In der Korpertheorie der Mathematik ist die Norm einer Korpererweiterung eine spezielle der Erweiterung zugeordnete Abbildung Sie bildet jedes Element des grosseren Korpers auf den kleineren Korper ab Dieser Normbegriff unterscheidet sich wesentlich vom Begriff der Norm eines normierten Vektorraums er wird daher manchmal im Gegensatz zur Vektornorm auch Korpernorm genannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei L K displaystyle L K eine endliche Korpererweiterung Ein fest gewahltes Element a L displaystyle a in L definiert eine K displaystyle K lineare Abbildung L L x a x displaystyle L to L quad x mapsto ax Ihre Determinante heisst die Norm von a displaystyle a geschrieben N L K a displaystyle N L K a Sie ist ein Element von K displaystyle K die Norm ist also eine Abbildung N L K L K a N L K a displaystyle N L K colon L to K quad a mapsto N L K a Eigenschaften BearbeitenGenau fur a 0 displaystyle a 0 gilt N L K a 0 displaystyle N L K a 0 Die Norm ist multiplikativ d h N L K a b N L K a N L K b displaystyle N L K ab N L K a cdot N L K b fur alle a b L displaystyle a b in L dd Eingeschrankt auf die multiplikativen Gruppen ist die Norm also ein HomomorphismusN L K L K displaystyle N L K colon L times to K times dd Ist M L displaystyle M L eine weitere endliche Korpererweiterung dann hat man die drei Normfunktionen N L K N M L displaystyle N L K N M L und N M K displaystyle N M K die in der folgenden als Transitivitat der Norm bezeichneten Beziehung stehen N M K a N L K N M L a displaystyle N M K a N L K N M L a fur alle a M displaystyle a in M dd Ist a K displaystyle a in K so gilt N L K a a L K displaystyle N L K a a L K Ist a L displaystyle a in L mit dem Minimalpolynom f K X displaystyle f in K X vom Grad d displaystyle d a 0 K displaystyle a 0 in K das Absolutglied von f displaystyle f und r L K a displaystyle r L K a dann gilt N L K a 1 d r a 0 r displaystyle N L K a 1 dr a 0 r dd Ist L K displaystyle L K eine endliche Korpererweiterung mit L K q r displaystyle L K qr wobei r displaystyle r die Anzahl der Elemente s displaystyle sigma in Hom K L K displaystyle operatorname Hom K L bar K der Menge aller K displaystyle K Homomorphismen von L displaystyle L in den algebraischen Abschluss K displaystyle bar K von K displaystyle K sei Dann gilt 1 fur jedes Element a L displaystyle a in L N L K a i 1 r s i a q displaystyle N L K a left prod i 1 r sigma i a right q dd Ist L K displaystyle L K insbesondere galoissch mit Galoisgruppe Gal L K displaystyle operatorname Gal L K so bedeutet diesN L K a s Gal L K s a displaystyle N L K a prod sigma in operatorname Gal L K sigma a dd Beispiele BearbeitenDie Norm der komplexen Zahlen uber den reellen Zahlen bildet jede komplexe Zahl auf ihr Betragsquadrat ab Es ist alsoN C R a i b s 1 a i b s 2 a i b i d a i b a i b a i b a i b a 2 b 2 displaystyle N mathbb C mathbb R a ib sigma 1 a ib sigma 2 a ib id a ib overline a ib a ib a ib a 2 b 2 dd Die Norm von Q 2 Q displaystyle mathbb Q sqrt 2 mathbb Q ist die Abbildunga b 2 a 2 2 b 2 displaystyle a b sqrt 2 mapsto a 2 2b 2 fur a b Q displaystyle a b in mathbb Q dd Die Norm von F q n F q displaystyle mathbb F q n mathbb F q ist die Abbildungx x 1 q q 2 q n 1 displaystyle x mapsto x 1 q q 2 ldots q n 1 dd Siehe auch BearbeitenSpur Korpererweiterung Diskriminante pythagoreischer Korper Hilberts Satz 90Einzelnachweise Bearbeiten Bosch Algebra 5 Auflage 2004 S 196ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Norm Korpererweiterung amp oldid 222189452
