakteristik von Korpern denn jeder Korper ist ein unitarer Ring Eigenschaften BearbeitenBei Ringen Bearbeiten Jeder unitare Teilring S displaystyle S nbsp eines unitaren Rings R displaystyle R nbsp hat dieselbe Charakteristik wie R displaystyle R nbsp Gibt es einen Ringhomomorphismus R S displaystyle R to S nbsp zwischen zwei unitaren Ringen R displaystyle R nbsp und S displaystyle S nbsp so ist die Charakteristik von S displaystyle S nbsp ein Teiler der Charakteristik von R displaystyle R nbsp Fur jeden Integritatsring und insbesondere jeden Korper ist die Charakteristik entweder 0 oder eine Primzahl zum Beweis siehe Artikel Integritatsring Im letzteren Fall spricht man auch von positiver Charakteristik Ist R displaystyle R nbsp ein kommutativer unitarer Ring mit Primzahlcharakteristik p displaystyle p nbsp dann gilt x y p x p y p displaystyle x y p x p y p nbsp fur alle x y R displaystyle x y in R nbsp Die Abbildung f R R x x p displaystyle f colon R to R x mapsto x p nbsp ist dann ein Ringhomomorphismus und wird Frobeniushomomorphismus genannt Ein kommutativer Ring mit der Charakteristik 0 wird ein Ring gemischter Charakteristik genannt wenn es ein Ideal I displaystyle I nbsp des Rings gibt so dass R I displaystyle R I nbsp positive Charakteristik hat 1 Ein Beispiel ist der Ring der ganzen Zahlen Z displaystyle mathbb Z nbsp mit Charakteristik Null bei dem F p Z p Z displaystyle mathbb F p mathbb Z p mathbb Z nbsp fur jede Primzahl p displaystyle p nbsp ein endlicher Korper mit Charakteristik p displaystyle p nbsp ist Beispiel Bearbeiten Der Restklassenring Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z nbsp hat die Charakteristik n displaystyle n nbsp Bei Korpern Bearbeiten Jeder geordnete Korper hat die Charakteristik 0 Beispiele sind die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen Jeder Korper der Charakteristik 0 ist unendlich er enthalt namlich einen Primkorper der isomorph zum Korper der rationalen Zahlen ist Beispiele Bearbeiten Da der Korper der komplexen Zahlen die rationalen Zahlen enthalt ist auch seine Charakteristik 0 Fur ein irreduzibles Polynom g displaystyle g nbsp vom Grad n displaystyle n nbsp uber dem Restklassenkorper F p displaystyle mathbb F p nbsp ist der Faktorring F p X g displaystyle mathbb F p X g nbsp ein Korper der isomorph ist zum endlichen Korper F p n displaystyle mathbb F p n nbsp der F p displaystyle mathbb F p nbsp enthalt und demnach die Charakteristik p displaystyle p nbsp hat Die Machtigkeit eines endlichen Korpers der Charakteristik p displaystyle p nbsp ist eine Potenz von p displaystyle p nbsp Denn er enthalt den Teilkorper F p displaystyle mathbb F p nbsp und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum uber diesem Teilkorper Aus der linearen Algebra ist bekannt dass die Ordnung des Vektorraums dann eine Potenz von p displaystyle p nbsp ist Es gibt unendliche Korper mit Primzahlcharakteristik Beispiele sind der Korper der rationalen Funktionen uber F p displaystyle mathbb F p nbsp oder der algebraische Abschluss von F p displaystyle mathbb F p nbsp Literatur BearbeitenSiegfried Bosch Algebra 7 Auflage Springer Verlag Berlin 2009 ISBN 978 3 540 92811 9 Abschnitt 3 1 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Einzelnachweise Bearbeiten Mixed Characteristic ncatlab Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Charakteristik Algebra amp oldid 232422802