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Verzweigung Algebra Verzweigung ist ein mathematischer Begriff der die Gebiete Algebra algebraische Geometrie algebraisc

Verzweigung (Algebra)

Verzweigung ist ein mathematischer Begriff, der die Gebiete Algebra, algebraische Geometrie, algebraische Zahlentheorie und komplexe Analysis miteinander verbindet.

Namengebendes Beispiel Bearbeiten

Es sei eine natürliche Zahl und die Funktion . Ist nun und eine (hinreichend kleine) Umgebung von , so besteht das Urbild von aus Zusammenhangskomponenten, die durch eine Rotation um , also Multiplikation mit einer -ten Einheitswurzel auseinander hervorgehen. Bewegt sich , so bewegen sich auch die Urbilder gegen 0, um dann für zu einem einzigen Urbild zu verschmelzen. 0 ist also gewissermaßen der Verzweigungspunkt für die Zweige. (Man beachte, dass die Zweige lokal bei 0 nicht getrennt sind, auch wenn man die 0 entfernt.)

Für den Übergang zu einer algebraischen Sichtweise sei nun eine holomorphe Funktion, die in einer Umgebung der 0 definiert ist. Hat bei 0 eine -fache Nullstelle, so hat die zurückgezogene Funktion

eine -fache Nullstelle. Dieses Zurückziehen lokal definierter holomorpher Funktionen entspricht einem Ringhomomorphismus

(Dabei bezeichnet den Ring der Potenzreihen, deren Konvergenzradius positiv ist.) Die Nullstellenordnung ist eine diskrete Bewertung auf den beteiligten Ringen, und es gilt wie gesagt

Diese Eigenschaft ist charakteristisch für Verzweigungspunkte.

Verzweigung im Kontext von Erweiterungen bewerteter Körper Bearbeiten

Es sei ein Körper mit einer diskreten (Exponential-)Bewertung . Weiter seien

der Bewertungsring bzw. das Bewertungsideal von , eine Uniformisierende, d. h. ein Erzeuger von , und der Restklassenkörper. Weiter sei eine endliche Erweiterung von mit diskreter Bewertung , die fortsetzt, d. h. . Schließlich seien analog zu oben.

Der Verzweigungsindex von ist definiert als

Ist er gleich 1, so heißt die Erweiterung unverzweigt. Sein Gegenstück ist der Trägheitsgrad .

Eigenschaften Bearbeiten

  • Ist die Erweiterung separabel, und durchläuft alle möglichen Fortsetzungen von , so gilt die fundamentale Gleichung
  • Ist darüber hinaus vollständig, so ist eindeutig bestimmt als
und es gilt
dabei bezeichnet man den Kern als Trägheitsgruppe. Ihr Fixkörper ist die maximale unverzweigte Teilerweiterung von , und im Fall endlicher Erweiterungen gilt
Insbesondere gilt: Ist unverzweigt, so ist
Ist die maximale unverzweigte Erweiterung (in einem separablen Abschluss von ), so gilt entsprechend
Im Fall lokaler Körper ist letztere Gruppe kanonisch isomorph zu , hat also eine besonders einfache Struktur. Da die Galoisgruppe im Frobenius-Automorphismus
einen kanonischen Erzeuger besitzt, gibt es auch in ein kanonisches Element, das ebenfalls als Frobenius-Automorphismus bezeichnet wird.

Verzweigung im Kontext von Erweiterungen von Dedekindringen Bearbeiten

Es sei ein Dedekindring mit Quotientenkörper , eine endliche separable Erweiterung von und der ganze Abschluss von in ; ist wieder ein Dedekindring.

Einer der wichtigsten Spezialfälle ist , , ein Zahlkörper und sein Ganzheitsring.

Weiter sei ein maximales Ideal von . Dann lässt sich auf eindeutige Weise als Produkt von Potenzen verschiedener Primidealen von schreiben:

Die Zahlen heißen Verzweigungsindizes, die Grade der Restklassenkörpererweiterungen Trägheitsgrade.

  • Ist und die Erweiterung der Restklassenkörper separabel, so heißt unverzweigt. (Im Fall von Zahlkörpern und Funktionenkörpern über endlichen Körpern ist die Restklassenkörperweiterung stets separabel.)
  • Ist , so heißt rein verzweigt.
  • Sind alle unverzweigt, so heißt unverzweigt. zerfällt dann in ein Produkt verschiedener Primideale.
  • Sind alle Primideale (ungleich null) von unverzweigt, so heißt die Erweiterung unverzweigt.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Ein Primideal von über einem Primideal von ist genau dann unverzweigt in dem hier definierten Sinne, wenn die Erweiterung mit den durch bzw. definierten Bewertungen unverzweigt im bewertungstheoretischen Sinne ist.
  • Es gilt die fundamentale Gleichung
  • Es gibt stets nur endlich viele verzweigte Primideale in . Ein Primideal in ist genau dann verzweigt, wenn es die Diskriminante teilt; ein Primideal in ist genau dann verzweigt, wenn es die Differente teilt.
  • Die einzige unverzweigte Erweiterung von ist selbst.
  • Ist eine Galoiserweiterung globaler Körper und unverzweigt, so gibt es analog zum lokalen Fall für jedes Primideal über einen Frobenius-Automorphismus , der die Zerlegungsgruppe von erzeugt. Er ist die Grundlage für das Artinsymbol der Klassenkörpertheorie.

Beispiel Bearbeiten

Ein verhältnismäßig einfacher Dedekindring ist der Ring der Eisensteinzahlen. Betrachtet man sie, wie üblich, als Erweiterung der ganzen Zahlen, dann ist hier genau das von der Primzahl 3 (im Ring der ganzen Zahlen) erzeugte Primideal verzweigt.

Unverzweigte Schemamorphismen Bearbeiten

Es seien und Schemata und ein Morphismus lokal endlicher Präsentation. Dann heißt unverzweigt, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

  • Für einen (und damit für jeden) Morphismus ist
surjektiv.
  • Die Fasern von über Punkten sind disjunkte Vereinigungen von Spektren endlicher separabler Körpererweiterungen von .
  • Die Diagonale ist eine offene Einbettung.
  • Ist ein affines Schema und ein abgeschlossenes Unterschema, das durch eine nilpotente Idealgarbe definiert wird, so ist die induzierte Abbildung
injektiv.

Der Morphismus heißt unverzweigt im Punkt , wenn es eine offene Umgebung von in gibt, so dass unverzweigt ist. Unverzweigtheit in einem Punkt kann auch anders charakterisiert werden (es sei ):

  • Die Diagonale ist ein lokaler Isomorphismus bei .
  • ist ein Körper, der eine endliche separable Erweiterung von ist.

Die Unverzweigtheit von im Punkt hängt nur von der Faser ab.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Unverzweigte Morphismen sind lokal quasiendlich.
  • Ist zusammenhängend und unverzweigt und separiert, so entsprechen die Schnitte von eineindeutig den Zusammenhangskomponenten von , die durch isomorph auf abgebildet werden.

Bedeutung Bearbeiten

Algebraische Geometrie Bearbeiten

Ist ein Schema über einem diskret bewerteten Körper mit Bewertungsring , so werden häufig Modelle von über betrachtet, d. h. Schemata über mit . Ist nun eine unverzweigte Erweiterung und der Bewertungsring von , so ist der Morphismus und damit auch der Morphismus étale und surjektiv, folglich übertragen sich viele Eigenschaften von auf das Modell von .

Literatur Bearbeiten

Quellen Bearbeiten

  1. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.8.5), S. 173
  2. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Theorem (II.6.2), S. 150
  3. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.6.8), S. 157
  4. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.9.9), S. 181
  5. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.9.11), S. 182
  6. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.1), S. 47
  7. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.2), S. 48
  8. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.4), S. 52
  9. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Korollar (III.2.12), S. 213
  10. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Theorem (III.2.6), S. 210
  11. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (III.2.18), S. 218
  12. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Aufgabe I.9.2, S. 61, sowie Abschnitt VI.7, S. 424ff.
  13. EGA IV, 17.4.2, 17.2.2, 17.1.1, 17.3.1
  14. EGA IV, 17.4.1
  15. EGA IV, 17.4.3
  16. EGA IV, 17.4.9
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Veröffentlichungsdatum:
Verzweigung ist ein mathematischer Begriff der die Gebiete Algebra algebraische Geometrie algebraische Zahlentheorie und komplexe Analysis miteinander verbindet Inhaltsverzeichnis 1 Namengebendes Beispiel 2 Verzweigung im Kontext von Erweiterungen bewerteter Korper 2 1 Eigenschaften 3 Verzweigung im Kontext von Erweiterungen von Dedekindringen 3 1 Eigenschaften 3 2 Beispiel 4 Unverzweigte Schemamorphismen 4 1 Eigenschaften 5 Bedeutung 5 1 Algebraische Geometrie 6 Literatur 7 QuellenNamengebendes Beispiel BearbeitenEs sei n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp eine naturliche Zahl und f C C displaystyle f colon mathbb C to mathbb C nbsp die Funktion z w z n displaystyle z mapsto w z n nbsp Ist nun w 0 displaystyle w neq 0 nbsp und U displaystyle U nbsp eine hinreichend kleine Umgebung von w displaystyle w nbsp so besteht das Urbild von U displaystyle U nbsp aus n displaystyle n nbsp Zusammenhangskomponenten die durch eine Rotation um 2 p n displaystyle 2 pi n nbsp also Multiplikation mit einer n displaystyle n nbsp ten Einheitswurzel auseinander hervorgehen Bewegt sich w 0 displaystyle w to 0 nbsp so bewegen sich auch die Urbilder gegen 0 um dann fur w 0 0 displaystyle w 0 0 nbsp zu einem einzigen Urbild 0 displaystyle 0 nbsp zu verschmelzen 0 ist also gewissermassen der Verzweigungspunkt fur die n displaystyle n nbsp Zweige Man beachte dass die Zweige lokal bei 0 nicht getrennt sind auch wenn man die 0 entfernt Fur den Ubergang zu einer algebraischen Sichtweise sei nun g w displaystyle g w nbsp eine holomorphe Funktion die in einer Umgebung der 0 definiert ist Hat g displaystyle g nbsp bei 0 eine k displaystyle k nbsp fache Nullstelle so hat die zuruckgezogene Funktion f g g f z g z n displaystyle f g g circ f quad z mapsto g z n nbsp eine n k displaystyle nk nbsp fache Nullstelle Dieses Zuruckziehen lokal definierter holomorpher Funktionen entspricht einem Ringhomomorphismus f C w C z w z n displaystyle f colon mathbb C w to mathbb C z quad w mapsto z n nbsp Dabei bezeichnet C w displaystyle mathbb C w nbsp den Ring der Potenzreihen deren Konvergenzradius positiv ist Die Nullstellenordnung ist eine diskrete Bewertung auf den beteiligten Ringen und es gilt wie gesagt ord z 0 f g n ord w 0 g displaystyle operatorname ord z 0 f g n cdot operatorname ord w 0 g nbsp Diese Eigenschaft ist charakteristisch fur Verzweigungspunkte Verzweigung im Kontext von Erweiterungen bewerteter Korper BearbeitenEs sei K displaystyle K nbsp ein Korper mit einer diskreten Exponential Bewertung v K R displaystyle v colon K times to mathbb R nbsp Weiter seien O K x K v x 0 displaystyle mathcal O K x in K mid v x geq 0 nbsp bzw m K x K v x gt 0 displaystyle mathfrak m K x in K mid v x gt 0 nbsp der Bewertungsring bzw das Bewertungsideal von K displaystyle K nbsp p K displaystyle pi K nbsp eine Uniformisierende d h ein Erzeuger von m K displaystyle mathfrak m K nbsp und k O K m K displaystyle kappa mathcal O K mathfrak m K nbsp der Restklassenkorper Weiter sei L displaystyle L nbsp eine endliche Erweiterung von K displaystyle K nbsp mit diskreter Bewertung w L R displaystyle w colon L times to mathbb R nbsp die v displaystyle v nbsp fortsetzt d h w K v displaystyle w K v nbsp Schliesslich seien O L m L p L l displaystyle mathcal O L mathfrak m L pi L lambda nbsp analog zu oben Der Verzweigungsindex von L K displaystyle L K nbsp ist definiert als e w v v p K w p L w L v K displaystyle e w v frac v pi K w pi L w L times v K times nbsp Ist er gleich 1 so heisst die Erweiterung unverzweigt Sein Gegenstuck ist der Tragheitsgrad f w v l k displaystyle f w v lambda kappa nbsp Eigenschaften Bearbeiten Ist die Erweiterung L K displaystyle L K nbsp separabel und durchlauft w displaystyle w nbsp alle moglichen Fortsetzungen von v displaystyle v nbsp so gilt die fundamentale Gleichung 1 w v e w v f w v L K displaystyle sum w v e w v f w v L K nbsp dd Ist K displaystyle K nbsp daruber hinaus vollstandig so ist w displaystyle w nbsp eindeutig bestimmt 2 alsw x 1 L K v N L K x displaystyle w x frac 1 L K v N L K x nbsp dd und es gilt 3 e w v f w v L K displaystyle e w v f w v L K nbsp dd Es seien nun K displaystyle K nbsp vollstandig und L K displaystyle L K nbsp galoissch und ausserdem sei l k displaystyle lambda kappa nbsp separabel Diese Voraussetzungen sind beispielsweise fur lokale Korper erfullt Dann ist l k displaystyle lambda kappa nbsp sogar galoissch und es gibt eine kurze exakte Sequenz 4 1 I G a l L K G a l l k 1 displaystyle 1 to I to mathrm Gal L K to mathrm Gal lambda kappa to 1 nbsp dd dabei bezeichnet man den Kern I displaystyle I nbsp als Tragheitsgruppe Ihr Fixkorper T displaystyle T nbsp ist die maximale unverzweigte Teilerweiterung 5 von L K displaystyle L K nbsp und im Fall endlicher Erweiterungen gilt L T I e T K f displaystyle L T I e quad T K f nbsp dd Insbesondere gilt Ist L K displaystyle L K nbsp unverzweigt so istG a l L K G a l l k displaystyle mathrm Gal L K cong mathrm Gal lambda kappa nbsp dd Ist K n r displaystyle K mathrm nr nbsp die maximale unverzweigte Erweiterung in einem separablen Abschluss K s e p displaystyle K mathrm sep nbsp von K displaystyle K nbsp so gilt entsprechendG a l K n r K G a l k s e p k displaystyle mathrm Gal K mathrm nr K cong mathrm Gal kappa mathrm sep kappa nbsp dd Im Fall lokaler Korper ist letztere Gruppe kanonisch isomorph zu Z displaystyle hat mathbb Z nbsp hat also eine besonders einfache Struktur Da die Galoisgruppe G a l k s e p k displaystyle mathrm Gal kappa mathrm sep kappa nbsp im Frobenius Automorphismusx x q displaystyle x mapsto x q nbsp mit q k displaystyle q kappa nbsp dd einen kanonischen Erzeuger besitzt gibt es auch in G a l K n r K displaystyle mathrm Gal K mathrm nr K nbsp ein kanonisches Element das ebenfalls als Frobenius Automorphismus bezeichnet wird Verzweigung im Kontext von Erweiterungen von Dedekindringen BearbeitenEs sei A displaystyle A nbsp ein Dedekindring mit Quotientenkorper K displaystyle K nbsp L displaystyle L nbsp eine endliche separable Erweiterung von K displaystyle K nbsp und B displaystyle B nbsp der ganze Abschluss von A displaystyle A nbsp in L displaystyle L nbsp B displaystyle B nbsp ist wieder ein Dedekindring 6 Einer der wichtigsten Spezialfalle ist A Z displaystyle A mathbb Z nbsp K Q displaystyle K mathbb Q nbsp L displaystyle L nbsp ein Zahlkorper und B displaystyle B nbsp sein Ganzheitsring Weiter sei p displaystyle mathfrak p nbsp ein maximales Ideal von A displaystyle A nbsp Dann lasst sich p B displaystyle mathfrak p B nbsp auf eindeutige Weise als Produkt von Potenzen verschiedener Primidealen von B displaystyle B nbsp schreiben p B P 1 e 1 P k e k displaystyle mathfrak p B mathfrak P 1 e 1 cdots mathfrak P k e k nbsp Die Zahlen e i displaystyle e i nbsp heissen Verzweigungsindizes die Grade der Restklassenkorpererweiterungen f i B P i A p displaystyle f i B mathfrak P i A mathfrak p nbsp Tragheitsgrade Ist e i 1 displaystyle e i 1 nbsp und die Erweiterung der Restklassenkorper separabel so heisst P i displaystyle mathfrak P i nbsp unverzweigt Im Fall von Zahlkorpern und Funktionenkorpern uber endlichen Korpern ist die Restklassenkorperweiterung stets separabel Ist f i 1 displaystyle f i 1 nbsp so heisst P i displaystyle mathfrak P i nbsp rein verzweigt Sind alle P i displaystyle mathfrak P i nbsp unverzweigt so heisst p displaystyle mathfrak p nbsp unverzweigt p displaystyle mathfrak p nbsp zerfallt dann in ein Produkt verschiedener Primideale Sind alle Primideale ungleich null von K displaystyle K nbsp unverzweigt so heisst die Erweiterung L K displaystyle L K nbsp unverzweigt Eigenschaften Bearbeiten Ein Primideal P displaystyle mathfrak P nbsp von L displaystyle L nbsp uber einem Primideal p displaystyle mathfrak p nbsp von K displaystyle K nbsp ist genau dann unverzweigt in dem hier definierten Sinne wenn die Erweiterung L K displaystyle L K nbsp mit den durch P displaystyle mathfrak P nbsp bzw p displaystyle mathfrak p nbsp definierten Bewertungen unverzweigt im bewertungstheoretischen Sinne ist Es gilt die fundamentale Gleichung 7 L K i 1 k e i f i displaystyle L K sum i 1 k e i f i nbsp dd Es gibt stets nur endlich viele verzweigte Primideale in K displaystyle K nbsp 8 Ein Primideal in K displaystyle K nbsp ist genau dann verzweigt wenn es die Diskriminante teilt 9 ein Primideal in L displaystyle L nbsp ist genau dann verzweigt wenn es die Differente teilt 10 Die einzige unverzweigte Erweiterung von Q displaystyle mathbb Q nbsp ist Q displaystyle mathbb Q nbsp selbst 11 Ist L K displaystyle L K nbsp eine Galoiserweiterung globaler Korper und p displaystyle mathfrak p nbsp unverzweigt so gibt es analog zum lokalen Fall fur jedes Primideal P displaystyle mathfrak P nbsp uber p displaystyle mathfrak p nbsp einen Frobenius Automorphismus f P G a l L K displaystyle varphi mathfrak P in mathrm Gal L K nbsp der die Zerlegungsgruppe von P displaystyle mathfrak P nbsp erzeugt Er ist die Grundlage fur das Artinsymbol der Klassenkorpertheorie 12 Beispiel Bearbeiten Ein verhaltnismassig einfacher Dedekindring ist der Ring der Eisensteinzahlen Betrachtet man sie wie ublich als Erweiterung der ganzen Zahlen dann ist hier genau das von der Primzahl 3 im Ring der ganzen Zahlen erzeugte Primideal verzweigt Unverzweigte Schemamorphismen BearbeitenEs seien X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp Schemata und f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp ein Morphismus lokal endlicher Prasentation Dann heisst f displaystyle f nbsp unverzweigt falls eine der folgenden aquivalenten Bedingungen erfullt ist 13 W X Y 1 0 displaystyle Omega X Y 1 0 nbsp Fur einen und damit fur jeden Morphismus g Y Z displaystyle g colon Y to Z nbsp istf W Y Z 1 W X Z 1 displaystyle f colon Omega Y Z 1 to Omega X Z 1 nbsp dd surjektiv Die Fasern von f displaystyle f nbsp uber Punkten y Y displaystyle y in Y nbsp sind disjunkte Vereinigungen von Spektren endlicher separabler Korpererweiterungen von k y displaystyle kappa y nbsp Die Diagonale X X Y X displaystyle X to X times Y X nbsp ist eine offene Einbettung Ist T displaystyle T nbsp ein affines Schema und T 0 displaystyle T 0 nbsp ein abgeschlossenes Unterschema das durch eine nilpotente Idealgarbe definiert wird so ist die induzierte AbbildungH o m Y T X H o m Y T 0 X displaystyle mathrm Hom Y T X to mathrm Hom Y T 0 X nbsp dd injektiv Der Morphismus f displaystyle f nbsp heisst unverzweigt im Punkt x X displaystyle x in X nbsp wenn es eine offene Umgebung U displaystyle U nbsp von x displaystyle x nbsp in X displaystyle X nbsp gibt so dass f U displaystyle f U nbsp unverzweigt ist Unverzweigtheit in einem Punkt x displaystyle x nbsp kann auch anders charakterisiert werden es sei y f x displaystyle y f x nbsp 14 W X Y x 1 0 displaystyle Omega X Y x 1 0 nbsp Die Diagonale X X Y X displaystyle X to X times Y X nbsp ist ein lokaler Isomorphismus bei x displaystyle x nbsp O X x m y O X x displaystyle mathcal O X x mathfrak m y mathcal O X x nbsp ist ein Korper der eine endliche separable Erweiterung von k y displaystyle kappa y nbsp ist Die Unverzweigtheit von f displaystyle f nbsp im Punkt x displaystyle x nbsp hangt nur von der Faser f 1 y displaystyle f 1 y nbsp ab Eigenschaften Bearbeiten Unverzweigte Morphismen sind lokal quasiendlich 15 Ist Y displaystyle Y nbsp zusammenhangend und f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp unverzweigt und separiert so entsprechen die Schnitte von f displaystyle f nbsp eineindeutig den Zusammenhangskomponenten von X displaystyle X nbsp die durch f displaystyle f nbsp isomorph auf Y displaystyle Y nbsp abgebildet werden 16 Bedeutung BearbeitenAlgebraische Geometrie Bearbeiten Ist X displaystyle X nbsp ein Schema uber einem diskret bewerteten Korper K displaystyle K nbsp mit Bewertungsring V displaystyle V nbsp so werden haufig Modelle von X displaystyle X nbsp uber V displaystyle V nbsp betrachtet d h Schemata X displaystyle mathcal X nbsp uber V displaystyle V nbsp mit X X V K displaystyle X cong mathcal X otimes V K nbsp Ist nun L K displaystyle L K nbsp eine unverzweigte Erweiterung und W displaystyle W nbsp der Bewertungsring von L displaystyle L nbsp so ist der Morphismus S p e c W S p e c V displaystyle mathrm Spec W to mathrm Spec V nbsp und damit auch der Morphismus X W X V W X displaystyle mathcal X W mathcal X otimes V W to mathcal X nbsp etale und surjektiv folglich ubertragen sich viele Eigenschaften von X displaystyle mathcal X nbsp auf das Modell X W displaystyle mathcal X W nbsp von X L displaystyle X L nbsp Literatur BearbeitenJurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 54273 6 A Grothendieck J Dieudonne Elements de geometrie algebrique Publications mathematiques de l IHES 4 8 11 17 20 24 28 32 1960 1967 Quellen Bearbeiten Jurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 54273 6 Satz II 8 5 S 173 Jurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 54273 6 Theorem II 6 2 S 150 Jurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 54273 6 Satz II 6 8 S 157 Jurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 54273 6 Satz II 9 9 S 181 Jurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 54273 6 Satz II 9 11 S 182 Jurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 54273 6 Satz I 8 1 S 47 Jurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 54273 6 Satz I 8 2 S 48 Jurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 54273 6 Satz I 8 4 S 52 Jurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 54273 6 Korollar III 2 12 S 213 Jurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 54273 6 Theorem III 2 6 S 210 Jurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 54273 6 Satz III 2 18 S 218 Jurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 54273 6 Aufgabe I 9 2 S 61 sowie Abschnitt VI 7 S 424ff EGA IV 17 4 2 17 2 2 17 1 1 17 3 1 EGA IV 17 4 1 EGA IV 17 4 3 EGA IV 17 4 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Verzweigung Algebra amp oldid 238873320