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Pythagoreischer Körper In der Mathematik bezeichnet ein Körper eine Menge von Elementen Zahlen auf der die vier Grundrec

Pythagoreischer Körper

In der Mathematik bezeichnet ein Körper eine Menge von Elementen („Zahlen“), auf der die vier Grundrechenarten gemäß gewisser Regeln anwendbar sind. Dieser Körper wird als pythagoreisch bezeichnet, wenn zusätzlich jede (endliche) Summe von Quadratzahlen des Körpers immer noch eine Quadratzahl ist.

Dies ist nicht selbstverständlich: Ein aus der Schulmathematik bekannter Körper ist derjenige der Bruchzahlen. Jede beliebige Summe oder Differenz, jedes Produkt und jeder Quotient ist darin immer ermittelbar. Da keine rationale Quadratzahl ist, ist dieser Körper nicht pythagoreisch.

Pythagoreische Körper spielen eine wichtige Rolle in der synthetischen Geometrie, dort wird häufig zusätzlich gefordert, dass −1 keine Quadratzahl sein soll. Sie sind dann formal reelle pythagoreische Körper. – Bei der üblichen Auffassung, dass 0 keine Quadratzahl ist, die auch in diesem Artikel verwendet wird, ergibt sich die Zusatzeigenschaft bereits aus der Definition des pythagoreischen Körpers. Bei diesen Körpern ist stets eine Anordnung möglich. Eine präeuklidische Ebene über einem formal reellen pythagoreischen Körper, in der die Orthogonalitätskonstante zu −1 normiert werden kann, wird auch als pythagoreische Ebene bezeichnet. In solchen Ebenen können Winkelhalbierende konstruiert werden und es lässt sich ein Abstandsbegriff zwischen Punkten einführen, der auf dem Satz des Pythagoras der euklidischen Ebenen beruht. Dies ist einer der Anlässe für die Bezeichnung „pythagoreisch“.

Eine gewisse Bedeutung haben pythagoreische Körper und vor allem pythagoreische Erweiterungen für die Frage der Lösbarkeit von diophantischen Gleichungen in der elementaren Zahlentheorie.

Jeder euklidische Körper ist ein formal reeller pythagoreischer Körper. Alle diese Körper haben stets die Charakteristik 0 und enthalten immer unendlich viele Elemente.

Definitionen Bearbeiten

Ein Körper heißt pythagoreischer Körper, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft.

  • Die Summe von zwei Quadratzahlen in K ist wieder eine Quadratzahl.
  • Für jedes ist eine Quadratzahl, also .

Aus diesen Formulierungen folgt zugleich, dass −1 keine Quadratzahl und damit auch keine Summe von Quadratzahlen ist. Denn wäre , dann wäre auch als Summe von Quadratzahlen eine Quadratzahl, ein Widerspruch, denn Quadratzahlen dürfen nicht verschwinden.

Eigenschaften Bearbeiten

Ein pythagoreischer Körper wie hier definiert ist also stets formal reell. Um dies zu betonen, wird das Attribut formal reell häufig hinzugefügt, daraus folgt dann:

  • Die Quadratklassen von −1 und 1 sind verschieden,
  • die Zahl −1 ist keine Quadratzahl,
  • die Charakteristik des Körpers ist 0.

Abweichende Bedeutungen Bearbeiten

Die gelegentlich gebrauchte, schwächere Definition erhält man durch folgende Charakterisierungen: Ein Körper heißt pythagoreischer Körper (in allgemeinerer Form), wenn seine Charakteristik 0 ist, und zusätzlich eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:

  • die Summe von zwei Quadratzahlen in ist wieder in ,
  • für jedes ist ,
  • die Pythagoraszahl von ist 1,
  • jede pythagoreische Erweiterung (s. u.) von stimmt mit überein.

Eine noch schwächere Form, die ebenfalls in der Literatur vorkommt, verzichtet auch noch auf die Forderung, dass die Charakteristik 0 sein soll. Auch dann sind die vier in diesem Abschnitt genannten Charakterisierungen äquivalente Definitionen des abgeschwächten Begriffs.

Pythagoreische Erweiterung Bearbeiten

Eine Körpererweiterung der Form heißt pythagoreische Erweiterung.

Strikt-pythagoreischer Körper Bearbeiten

Ein Körper heißt strikt-pythagoreisch, wenn er formal reell und pythagoreisch ist und jeder formal reelle Erweiterungskörper ein pythagoreischer Körper ist, sofern die Körpererweiterung quadratisch ist, also ihr Erweiterungsgrad ist.

Euklidischer Körper Bearbeiten

Ein pythagoreischer Körper heißt euklidischer Körper, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:

  • Jedes Element von ist entweder eine Quadratzahl oder das Negative einer Quadratzahl, niemals beides.
  • Der Körper enthält genau die zwei Quadratklassen und .

Beide genannten Eigenschaften verschärfen zugleich die von formal reellen Körpern geforderten Eigenschaften, selbst wenn „pythagoreisch“ hier im weitesten Sinn verstanden wird. Also ist jeder euklidische Körper ein formal reeller pythagoreischer Körper mit genau 2 Quadratklassen.

Pythagoreische Ebene Bearbeiten

In der synthetischen Geometrie wird eine affine Ebene mit Orthogonalität, deren Koordinatenkörper ein formal reeller pythagoreischer Körper ist und in der ein Quadrat (die geometrische Figur!) existiert, als pythagoreische Ebene bezeichnet. (In dieser Definition kann die Zusatzbedingung „formal reell“ fortgelassen werden, da die Existenz von Quadraten impliziert, dass −1 keine Quadratzahl ist.)

Geometrische Anwendungen Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • L. Bröcker, Über eine Klasse pythagoreischer Körper, Archiv der Mathematik, Volume 23, Number 1, Dezember 1972
  • Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Zur Schreibweise: Im aktuellen Duden – Das große Wörterbuch der deutschen Sprache in zehn Bänden - ISBN 3-411-70360-1 wird das Adjektiv „pythagoreisch“ in dieser Schreibweise gegeben und die Schreibweise „pythagoräisch“ als österreichische Sonderform bezeichnet. In der deutschsprachigen mathematischen Fachliteratur kommen beide Schreibweisen ohne darauf bezogenen Bedeutungsunterschied vor.
  2. In diesem Artikel wird nach Degen (1976) unter einer Quadratzahl immer ein Körperelement verstanden, die 0 also ausgeschlossen.
  3. Degen (1976), S. 146
  4. Eric W. Weisstein: Pythagorean Field. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  5. Eric W. Weisstein: Pythagorean Extension. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  6. Bröcker (1972), S. 405–407
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In der Mathematik bezeichnet ein Korper eine Menge von Elementen Zahlen auf der die vier Grundrechenarten gemass gewisser Regeln anwendbar sind Dieser Korper wird als pythagoreisch 1 bezeichnet wenn zusatzlich jede endliche Summe von Quadratzahlen des Korpers immer noch eine Quadratzahl 2 ist Dies ist nicht selbstverstandlich Ein aus der Schulmathematik bekannter Korper ist derjenige der Bruchzahlen Jede beliebige Summe oder Differenz jedes Produkt und jeder Quotient ist darin immer ermittelbar Da 1 2 1 2 1 1 2 displaystyle 1 2 1 2 1 1 2 keine rationale Quadratzahl ist ist dieser Korper nicht pythagoreisch Pythagoreische Korper spielen eine wichtige Rolle in der synthetischen Geometrie dort wird haufig zusatzlich gefordert dass 1 keine Quadratzahl sein soll 3 Sie sind dann formal reelle pythagoreische Korper Bei der ublichen Auffassung dass 0 keine Quadratzahl ist die auch in diesem Artikel verwendet wird ergibt sich die Zusatzeigenschaft bereits aus der Definition des pythagoreischen Korpers Bei diesen Korpern ist stets eine Anordnung moglich Eine praeuklidische Ebene uber einem formal reellen pythagoreischen Korper in der die Orthogonalitatskonstante zu 1 normiert werden kann wird auch als pythagoreische Ebene bezeichnet In solchen Ebenen konnen Winkelhalbierende konstruiert werden und es lasst sich ein Abstandsbegriff zwischen Punkten einfuhren der auf dem Satz des Pythagoras der euklidischen Ebenen beruht Dies ist einer der Anlasse fur die Bezeichnung pythagoreisch Eine gewisse Bedeutung haben pythagoreische Korper und vor allem pythagoreische Erweiterungen fur die Frage der Losbarkeit von diophantischen Gleichungen in der elementaren Zahlentheorie Jeder euklidische Korper ist ein formal reeller pythagoreischer Korper Alle diese Korper haben stets die Charakteristik 0 und enthalten immer unendlich viele Elemente Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Eigenschaften 1 2 Abweichende Bedeutungen 1 3 Pythagoreische Erweiterung 1 4 Strikt pythagoreischer Korper 1 5 Euklidischer Korper 1 6 Pythagoreische Ebene 2 Geometrische Anwendungen 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenEin Korper K displaystyle K cdot nbsp heisst pythagoreischer Korper wenn eine der folgenden aquivalenten Bedingungen zutrifft Die Summe von zwei Quadratzahlen in K ist wieder eine Quadratzahl Fur jedes a K displaystyle a in K nbsp ist 1 a 2 displaystyle 1 a 2 nbsp eine Quadratzahl also 1 a 2 Q 1 K 2 b 2 b K 0 displaystyle 1 a 2 in Q 1 K 2 lbrace b 2 b in K setminus lbrace 0 rbrace rbrace nbsp Aus diesen Formulierungen folgt zugleich dass 1 keine Quadratzahl und damit auch keine Summe von Quadratzahlen ist Denn ware 1 c 2 c K displaystyle 1 c 2 c in K nbsp dann ware auch 0 c 2 1 2 displaystyle 0 c 2 1 2 nbsp als Summe von Quadratzahlen eine Quadratzahl ein Widerspruch denn Quadratzahlen durfen nicht verschwinden Eigenschaften Bearbeiten Ein pythagoreischer Korper wie hier definiert ist also stets formal reell Um dies zu betonen wird das Attribut formal reell haufig hinzugefugt daraus folgt dann Die Quadratklassen von 1 und 1 sind verschieden die Zahl 1 ist keine Quadratzahl die Charakteristik des Korpers ist 0 Abweichende Bedeutungen Bearbeiten Die gelegentlich gebrauchte schwachere Definition erhalt man durch folgende Charakterisierungen Ein Korper K displaystyle K cdot nbsp heisst pythagoreischer Korper in allgemeinerer Form wenn seine Charakteristik 0 ist und zusatzlich eine der folgenden aquivalenten Bedingungen zutrifft die Summe von zwei Quadratzahlen in K displaystyle K nbsp ist wieder in K 2 k 2 k K displaystyle K 2 lbrace k 2 k in K rbrace nbsp fur jedes a K displaystyle a in K nbsp ist 1 a 2 K 2 displaystyle 1 a 2 in K 2 nbsp die Pythagoraszahl von K displaystyle K nbsp ist 1 jede pythagoreische Erweiterung s u von K displaystyle K nbsp stimmt mit K displaystyle K nbsp uberein 4 Eine noch schwachere Form die ebenfalls in der Literatur vorkommt verzichtet auch noch auf die Forderung dass die Charakteristik 0 sein soll Auch dann sind die vier in diesem Abschnitt genannten Charakterisierungen aquivalente Definitionen des abgeschwachten Begriffs Pythagoreische Erweiterung Bearbeiten Eine Korpererweiterung der Form K 1 a 2 a K displaystyle K left sqrt 1 a 2 right quad a in K nbsp heisst pythagoreische Erweiterung 5 Strikt pythagoreischer Korper Bearbeiten Ein Korper K displaystyle K nbsp heisst strikt pythagoreisch wenn er formal reell und pythagoreisch ist und jeder formal reelle Erweiterungskorper L displaystyle L nbsp ein pythagoreischer Korper ist sofern die Korpererweiterung K lt L displaystyle K lt L nbsp quadratisch ist also ihr Erweiterungsgrad L K 2 displaystyle L K 2 nbsp ist 6 Euklidischer Korper Bearbeiten Ein pythagoreischer Korper K displaystyle K nbsp heisst euklidischer Korper wenn eine der folgenden aquivalenten Bedingungen zutrifft Jedes Element von K 0 displaystyle K setminus lbrace 0 rbrace nbsp ist entweder eine Quadratzahl oder das Negative einer Quadratzahl niemals beides Der Korper enthalt genau die zwei Quadratklassen Q 1 displaystyle Q 1 nbsp und Q 1 displaystyle Q 1 nbsp Beide genannten Eigenschaften verscharfen zugleich die von formal reellen Korpern geforderten Eigenschaften selbst wenn pythagoreisch hier im weitesten Sinn verstanden wird Also ist jeder euklidische Korper ein formal reeller pythagoreischer Korper mit genau 2 Quadratklassen Pythagoreische Ebene Bearbeiten In der synthetischen Geometrie wird eine affine Ebene mit Orthogonalitat deren Koordinatenkorper ein formal reeller pythagoreischer Korper ist und in der ein Quadrat die geometrische Figur existiert als pythagoreische Ebene bezeichnet In dieser Definition kann die Zusatzbedingung formal reell fortgelassen werden da die Existenz von Quadraten impliziert dass 1 keine Quadratzahl ist Geometrische Anwendungen BearbeitenDer Koordinatenkorper einer praeuklidischen Ebene die frei beweglich ist in der fur jedes schneidende Geradenpaar eine Winkelhalbierende existiert ist ein formal reeller pythagoreischer Korper Umgekehrt ist fur einen formal reellen pythagoreischen Korper K displaystyle K nbsp die Koordinatenebene K 2 displaystyle K 2 nbsp mit Orthogonalitat eine frei bewegliche praeuklidische Ebene falls die Orthogonalitatskonstante quadratisch aquivalent zu 1 ist Literatur BearbeitenL Brocker Uber eine Klasse pythagoreischer Korper Archiv der Mathematik Volume 23 Number 1 Dezember 1972 Wendelin Degen Lothar Profke Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie Teubner Stuttgart 1976 ISBN 3 519 02751 8 Weblinks BearbeitenPythagorean Field bei PlanetMath englisch Einzelnachweise Bearbeiten Zur Schreibweise Im aktuellen Duden Das grosse Worterbuch der deutschen Sprache in zehn Banden ISBN 3 411 70360 1 wird das Adjektiv pythagoreisch in dieser Schreibweise gegeben und die Schreibweise pythagoraisch als osterreichische Sonderform bezeichnet In der deutschsprachigen mathematischen Fachliteratur kommen beide Schreibweisen ohne darauf bezogenen Bedeutungsunterschied vor In diesem Artikel wird nach Degen 1976 unter einer Quadratzahl immer ein Korperelement k 2 0 k K displaystyle k 2 neq 0 k in K nbsp verstanden die 0 also ausgeschlossen Degen 1976 S 146 Eric W Weisstein Pythagorean Field From MathWorld A Wolfram Web Resource Eric W Weisstein Pythagorean Extension From MathWorld A Wolfram Web Resource Brocker 1972 S 405 407 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pythagoreischer Korper amp oldid 218002176