Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Einzelnachweise fehlen NeptunT Diskussion 18 48 7 Mai 2021 CEST Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie ist der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkorpers das Analogon des Ringes der ganzen Zahlen im Fall des Korpers der rationalen Zahlen Die Elemente eines Ganzheitsringes werden als algebraisch ganze Zahlen bezeichnet die Menge aller algebraisch ganzen Zahlen ist der Ganzheitsring im Korper aller algebraischen Zahlen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Siehe auchDefinition BearbeitenEs sei K displaystyle K nbsp ein algebraischer Zahlkorper d h eine endliche Erweiterung des Korpers der rationalen Zahlen Dann ist der Ganzheitsring O K displaystyle mathcal O K nbsp von K displaystyle K nbsp definiert als der ganze Abschluss von Z displaystyle mathbb Z nbsp in K displaystyle K nbsp d h die Teilmenge derjenigen x K displaystyle x in K nbsp die eine Gleichung der Form x n c n 1 x n 1 c 1 x c 0 0 displaystyle x n c n 1 x n 1 ldots c 1 x c 0 0 nbsp mit c i Z displaystyle c i in mathbb Z nbsp erfullen Man beachte dass der Koeffizient von x n displaystyle x n nbsp der Leitkoeffizient des Polynoms x n c n 1 x n 1 c 1 x c 0 displaystyle x n c n 1 x n 1 ldots c 1 x c 0 nbsp gleich 1 sein muss Man bezeichnet solche Polynome als normiert Ohne diese Einschrankungen bekame man den ganzen Korper K displaystyle K nbsp Eine aquivalente Definition lautet Der Ganzheitsring von K displaystyle K nbsp ist die im Sinne der Inklusion maximale Ordnung die Hauptordnung auf K displaystyle K nbsp Eigenschaften BearbeitenO K displaystyle mathcal O K nbsp ist ein endlich erzeugter freier Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul vom Rang K Q displaystyle K colon mathbb Q nbsp O K displaystyle mathcal O K nbsp ist ein Dedekindring Die Einheitengruppe von O K displaystyle mathcal O K nbsp wird durch den Dirichletschen Einheitensatz beschrieben Beispiele BearbeitenIst K Q i 3 displaystyle K mathbb Q mathrm i sqrt 3 nbsp so ist O K displaystyle mathcal O K nbsp der Ring der Eisenstein Zahlenu v 1 i 3 2 displaystyle u v cdot frac 1 mathrm i sqrt 3 2 nbsp mit u v Z displaystyle u v in mathbb Z nbsp dd Eine solche Zahl ist Nullstelle des PolynomsX 2 2 u v X u 2 u v v 2 displaystyle X 2 2u v X u 2 uv v 2 nbsp dd Erfullt umgekehrt x a b i 3 K displaystyle x a b mathrm i sqrt 3 in K nbsp die Polynomgleichungx 2 p x q 0 displaystyle x 2 px q 0 nbsp mit p q Z displaystyle p q in mathbb Z nbsp dd so folgt p 2 a displaystyle p 2a nbsp und q a 2 3 b 2 displaystyle q a 2 3b 2 nbsp Man kann zeigen dass dann a b displaystyle a b nbsp und 2 b displaystyle 2b nbsp ganzzahlig sind also istx a b 2 b 1 i 3 2 displaystyle x a b 2b cdot frac 1 mathrm i sqrt 3 2 nbsp dd eine Eisenstein Zahl Ist K Q i displaystyle K mathbb Q mathrm i nbsp so ist O K displaystyle mathcal O K nbsp der Ring der ganzen gaussschen Zahlen Z i displaystyle mathbb Z mathrm i nbsp Allgemein sieht fur den Ganzheitsring von Q d displaystyle mathbb Q sqrt d nbsp wobei d displaystyle d nbsp ganz und quadratfrei sei eine Ganzheitsbasis so aus 1 d displaystyle left 1 sqrt d right nbsp falls d displaystyle d nbsp kongruent 2 oder 3 mod 4 1 1 d 2 displaystyle left 1 frac 1 sqrt d 2 right nbsp falls d displaystyle d nbsp kongruent 1 mod 4 dd Bezeichnet z displaystyle zeta nbsp eine primitive n displaystyle n nbsp te Einheitswurzel so ist der Ganzheitsring des n displaystyle n nbsp ten Kreisteilungskorpers Q z displaystyle mathbb Q zeta nbsp gleich Z z displaystyle mathbb Z zeta nbsp Siehe auch BearbeitenOrdnung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ganzheitsring amp oldid 223438602
