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Frobeniushomomorphismus Der oder Frobenius Endomorphismus ist in der Algebra ein Endomorphismus von Ringen deren Charakt

Frobeniushomomorphismus

Der Frobeniushomomorphismus oder Frobenius-Endomorphismus ist in der Algebra ein Endomorphismus von Ringen, deren Charakteristik eine Primzahl ist. Der Frobeniushomomorphismus ist nach dem deutschen Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius benannt.

Frobeniusendomorphismus eines Rings Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Es sei ein kommutativer unitärer Ring mit der Charakteristik , wobei eine Primzahl ist. Als Frobeniushomomorphismus wird die Abbildung

bezeichnet. Sie ist ein Ringhomomorphismus.

Ist , dann ist auch

ein Ringhomomorphismus.

Beweis der Homomorphieeigenschaft Bearbeiten

Die Abbildung ist verträglich mit der Multiplikation in , da aufgrund der Potenzgesetze

gilt. Ebenso gilt Interessanterweise ist die Abbildung zudem mit der Addition in verträglich, das heißt, es gilt . Mit Hilfe des Binomialsatzes folgt nämlich

Da eine Primzahl ist, teilt zwar , aber nicht für . Da die Charakteristik deshalb den Zähler, aber nicht den Nenner der Binomialkoeffizienten

teilt, verschwinden die Binomialkoeffizienten in der obigen Formel. Die Addition vereinfacht sich zu

Daher ist der Frobeniushomomorphismus verträglich mit der Addition in . Diese Gleichung wird im englischsprachigen Raum als Freshman’s Dream (der Traum des Anfängers) bezeichnet.

Verwendung Bearbeiten

Im Folgenden ist stets eine Primzahl und eine Potenz von . Alle vorkommenden Ringe oder Körper haben Charakteristik .

Frobeniusautomorphismen von lokalen und globalen Körpern Bearbeiten

Die folgenden Annahmen dienen dazu, sowohl den Fall einer endlichen Galoiserweiterung algebraischer Zahlkörper als auch lokaler Körper zu beschreiben. Sei ein Dedekindring, sein Quotientenkörper, eine endliche Galoiserweiterung, der ganze Abschluss von in . Dann ist ein Dedekindring. Sei weiter ein maximales Ideal in mit endlichem Restklassenkörper , außerdem und . Die Körpererweiterung ist galoissch. Sei die Galoisgruppe von . Sie operiert transitiv auf den über liegenden Primidealen von . Sei die Zerlegungsgruppe, d. h. der Stabilisator von . Der induzierte Homomorphismus

ist surjektiv. Sein Kern ist die Trägheitsgruppe.

Es sei nun unverzweigt, d. h. . Dann ist der Homomorphismus ein Isomorphismus. Der Frobeniusautomorphismus (auch Frobeniuselement) ist das Urbild des Frobeniusautomorphismus unter . Er ist durch die folgende Eigenschaft eindeutig charakterisiert:

Weil auf den Primidealen über transitiv operiert, sind die Frobeniusautomorphismen zu ihnen konjugiert, so dass ihre Konjugationsklasse durch eindeutig festgelegt ist. Falls die Erweiterung abelsch ist, erhält man einen eindeutigen Frobeniusautomorphismus .

Frobeniusautomorphismen sind von zentraler Bedeutung für die Klassenkörpertheorie: In der idealtheoretischen Formulierung wird die Reziprozitätsabbildung von der Zuordnung induziert. Konjugationsklassen von Frobeniusautomorphismen sind der Gegenstand des tschebotarjowschen Dichtigkeitssatzes. Ferdinand Georg Frobenius hatte die Aussage des Dichtigkeitssatzes bereits 1880 vermutet, deshalb sind die Automorphismen nach ihm benannt.

Absoluter und relativer Frobenius für Schemata Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Sei eine Primzahl und ein Schema über . Der absolute Frobenius ist definiert als Identität auf dem topologischen Raum und -Potenzierung auf der Strukturgarbe. Auf einem affinen Schema ist der absolute Frobenius durch den Frobenius des zugrundeliegenden Ringes gegeben, wie man an den globalen Schnitten ablesen kann. Dass die Primideale fest bleiben, übersetzt sich in die Äquivalenz .

Sei nun ein Morphismus von Schemata über . Das Diagramm

kommutiert und induziert den relativen Frobeniusmorphismus

der ein Morphismus über ist. Ist das Spektrum eines perfekten Rings , dann ist ein Isomorphismus, also , aber dieser Isomorphismus ist im Allgemeinen kein Morphismus über .

Beispiel Bearbeiten

  • Mit ist (über ), und der relative Frobenius ist in Koordinaten gegeben durch:
  • Ist , dann ist , wobei bedeuten soll, dass die Koeffizienten in die -te Potenz erhoben werden. Der relative Frobenius wird von induziert.

Eigenschaften Bearbeiten

  • ist ganz, surjektiv und radiziell. Für lokal von endlicher Präsentation ist genau dann ein Isomorphismus, wenn étale ist.
  • Wenn flach ist, besitzt die folgende lokale Beschreibung: Sei eine offene affine Karte von . Mit der symmetrischen Gruppe und setze . Die Multiplikation definiert einen Ringhomomorphismus , und durch Verkleben von erhält man das Schema .

Satz von Lang Bearbeiten

Ein Satz von Serge Lang besagt: Sei ein algebraisches oder affines zusammenhängendes Gruppenschema über einem endlichen Körper . Dann ist der Morphismus

treuflach. Ist algebraisch und kommutativ, ist also eine Isogenie mit Kern , die Lang-Isogenie. Ein Korollar ist, dass jeder -Torsor trivial ist.

Beispiele:

  • Für erhält man den Artin-Schreier-Morphismus.
  • Für erhält man die Aussage, dass jede zentrale einfache Algebra vom Rang über einem endlichen Körper eine Matrizenalgebra ist, für alle zusammengenommen also den Satz von Wedderburn.

Frobenius und Verschiebung für kommutative Gruppen Bearbeiten

Sei ein Schema und ein flaches kommutatives Gruppenschema. Die obige Konstruktion realisiert als Unterschema des symmetrischen Produkts (falls dieses existiert, andernfalls muss man mit einem kleineren Unterschema von arbeiten), und durch Verkettung mit der Gruppenmultiplikation erhält man einen kanonischen Morphismus , die Verschiebung. Der Name kommt daher, dass die Verschiebung bei Wittvektoren die Abbildung

ist.

Es gilt:

  • Ist ein endliches flaches kommutatives Gruppenschema, dann vertauscht die Cartier-Dualität Frobenius und Verschiebung:

Eine endliche kommutative Gruppe über einem Körper ist genau dann

  • vom multiplikativen Typ, wenn ein Isomorphismus ist.
  • étale, wenn ein Isomorphismus ist.
  • infinitesimal, wenn für groß.
  • unipotent, wenn für groß.

Die Charakterisierung von Gruppen durch Eigenschaften von und ist der Ausgangspunkt der Dieudonné-Theorie.

Beispiele:

  • Für konstante Gruppen ist und .
  • Für diagonalisierbare Gruppen ist und .
  • Für ist der gewöhnliche Frobeniushomomorphismus für Ringe . (Da der Frobeniusmorphismus ohne Rückgriff auf die Gruppenstruktur definiert ist, ist die Inklusion mit ihm kompatibel.) Die Verschiebung ist trivial: .
  • Ist eine abelsche Varietät über einem Körper der Charakteristik (allgemeiner ein abelsches Schema), dann ist die folgende Sequenz exakt, wenn jeweils für den Kern des entsprechenden Morphismus steht:

Arithmetischer und geometrischer Frobenius Bearbeiten

Sei ein Schema über , weiter ein algebraischer Abschluss von und . Der Frobeniusautomorphismus wird in diesem Kontext arithmetischer Frobenius genannt, der inverse Automorphismus geometrischer Frobenius. Weil über definiert ist, ist , und der relative Frobenius ist . Es gilt (auch nach der definierenden Gleichung des relativen Frobenius)

Ist eine konstante Garbe auf , induziert die Identität auf der Kohomologie von , so dass nach der obigen Gleichung der relative Frobenius mit seiner aus der Geometrie kommenden Komponente und der geometrische Frobenius dieselbe Wirkung haben.

Literatur Bearbeiten

  • Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Band 211). 3. Auflage. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X.
  • Michel Demazure, Pierre Gabriel: Groupes algébriques. Tome 1. North-Holland, Amsterdam 1970, ISBN 978-0-7204-2034-0.
  • Pierre Gabriel: Exposé VIIA. Étude infinitesimale des schémas en groupes. In: Michel Demazure, Alexander Grothendieck (Hrsg.): Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1962–1964 (SGA 3): Schémas en groupes. Tome 1: Propriétés générales des schémas en groupes. Springer, Berlin 1970, ISBN 978-3-540-05180-0.
  • Christian Houzel: Exposé XV. Morphisme de Frobenius et rationalité des fonctions L. In: Luc Illusie (Hrsg.): Séminaire de Géometrie Algébrique du Bois-Marie 1965-66 (SGA 5): Cohomologie l-adique et Fonctions L (= Lecture Notes in Mathematics). Band 589. Springer, Berlin 1977, ISBN 3-540-08248-4.

Fußnoten Bearbeiten

  1. V §1 Definition 2 in: Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics. Algebra II. Chapters 4-7. Springer, Berlin 2003, ISBN 978-3-540-00706-7.
  2. Lang, VII §2
  3. Peter Stevenhagen, Hendrik Lenstra: Chebotarëv and his density theorem. In: Mathematical Intelligencer. Band 18, Nr. 2, 1996, S. 26–37. Die Originalarbeit ist: Georg Ferdinand Frobenius: Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe. In: Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1896, S. 689–703.
  4. Houzel, §1 Proposition 2
  5. Gabriel, 4.2
  6. Demazure-Gabriel, III §5, 7.2. Die Originalarbeit ist: Serge Lang: Algebraic Groups Over Finite Fields. In: Amer. J. Math. Band 78, Nr. 3, 1956, S. 555–563.
  7. Demazure-Gabriel, II §7
  8. Proposition 2.3 in: Tadao Oda: The first de Rham cohomology group and Dieudonné modules. In: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 2, Nr. 1, 1969, S. 63–135 (online).
  9. Houzel, §2 Proposition 2
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Veröffentlichungsdatum:
Der Frobeniushomomorphismus oder Frobenius Endomorphismus ist in der Algebra ein Endomorphismus von Ringen deren Charakteristik eine Primzahl ist Der Frobeniushomomorphismus ist nach dem deutschen Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius benannt Inhaltsverzeichnis 1 Frobeniusendomorphismus eines Rings 1 1 Definition 1 2 Beweis der Homomorphieeigenschaft 1 3 Verwendung 2 Frobeniusautomorphismen von lokalen und globalen Korpern 3 Absoluter und relativer Frobenius fur Schemata 3 1 Definition 3 2 Beispiel 3 3 Eigenschaften 3 4 Satz von Lang 3 5 Frobenius und Verschiebung fur kommutative Gruppen 4 Arithmetischer und geometrischer Frobenius 5 Literatur 6 FussnotenFrobeniusendomorphismus eines Rings BearbeitenDefinition Bearbeiten Es sei R displaystyle R nbsp ein kommutativer unitarer Ring mit der Charakteristik p displaystyle p nbsp wobei p displaystyle p nbsp eine Primzahl ist Als Frobeniushomomorphismus wird die Abbildung ϕ p R R x x p displaystyle phi p colon R to R x mapsto x p nbsp bezeichnet Sie ist ein Ringhomomorphismus Ist q p e displaystyle q p e nbsp dann ist auch ϕ q ϕ p e R R x x q displaystyle phi q phi p e colon R to R x mapsto x q nbsp ein Ringhomomorphismus Beweis der Homomorphieeigenschaft Bearbeiten Die Abbildung ϕ p displaystyle phi p nbsp ist vertraglich mit der Multiplikation in R displaystyle R nbsp da aufgrund der Potenzgesetze ϕ p x y x y p x p y p ϕ p x ϕ p y displaystyle phi p x cdot y x cdot y p x p cdot y p phi p x cdot phi p y nbsp gilt Ebenso gilt ϕ p 1 1 p 1 displaystyle phi p 1 1 p 1 nbsp Interessanterweise ist die Abbildung zudem mit der Addition in R displaystyle R nbsp vertraglich das heisst es gilt ϕ p x y ϕ p x ϕ p y displaystyle phi p x y phi p x phi p y nbsp Mit Hilfe des Binomialsatzes folgt namlich x y p x p k 1 p 1 p k x p k y k y p displaystyle x y p x p left sum k 1 p 1 binom p k x p k y k right y p nbsp Da p displaystyle p nbsp eine Primzahl ist teilt p displaystyle p nbsp zwar p displaystyle p nbsp aber nicht m displaystyle m nbsp fur m lt p displaystyle m lt p nbsp Da die Charakteristik p displaystyle p nbsp deshalb den Zahler aber nicht den Nenner der Binomialkoeffizienten p k p k p k displaystyle binom p k frac p k p k nbsp teilt verschwinden die Binomialkoeffizienten in der obigen Formel Die Addition vereinfacht sich zu x y p x p y p displaystyle x y p x p y p nbsp Daher ist der Frobeniushomomorphismus vertraglich mit der Addition in R displaystyle R nbsp Diese Gleichung wird im englischsprachigen Raum als Freshman s Dream der Traum des Anfangers bezeichnet Verwendung Bearbeiten Im Folgenden ist p displaystyle p nbsp stets eine Primzahl und q displaystyle q nbsp eine Potenz von p displaystyle p nbsp Alle vorkommenden Ringe oder Korper haben Charakteristik p displaystyle p nbsp Nach dem Kleinen Satz von Fermat ist ϕ p displaystyle phi p nbsp auf dem Restklassenring Z p Z F p displaystyle mathbb Z p mathbb Z mathbb F p nbsp die Identitat Allgemeiner Ist F q displaystyle mathbb F q nbsp ein endlicher Korper dann ist ϕ q displaystyle phi q nbsp die Identitat Ist K displaystyle K nbsp ein Korper dann ist x K ϕ p x x F p displaystyle x in K phi p x x mathbb F p nbsp Ist F q n F q displaystyle mathbb F q n mathbb F q nbsp eine Erweiterung endlicher Korper dann ist ϕ q displaystyle phi q nbsp ein Automorphismus von F q n displaystyle mathbb F q n nbsp der F q displaystyle mathbb F q nbsp elementweise fest lasst Die Galoisgruppe Gal F q n F q displaystyle text Gal mathbb F q n mathbb F q nbsp ist zyklisch und wird von ϕ q displaystyle phi q nbsp erzeugt Ist A displaystyle A nbsp ein Ring dann ist ϕ p A A displaystyle phi p colon A to A nbsp genau dann injektiv wenn A displaystyle A nbsp keine nichttrivialen nilpotenten Elemente enthalt Der Kern von ϕ p displaystyle phi p nbsp ist a A a p 0 displaystyle a in A a p 0 nbsp Ist A displaystyle A nbsp ein Ring und ist ϕ p A A displaystyle phi p colon A to A nbsp bijektiv dann heisst der Ring perfekt oder vollkommen 1 In einem perfekten Ring besitzt jedes Element eine eindeutig bestimmte p displaystyle p nbsp te Wurzel Perfekte Korper zeichnen sich dadurch aus dass sie keine inseparablen Erweiterungen besitzen Der perfekte Abschluss eines Rings A displaystyle A nbsp lasst sich als induktiver Limes darstellen A p lim A ϕ p A ϕ p A ϕ p displaystyle A p infty varinjlim left A stackrel phi p longrightarrow A stackrel phi p longrightarrow A stackrel phi p longrightarrow dots right nbsp dd Die Additivitat der Abbildung x x p displaystyle x mapsto x p nbsp wird auch in der Artin Schreier Theorie ausgenutzt Frobeniusautomorphismen von lokalen und globalen Korpern BearbeitenDie folgenden Annahmen dienen dazu sowohl den Fall einer endlichen Galoiserweiterung algebraischer Zahlkorper als auch lokaler Korper zu beschreiben Sei A displaystyle A nbsp ein Dedekindring K displaystyle K nbsp sein Quotientenkorper L K displaystyle L K nbsp eine endliche Galoiserweiterung B displaystyle B nbsp der ganze Abschluss von A displaystyle A nbsp in L displaystyle L nbsp Dann ist B displaystyle B nbsp ein Dedekindring Sei weiter P displaystyle mathfrak P nbsp ein maximales Ideal in B displaystyle B nbsp mit endlichem Restklassenkorper l B P displaystyle lambda B mathfrak P nbsp ausserdem p P A displaystyle mathfrak p mathfrak P cap A nbsp und k A p displaystyle kappa A mathfrak p nbsp Die Korpererweiterung l k displaystyle lambda kappa nbsp ist galoissch Sei G displaystyle G nbsp die Galoisgruppe von L K displaystyle L K nbsp Sie operiert transitiv auf den uber p displaystyle mathfrak p nbsp liegenden Primidealen von B displaystyle B nbsp Sei G P displaystyle G mathfrak P nbsp die Zerlegungsgruppe d h der Stabilisator von P displaystyle mathfrak P nbsp Der induzierte Homomorphismus r G P Gal l k displaystyle r G mathfrak P to text Gal lambda kappa nbsp ist surjektiv 2 Sein Kern ist die Tragheitsgruppe Es sei nun P displaystyle mathfrak P nbsp unverzweigt d h p B P P displaystyle mathfrak p B mathfrak P mathfrak P nbsp Dann ist der Homomorphismus r displaystyle r nbsp ein Isomorphismus Der Frobeniusautomorphismus Frob P Gal L K displaystyle text Frob mathfrak P in text Gal L K nbsp auch Frobeniuselement ist das Urbild des Frobeniusautomorphismus ϕ k Gal l k displaystyle phi kappa in text Gal lambda kappa nbsp unter r displaystyle r nbsp Er ist durch die folgende Eigenschaft eindeutig charakterisiert Frob P b b k mod P displaystyle text Frob mathfrak P b equiv b kappa mod mathfrak P nbsp Weil G displaystyle G nbsp auf den Primidealen uber p displaystyle mathfrak p nbsp transitiv operiert sind die Frobeniusautomorphismen zu ihnen konjugiert so dass ihre Konjugationsklasse durch p displaystyle mathfrak p nbsp eindeutig festgelegt ist Falls die Erweiterung L K displaystyle L K nbsp abelsch ist erhalt man einen eindeutigen Frobeniusautomorphismus Frob p Gal L K displaystyle text Frob mathfrak p in text Gal L K nbsp Frobeniusautomorphismen sind von zentraler Bedeutung fur die Klassenkorpertheorie In der idealtheoretischen Formulierung wird die Reziprozitatsabbildung von der Zuordnung p Frob p displaystyle mathfrak p mapsto text Frob mathfrak p nbsp induziert Konjugationsklassen von Frobeniusautomorphismen sind der Gegenstand des tschebotarjowschen Dichtigkeitssatzes Ferdinand Georg Frobenius hatte die Aussage des Dichtigkeitssatzes bereits 1880 vermutet deshalb sind die Automorphismen nach ihm benannt 3 Absoluter und relativer Frobenius fur Schemata BearbeitenDefinition Bearbeiten Sei p displaystyle p nbsp eine Primzahl und X displaystyle X nbsp ein Schema uber F p displaystyle mathbb F p nbsp Der absolute Frobenius ϕ X X X displaystyle phi X colon X to X nbsp ist definiert als Identitat auf dem topologischen Raum und p displaystyle p nbsp Potenzierung auf der Strukturgarbe Auf einem affinen Schema Spec A displaystyle text Spec A nbsp ist der absolute Frobenius durch den Frobenius des zugrundeliegenden Ringes gegeben wie man an den globalen Schnitten ablesen kann Dass die Primideale fest bleiben ubersetzt sich in die Aquivalenz a p a p p displaystyle a in mathfrak p iff a p in mathfrak p nbsp Sei nun X S displaystyle X to S nbsp ein Morphismus von Schemata uber F p displaystyle mathbb F p nbsp Das Diagramm X ϕ X X S ϕ S S displaystyle begin matrix X amp stackrel phi X longrightarrow amp X downarrow amp amp downarrow S amp stackrel phi S longrightarrow amp S end matrix nbsp kommutiert und induziert den relativen Frobeniusmorphismus F X S X X p S S ϕ S S X displaystyle F X S colon X to X p S S times phi S S X nbsp der ein Morphismus uber S displaystyle S nbsp ist Ist S Spec A displaystyle S text Spec A nbsp das Spektrum eines perfekten Rings A displaystyle A nbsp dann ist ϕ S displaystyle phi S nbsp ein Isomorphismus also X p S X displaystyle X p S cong X nbsp aber dieser Isomorphismus ist im Allgemeinen kein Morphismus uber S displaystyle S nbsp Beispiel Bearbeiten Mit X S T 1 T n displaystyle X S T 1 dots T n nbsp ist X p S T 1 T n displaystyle X p cong S T 1 dots T n nbsp uber S displaystyle S nbsp und der relative Frobenius ist in Koordinaten gegeben durch T i T i p displaystyle T i mapsto T i p nbsp dd Ist B A T 1 T n f 1 f m displaystyle B A T 1 dots T n f 1 dots f m nbsp dann ist Spec B p Spec A A T 1 p T n p f 1 f m displaystyle text Spec B p text Spec A A T 1 p dots T n p tilde f 1 dots tilde f m nbsp wobei f displaystyle tilde f nbsp bedeuten soll dass die Koeffizienten in die p displaystyle p nbsp te Potenz erhoben werden Der relative Frobenius Spec B p Spec A B displaystyle text Spec B p text Spec A to B nbsp wird von T i T i p displaystyle T i mapsto T i p nbsp induziert Eigenschaften Bearbeiten F X S displaystyle F X S nbsp ist ganz surjektiv und radiziell Fur X S displaystyle X S nbsp lokal von endlicher Prasentation ist F X S displaystyle F X S nbsp genau dann ein Isomorphismus wenn X S displaystyle X S nbsp etale ist 4 Wenn X S displaystyle X S nbsp flach ist besitzt X p S displaystyle X p S nbsp die folgende lokale Beschreibung Sei Spec A displaystyle text Spec A nbsp eine offene affine Karte von X displaystyle X nbsp Mit der symmetrischen Gruppe S p displaystyle S p nbsp und N s S p s displaystyle textstyle N sum sigma in S p sigma nbsp setze A p A p S p N A p displaystyle A p A otimes p S p N cdot A otimes p nbsp Die Multiplikation definiert einen Ringhomomorphismus A p A displaystyle A p to A nbsp und durch Verkleben von Spec A p displaystyle text Spec A p nbsp erhalt man das Schema X p displaystyle X p nbsp 5 Satz von Lang Bearbeiten Ein Satz von Serge Lang besagt Sei G displaystyle G nbsp ein algebraisches oder affines zusammenhangendes Gruppenschema uber einem endlichen Korper F q displaystyle mathbb F q nbsp Dann ist der Morphismus L x x 1 F q x displaystyle L x mapsto x 1 cdot F q x nbsp treuflach Ist G displaystyle G nbsp algebraisch und kommutativ ist L displaystyle L nbsp also eine Isogenie mit Kern G F q displaystyle G mathbb F q nbsp die Lang Isogenie Ein Korollar ist dass jeder G displaystyle G nbsp Torsor trivial ist 6 Beispiele Fur G G a displaystyle G mathbb G a nbsp erhalt man den Artin Schreier Morphismus Fur G GL n displaystyle G text GL n nbsp erhalt man die Aussage dass jede zentrale einfache Algebra vom Rang n displaystyle n nbsp uber einem endlichen Korper eine Matrizenalgebra ist fur alle n displaystyle n nbsp zusammengenommen also den Satz von Wedderburn Frobenius und Verschiebung fur kommutative Gruppen Bearbeiten Sei S displaystyle S nbsp ein Schema und G S displaystyle G S nbsp ein flaches kommutatives Gruppenschema Die obige Konstruktion realisiert G p S displaystyle G p S nbsp als Unterschema des symmetrischen Produkts G p S p displaystyle G p S p nbsp falls dieses existiert andernfalls muss man mit einem kleineren Unterschema von G p displaystyle G p nbsp arbeiten und durch Verkettung mit der Gruppenmultiplikation erhalt man einen kanonischen Morphismus V G S G p S G displaystyle V G S colon G p S to G nbsp die Verschiebung Der Name kommt daher dass die Verschiebung bei Wittvektoren die Abbildung x 0 x 1 x 2 0 x 0 x 1 displaystyle x 0 x 1 x 2 dots mapsto 0 x 0 x 1 dots nbsp ist Es gilt 7 V G S F G S p F G S V G S p displaystyle V G S circ F G S p F G S circ V G S p nbsp Multiplikation mit p displaystyle p nbsp in der Gruppe G displaystyle G nbsp bzw G p displaystyle G p nbsp Lie G S Lie ker F G S S displaystyle text Lie G S text Lie ker F G S S nbsp Ist G S displaystyle G S nbsp ein endliches flaches kommutatives Gruppenschema dann vertauscht die Cartier Dualitat Frobenius und Verschiebung F D G S D V G S V D G S D F G S displaystyle F D G S D V G S V D G S D F G S nbsp dd Eine endliche kommutative Gruppe G displaystyle G nbsp uber einem Korper ist genau dann vom multiplikativen Typ wenn V displaystyle V nbsp ein Isomorphismus ist etale wenn F displaystyle F nbsp ein Isomorphismus ist infinitesimal wenn F n 0 G G p n G p p displaystyle F n 0 colon G to G p n G p dots p nbsp fur n displaystyle n nbsp gross unipotent wenn V n 0 G p n G displaystyle V n 0 colon G p n to G nbsp fur n displaystyle n nbsp gross Die Charakterisierung von Gruppen durch Eigenschaften von F displaystyle F nbsp und V displaystyle V nbsp ist der Ausgangspunkt der Dieudonne Theorie Beispiele Fur konstante Gruppen ist F id displaystyle F text id nbsp und V p displaystyle V p nbsp Fur diagonalisierbare Gruppen ist F p displaystyle F p nbsp und V id displaystyle V text id nbsp Fur G G a displaystyle G mathbb G a nbsp ist F displaystyle F nbsp der gewohnliche Frobeniushomomorphismus ϕ p A A displaystyle phi p colon A to A nbsp fur Ringe A G a A displaystyle A mathbb G a A nbsp Da der Frobeniusmorphismus ohne Ruckgriff auf die Gruppenstruktur definiert ist ist die Inklusion G m A G a A displaystyle mathbb G m A subseteq mathbb G a A nbsp mit ihm kompatibel Die Verschiebung ist trivial V 0 displaystyle V 0 nbsp Ist X displaystyle X nbsp eine abelsche Varietat uber einem Korper der Charakteristik p displaystyle p nbsp allgemeiner ein abelsches Schema dann ist die folgende Sequenz exakt wenn F X displaystyle F X nbsp jeweils fur den Kern des entsprechenden Morphismus F X Y displaystyle F colon X to Y nbsp steht 8 0 F n X p n X F n V n X p n 0 displaystyle 0 to F n X to p n X stackrel F n longrightarrow V n X p n to 0 nbsp dd Arithmetischer und geometrischer Frobenius BearbeitenSei X displaystyle X nbsp ein Schema uber k F q displaystyle k mathbb F q nbsp weiter k displaystyle bar k nbsp ein algebraischer Abschluss von k displaystyle k nbsp und X X Spec k Spec k displaystyle overline X X times text Spec k text Spec bar k nbsp Der Frobeniusautomorphismus ϕ q Gal k k displaystyle phi q in text Gal bar k k nbsp wird in diesem Kontext arithmetischer Frobenius genannt der inverse Automorphismus ϕ q 1 displaystyle phi q 1 nbsp geometrischer Frobenius Weil X displaystyle overline X nbsp uber k displaystyle k nbsp definiert ist ist X q k X displaystyle overline X q bar k cong overline X nbsp und der relative Frobenius ist F X k ϕ q X id k displaystyle F overline X bar k phi q X times text id bar k nbsp Es gilt auch nach der definierenden Gleichung des relativen Frobenius ϕ q X id X ϕ q k ϕ q X id k displaystyle phi q overline X text id X times phi q bar k circ phi q X times text id bar k nbsp Ist G displaystyle G nbsp eine konstante Garbe auf X et displaystyle overline X text et nbsp induziert ϕ q X displaystyle phi q overline X nbsp die Identitat auf der Kohomologie von G displaystyle G nbsp so dass nach der obigen Gleichung der relative Frobenius ϕ q X id k displaystyle phi q X times text id bar k nbsp mit seiner aus der Geometrie kommenden Komponente ϕ q X displaystyle phi q X nbsp und der geometrische Frobenius id X ϕ q k 1 displaystyle text id X times phi q bar k 1 nbsp dieselbe Wirkung haben 9 Literatur BearbeitenSerge Lang Algebra Graduate Texts in Mathematics Band 211 3 Auflage Springer New York 2002 ISBN 0 387 95385 X Michel Demazure Pierre Gabriel Groupes algebriques Tome 1 North Holland Amsterdam 1970 ISBN 978 0 7204 2034 0 Pierre Gabriel Expose VIIA Etude infinitesimale des schemas en groupes In Michel Demazure Alexander Grothendieck Hrsg Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois Marie 1962 1964 SGA 3 Schemas en groupes Tome 1 Proprietes generales des schemas en groupes Springer Berlin 1970 ISBN 978 3 540 05180 0 Christian Houzel Expose XV Morphisme de Frobenius et rationalite des fonctions L In Luc Illusie Hrsg Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois Marie 1965 66 SGA 5 Cohomologie l adique et Fonctions L Lecture Notes in Mathematics Band 589 Springer Berlin 1977 ISBN 3 540 08248 4 Fussnoten Bearbeiten V 1 Definition 2 in Nicolas Bourbaki Elements of Mathematics Algebra II Chapters 4 7 Springer Berlin 2003 ISBN 978 3 540 00706 7 Lang VII 2 Peter Stevenhagen Hendrik Lenstra Chebotarev and his density theorem In Mathematical Intelligencer Band 18 Nr 2 1996 S 26 37 Die Originalarbeit ist Georg Ferdinand Frobenius Uber Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Korpers und den Substitutionen seiner Gruppe In Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1896 S 689 703 Houzel 1 Proposition 2 Gabriel 4 2 Demazure Gabriel III 5 7 2 Die Originalarbeit ist Serge Lang Algebraic Groups Over Finite Fields In Amer J Math Band 78 Nr 3 1956 S 555 563 Demazure Gabriel II 7 Proposition 2 3 in Tadao Oda The first de Rham cohomology group and Dieudonne modules In Annales scientifiques de l Ecole Normale Superieure Ser 4 Band 2 Nr 1 1969 S 63 135 online Houzel 2 Proposition 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Frobeniushomomorphismus amp oldid 217581283