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Kreisteilungskörper auch zyklotomische Körper sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahl

Kreisteilungskörper

Kreisteilungskörper (auch: zyklotomische Körper) sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.

Definition Bearbeiten

Es sei eine natürliche Zahl. Dann ist der -te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung von , die durch Adjunktion der Menge aller -ten Einheitswurzeln entsteht.

Eigenschaften Bearbeiten

Insbesondere ist der Erweiterungsgrad mit der eulerschen φ-Funktion.
  • Zwei Kreisteilungskörper und mit sind genau dann gleich, wenn ungerade ist und gilt.
  • Die Adjunktion der -ten Einheitswurzeln zu ergibt mit
definierte Automorphismus von
  • Der Ganzheitsring von ist mit einer beliebigen primitiven -ten Einheitswurzel .

Diskriminante und Verzweigung Bearbeiten

Die Diskriminante von für ist

Die in verzweigten Primzahlen sind gerade die Primteiler der Diskriminante. Insbesondere ist eine ungerade Primzahl genau dann verzweigt in , wenn sie ein Teiler von ist. Die ist genau dann verzweigt, wenn . Eine Primzahl ist genau dann voll zerlegt, wenn gilt.

Ist eine Primzahlpotenz, so ist die einzige verzweigte Primzahl in . ist dann unzerlegt und vollständig verzweigt. Man kann zeigen, dass ein Element mit Norm ist. Das einzige Primideal über ist also das Hauptideal, das von erzeugt wird:

Für die Diskriminante ergibt sich .

Satz von Kronecker-Weber Bearbeiten

Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.

Idealklassengruppe Bearbeiten

Die Klassenzahl von besteht aus zwei ganzzahligen Faktoren und . Hierbei ist die Klassenzahl des maximalen reellen Teilkörpers und die Relativklassenzahl. Die Idealklassengruppe von kann als Untergruppe der Idealklassengruppe von aufgefasst werden.

Die Relativklassenzahl kann mithilfe von Dirichlet-Charakteren und Bernoulli-Zahlen explizit bestimmt werden.

Die Klassenzahl von zu bestimmen, ist im Allgemeinen schwierig. Aus dem Satz von Brauer-Siegel, der eine Aussage über das asymptotische Verhalten der Klassenzahl macht, lässt sich folgern, dass für . Insbesondere gibt es nur endlich viele Kreisteilungskörper mit Klassenzahl . Die vollständige Liste aller mit lautet

In genau diesen Fällen ist ein Hauptidealring und es gibt eine eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen.

Die ungelöste Vandiver-Vermutung sagt voraus, dass die Primzahl kein Teiler von ist.

Literatur Bearbeiten

  • Serge Lang: Cyclotomic Fields I and II (= Graduate Texts in Mathematics. 121). Combined 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1990, ISBN 3-540-96671-4.
  • Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6.
  • Lawrence C. Washington: Introduction to Cyclotomic Fields (= Graduate Texts in Mathematics. 83). Springer, Berlin u. a. 1982, ISBN 3-540-90622-3 (2nd edition. Springer, New York u. a. 1997, ISBN 0-387-94762-0).
  • Senon I. Borewicz, Igor R. Šafarevič: Zahlentheorie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. 32). Springer, Basel 1966, ISBN 978-3-0348-6945-4.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Washington: Theorem 2.5 (S. 11 in der Google-Buchsuche).
  2. Neukirch: Satz I.10.2.
  3. Washington: Proposition 2.7 (S. 12 in der Google-Buchsuche).
  4. Neukirch: Korollar I.10.4.
  5. Neukirch: Lemma I.10.1.
  6. Nach Washington, Theorem 4.10 (S. 39 in der Google-Buchsuche) ist ein Teiler von .
  7. Washington: Theorem 4.14.
  8. Washington: Theorem 4.17.
  9. Washington: Theorem 4.20 (S. 45 in der Google-Buchsuche).
  10. Washington: Theorem 11.1. – Die Liste wurde durch Doppelungen im Fall ergänzt.
  11. Borewicz, Šafarevič: S. 243 in der Google-Buchsuche.
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Veröffentlichungsdatum:
Kreisteilungskorper auch zyklotomische Korper sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Korpers der rationalen Zahlen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Diskriminante und Verzweigung 4 Satz von Kronecker Weber 5 Idealklassengruppe 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei n gt 2 displaystyle n gt 2 nbsp eine naturliche Zahl Dann ist der n displaystyle n nbsp te Kreisteilungskorper diejenige Korpererweiterung Q m n displaystyle mathbb Q mu n nbsp von Q displaystyle mathbb Q nbsp die durch Adjunktion der Menge m n displaystyle mu n nbsp aller n displaystyle n nbsp ten Einheitswurzeln entsteht Eigenschaften BearbeitenIst z n displaystyle zeta n nbsp eine primitive n displaystyle n nbsp te Einheitswurzel so ist das Minimalpolynom von z n displaystyle zeta n nbsp das n displaystyle n nbsp te Kreisteilungspolynom F n displaystyle Phi n nbsp deshalb istQ m n Q z n Q T F n T displaystyle mathbb Q mu n mathbb Q zeta n cong mathbb Q T Phi n T nbsp dd Insbesondere ist der Erweiterungsgrad Q m n Q f n displaystyle mathbb Q mu n mathbb Q varphi n nbsp mit der eulerschen f Funktion 1 Zwei Kreisteilungskorper Q m n displaystyle mathbb Q mu n nbsp und Q m m displaystyle mathbb Q mathbb mu m nbsp mit n lt m displaystyle n lt m nbsp sind genau dann gleich wenn n displaystyle n nbsp ungerade ist und m 2 n displaystyle m 2n nbsp gilt Die Adjunktion der m displaystyle m nbsp ten Einheitswurzeln zu Q m n displaystyle mathbb Q mu n nbsp ergibt Q m N displaystyle mathbb Q mu N nbsp mit N k g V m n displaystyle N mathrm kgV m n nbsp Die Erweiterung Q m n Q displaystyle mathbb Q mu n mathbb Q nbsp ist galoissch Die Galoisgruppe ist isomorph zu Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z times nbsp ist z n displaystyle zeta n nbsp eine primitive n displaystyle n nbsp te Einheitswurzel so entspricht einem Element k Z n Z displaystyle k in mathbb Z n mathbb Z times nbsp der durchz n z n k displaystyle zeta n mapsto zeta n k nbsp dd definierte Automorphismus von Q m n displaystyle mathbb Q mu n nbsp 1 Der Ganzheitsring von Q m n displaystyle mathbb Q mu n nbsp ist Z z n displaystyle mathbb Z zeta n nbsp mit einer beliebigen primitiven n displaystyle n nbsp ten Einheitswurzel z n displaystyle zeta n nbsp 2 Insbesondere ist der Ganzheitsring von Q m 4 Q 1 displaystyle mathbb Q mu 4 mathbb Q sqrt 1 nbsp gleich dem Ring der ganzen gaussschen Zahlen der Ganzheitsring von Q m 3 Q m 6 Q 3 displaystyle mathbb Q mu 3 mathbb Q mu 6 mathbb Q sqrt 3 nbsp ist gleich dem Ring der Eisenstein Zahlen Diese beiden Zahlkorper sind die einzigen algebraischen Erweiterungen der rationalen Zahlen die sowohl Kreisteilungskorper als auch quadratische Erweiterungskorper sind Diskriminante und Verzweigung BearbeitenDie Diskriminante von Q z n displaystyle mathbb Q zeta n nbsp fur n gt 2 displaystyle n gt 2 nbsp ist 3 D Q z n 1 f n 2 n f n p n p f n 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also das Hauptideal das von 1 z ℓ n displaystyle 1 zeta ell nu nbsp erzeugt wird ℓ 1 z ℓ n ℓ n 1 ℓ 1 displaystyle ell 1 zeta ell nu ell nu 1 ell 1 nbsp Fur die Diskriminante ergibt sich D Q z ℓ n ℓ ℓ n 1 n ℓ n 1 displaystyle Delta mathbb Q zeta ell nu pm ell ell nu 1 nu ell nu 1 nbsp 5 Satz von Kronecker Weber BearbeitenDer Satz von Kronecker Weber nach L Kronecker und H Weber besagt dass jeder algebraische Zahlkorper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskorper enthalten ist Die maximale abelsche Erweiterung von Q displaystyle mathbb Q nbsp entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln Idealklassengruppe BearbeitenDie Klassenzahl h n displaystyle h n nbsp von Q z n displaystyle mathbb Q zeta n nbsp besteht aus zwei ganzzahligen Faktoren h n displaystyle h n nbsp und h n displaystyle h n nbsp 6 Hierbei ist h n displaystyle h n nbsp die Klassenzahl des maximalen reellen Teilkorpers Q z n Q z n z n 1 displaystyle mathbb Q zeta n mathbb Q zeta n zeta n 1 nbsp und h n h n 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Basel 1966 ISBN 978 3 0348 6945 4 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Cyclotomic Field In MathWorld englisch L V Kuz min Cyclotomic field In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Vorlage EoM idEinzelnachweise Bearbeiten a b Washington Theorem 2 5 S 11 in der Google Buchsuche Neukirch Satz I 10 2 Washington Proposition 2 7 S 12 in der Google Buchsuche Neukirch Korollar I 10 4 Neukirch Lemma I 10 1 Nach Washington Theorem 4 10 S 39 in der Google Buchsuche ist h n displaystyle h n nbsp ein Teiler von h n displaystyle h n nbsp Washington Theorem 4 14 Washington Theorem 4 17 Washington Theorem 4 20 S 45 in der Google Buchsuche Washington Theorem 11 1 Die Liste wurde durch Doppelungen im Fall n 2 mod 4 displaystyle n equiv 2 mod 4 nbsp erganzt Borewicz Safarevic S 243 in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kreisteilungskorper amp oldid 225801184