Der mathematische Satz, den David Hilbert unter der Nummer 90 in seiner Theorie der algebraischen Zahlkörper aufführt und der seither diesen Namen trägt, macht eine Aussage über die Struktur bestimmter Körpererweiterungen. Er wurde en passant bereits 1855 von Kummer bewiesen.
Ursprüngliche Fassung Bearbeiten
Es sei eine zyklische Galoiserweiterung und ein Erzeuger der zugehörigen Galoisgruppe. Dann ist jedes mit Norm von der Form
mit einem geeigneten .
Galoiskohomologische Fassung Bearbeiten
ist ein Körper, eine galoissche Körpererweiterung und . Dann folgt für die Galoiskohomologie:
Algebraisch-geometrische Fassung Bearbeiten
Es sei ein Schema. Dann ist
Anders ausgedrückt: Jedes étale-lokal triviale Geradenbündel ist bereits ein Zariski-Geradenbündel.
Hilbert 90 für motivische Kohomologie Bearbeiten
Die ursprüngliche Fassung verallgemeinert sich in der motivischen Kohomologie zur Exaktheit von
für zyklische Galoisüberlagerungen mit Erzeuger . Für das Spektrum eines Körpers erhält man die ursprüngliche Fassung zurück.
Literatur Bearbeiten
- David Hilbert: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. (PDF; 90 MB). In: Zahlbericht. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Bd. 4, S. 175–546, 1897, siehe S. 272.
Weblinks Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- Franz Lemmermeyer (2018): 120 Jahre Hilberts Zahlbericht. (PDF; 541 kB). Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 120 (1), 41–79, siehe S. 10.