Die Differente ist ein Begriff aus der algebraischen Zahlentheorie Inhaltsverzeichnis 1 Vorbereitung 2 Definition 3 Erster Dedekindscher Hauptsatz 4 Beispiel 5 LiteraturVorbereitung BearbeitenEs sei K displaystyle K nbsp ein Zahlkorper und S K Q displaystyle S K to mathbb Q nbsp die Spur Dann ist M w K S w M Z displaystyle M star widetilde omega in K S widetilde omega M subset mathbb Z nbsp das duale Gitter von M displaystyle M nbsp in K displaystyle K nbsp bezuglich der nicht ausgearteten Q displaystyle mathbb Q nbsp Bilinearform a b S a b displaystyle langle alpha beta rangle S alpha beta nbsp mit a b K displaystyle alpha beta in K nbsp Die duale Basis besitzt bezuglich der Basis w i displaystyle omega i nbsp des Gitters M displaystyle M nbsp die Kronecker Eigenschaft S w i w j d i j displaystyle S omega i widetilde omega j delta ij nbsp Weiterhin bezeichnet a 1 displaystyle mathfrak a 1 nbsp das Inverse eines Ideals a displaystyle mathfrak a nbsp Definition BearbeitenDie Differente eines Zahlkorpers K displaystyle K nbsp ist definiert als D K O 1 displaystyle mathfrak D K mathcal O star 1 nbsp wobei O displaystyle mathcal O nbsp der Ganzheitsring die Hauptordnung o displaystyle mathfrak o nbsp des Zahlkorpers ist Erster Dedekindscher Hauptsatz BearbeitenDie Absolutnorm der Differente eines algebraischen Zahlkorpers ist gleich dem Betrag der Diskriminante N D K d K displaystyle mathfrak N mathfrak D K d K nbsp Beispiel BearbeitenFur den Zahlkorper K Q 1 displaystyle K mathbb Q sqrt 1 nbsp ist der Ganzheitsring O displaystyle mathcal O nbsp die gaussischen Zahlen mit der Z displaystyle mathbb Z nbsp Basis 1 1 displaystyle 1 sqrt 1 nbsp Das dazu duale Gitter besitzt die Z displaystyle mathbb Z nbsp Basis 1 2 1 2 displaystyle left frac 1 2 frac sqrt 1 2 right nbsp dessen gebrochenes Ideal sich zu 1 2 1 displaystyle frac 1 2 1 nbsp bestimmen lasst Trivialerweise ist das inverse Ideal dazu 2 displaystyle 2 nbsp was ein Hauptideal ist fur das gilt N 2 N K Q 2 4 displaystyle mathfrak N 2 N K mathbb Q 2 4 nbsp oder man kann die Restklassen zu 0 1 1 displaystyle 0 1 sqrt 1 nbsp und 1 1 displaystyle 1 sqrt 1 nbsp bestimmen Dieses Ergebnis entspricht auch wie zu erwarten der Diskriminante des Zahlkorper d K 4 displaystyle d K 4 nbsp Literatur BearbeitenArmin Leutbecher Zahlentheorie Springer Verlag ISBN 978 3 540 58791 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Differente amp oldid 234125857
