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Quadratklasse In der Algebra sind n die Äquivalenzklassen einer bestimmten Äquivalenzrelation der quadratischen Äquivale

Quadratklasse

In der Algebra sind Quadratklassen die Äquivalenzklassen einer bestimmten Äquivalenzrelation, der quadratischen Äquivalenz in einer kommutativen Gruppe. Sie sind dann die Nebenklassen der Untergruppe der Quadrate in dieser Gruppe. Das Konzept der Quadratklassen und der quadratischen Äquivalenz wird unter anderem angewendet

Quadratklassen werden in der Literatur auch allgemeiner definiert, wobei sich die Folgerungen des gängigen, gruppentheoretischen Begriffs meist als der wesentliche Kern des allgemeineren Konzepts herauskristallisieren.

Definitionen Bearbeiten

Die allgemeine Definition einer „quadratischen Relation“ hat den Vorzug, dass sie sich immer dann sinnvoll anwenden lässt, wenn diese Definition zu einer Äquivalenzrelation führt. Die gruppentheoretische Definition zeigt, dass die quadratische Relation jedenfalls für kommutative Gruppen eine Äquivalenzrelation ist, und die Quadratklassen damit tatsächlich eine Einteilung der Gruppe in Nebenklassen einer Untergruppe sind. Damit können in diesem Spezialfall alle Sätze und Eigenschaften für Nebenklassen der Normalteiler einer beliebigen und der Untergruppen einer abelschen Gruppe auf Quadratklassen angewendet werden.

Allgemeine Definition Bearbeiten

Sei eine Menge mit der zweistelligen Verknüpfung und eine bezüglich dieser Verknüpfung abgeschlossene, nichtleere Teilmenge. Dann wird auf eine zweistellige Relation eingeführt durch die Definition

  • , falls es Elemente gibt, so dass ist.

Nun gilt:

  1. Die Relation ist durch ihre Definition stets reflexiv und symmetrisch.
  2. Sie ist sicher dann transitiv, wenn die Verknüpfung assoziativ auf und kommutativ auf ist.

In allen Fällen, in denen die Relation transitiv, also eine Äquivalenzrelation ist, nennt man zwei Elemente von , die die Relation erfüllen, quadratisch äquivalent (im weiteren Sinn) bezüglich der Teilmenge . Jede Äquivalenzklasse dieser Relation, die ein Element von enthält, heißt Quadratklasse (im engeren Sinn) von bezüglich .

Gruppentheoretische Definition Bearbeiten

Sei eine kommutative Gruppe. Dann ist die Quadratabbildung

ein Gruppenhomomorphismus. Dessen Bild, also die Menge der „Quadrate“ ist eine Untergruppe von und die Nebenklassen dieser Untergruppe heißen Quadratklassen von .

Das ist der Spezialfall der allgemeinen Definition, wenn dort gesetzt wird.

Wenn die Quadratabbildung surjektiv ist, gibt es nur eine Quadratklasse, die dann die ganze Gruppe umfasst. Dieser Fall tritt für endliche Gruppen genau dann ein, wenn die Abbildung injektiv ist und also nach dem Satz von Lagrange und den Sylow-Sätzen genau dann, wenn die Ordnung der Gruppe ungerade ist und daher kein Element eine gerade Ordnung hat.

Allgemeiner ist die Anzahl der Quadratklassen der Index der Quadrate in .

Quadratklassen in kommutativen Ringen Bearbeiten

Körper Bearbeiten

In einem Körper wird meist die quadratische Äquivalenz bezüglich der multiplikativen Gruppe als die quadratische Äquivalenz bezeichnet. Die Äquivalenzklasse (im weiteren Sinn) von 0 besteht nur aus dem Nullelement, alle anderen sind Quadratklassen von im Sinne der allgemeinen Definition und von im engeren Sinne und im Sinn der gruppentheoretischen Definition.

Integritätsbereich Bearbeiten

In einem Integritätsbereich (mit Einselement) wird in der Regel – wie in einem Körper – quadratische Äquivalenz bezüglich des kürzbaren, kommutativen Monoids als die quadratische Äquivalenz bezeichnet. Auch hier sind alle Äquivalenzklassen außer Teilmengen von und damit Quadratklassen von (im engeren Sinn).

Zudem ist hier die quadratische Äquivalenz mit der Einbettung des Integritätsbereiches in seinen Quotientenkörper verträglich: Zwei Elemente des Integritätsbereiches sind genau dann quadratisch äquivalent im Ring, wenn sie (genauer: die Bilder dieser Elemente unter der Einbettung) auch im Quotientenkörper (dort auch im Sinne der gruppentheoretischen Definition) quadratisch äquivalent sind. Darüber hinaus enthält jede Quadratklasse des Quotientenkörpers „ganze“ Elemente, also eingebettete Bilder von Elementen des Integritätsbereichs .

Beispiele Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Martin Aigner, Dieter Jungnickel (Hrsg.): Geometries and groups. Proceedings of a colloquium, held at the Freie Universität Berlin, May 1981. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1981, ISBN 3-540-11166-2.
  • Oleg Tomovich Ižboldin, Jean-Pierre Tignol (Hrsg.): Geometric methods in the algebraic theory of quadratic forms. summer school, Lens, 2000. Springer, Berlin/Heidelberg/New York/Hong Kong/London/Milan/Paris/Tokyo 2000, ISBN 3-540-20728-7 (Lecture notes in mathematics, Vol. 1835).
  • Helmut Hasse: Über die Darstellbarkeit von Zahlen durch quadratische Formen im Körper der rationalen Zahlen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1923 (Volltext beim Göttinger Digitalisierungszentrum).
  • Hanfried Lenz: Quadratische Formen und Kollineationsgruppen. In: Archiv der Mathematik. Band 18. Hannover 1962, S. 110–119, doi:10.1007/BF01650054.
  • Armin Leutbecher: Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1996, ISBN 3-540-58791-8.
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In der Algebra sind Quadratklassen die Aquivalenzklassen einer bestimmten Aquivalenzrelation der quadratischen Aquivalenz in einer kommutativen Gruppe Sie sind dann die Nebenklassen der Untergruppe der Quadrate in dieser Gruppe Das Konzept der Quadratklassen und der quadratischen Aquivalenz wird unter anderem angewendet in der linearen Algebra bei der affinen Klassifikation von Quadriken in einem affinen Raum uber einem beliebigen Korper in der projektiven Geometrie bei der projektiven Klassifikation von projektiven Quadriken in einem projektiven Raum uber einem beliebigen Korper in der synthetischen Geometriebei der Untersuchung von Orthogonalitatsrelationen siehe Praeuklidische Ebene bei der Untersuchung von moglichen Anordnungen von Korpern siehe pythagoreischer Korper und als Spezialfall euklidischer Korper in der Zahlentheorie bei der Untersuchung quadratischer diophantischer Gleichungen Quadratklassen werden in der Literatur auch allgemeiner definiert wobei sich die Folgerungen des gangigen gruppentheoretischen Begriffs meist als der wesentliche Kern des allgemeineren Konzepts herauskristallisieren Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Allgemeine Definition 1 2 Gruppentheoretische Definition 2 Quadratklassen in kommutativen Ringen 2 1 Korper 2 2 Integritatsbereich 3 Beispiele 4 LiteraturDefinitionen BearbeitenDie allgemeine Definition einer quadratischen Relation hat den Vorzug dass sie sich immer dann sinnvoll anwenden lasst wenn diese Definition zu einer Aquivalenzrelation fuhrt Die gruppentheoretische Definition zeigt dass die quadratische Relation jedenfalls fur kommutative Gruppen eine Aquivalenzrelation ist und die Quadratklassen damit tatsachlich eine Einteilung der Gruppe in Nebenklassen einer Untergruppe sind Damit konnen in diesem Spezialfall alle Satze und Eigenschaften fur Nebenklassen der Normalteiler einer beliebigen und der Untergruppen einer abelschen Gruppe auf Quadratklassen angewendet werden Allgemeine Definition Bearbeiten Sei M displaystyle M nbsp eine Menge mit der zweistelligen Verknupfung displaystyle cdot nbsp und A displaystyle A nbsp eine bezuglich dieser Verknupfung abgeschlossene nichtleere Teilmenge Dann wird auf M displaystyle M nbsp eine zweistellige Relation displaystyle sim nbsp eingefuhrt durch die Definition m 1 m 2 displaystyle m 1 sim m 2 nbsp falls es Elemente a 1 a 2 A displaystyle a 1 a 2 in A nbsp gibt so dass m 1 a 1 2 m 2 a 2 2 displaystyle m 1 cdot a 1 2 m 2 cdot a 2 2 nbsp ist Nun gilt Die Relation ist durch ihre Definition stets reflexiv und symmetrisch Sie ist sicher dann transitiv wenn die Verknupfung assoziativ auf M displaystyle M nbsp und kommutativ auf A displaystyle A nbsp ist Hinreichend fur die Transitivitat sind bereits die folgenden schwacheren Bedingungen Fur m M a b A displaystyle m in M a b in A nbsp existieren stets Elemente c d A displaystyle c d in A nbsp so dass m a 2 b 2 m c 2 displaystyle m cdot a 2 cdot b 2 m cdot c 2 nbsp Abschwachung der Assoziativitat und a 2 b 2 d 2 displaystyle a 2 cdot b 2 d 2 nbsp Abschwachung der Kommutativitat gilt dd In allen Fallen in denen die Relation transitiv also eine Aquivalenzrelation ist nennt man zwei Elemente von M displaystyle M nbsp die die Relation erfullen quadratisch aquivalent im weiteren Sinn bezuglich der Teilmenge A displaystyle A nbsp Jede Aquivalenzklasse dieser Relation die ein Element von A displaystyle A nbsp enthalt heisst Quadratklasse im engeren Sinn von M displaystyle M nbsp bezuglich A displaystyle A nbsp Gruppentheoretische Definition Bearbeiten Sei G displaystyle G cdot nbsp eine kommutative Gruppe Dann ist die Quadratabbildung q G G g g 2 displaystyle q colon G rightarrow G g mapsto g 2 nbsp ein Gruppenhomomorphismus Dessen Bild also die Menge G 2 g 2 g G displaystyle G 2 lbrace g 2 mid g in G rbrace nbsp der Quadrate ist eine Untergruppe von G displaystyle G nbsp und die Nebenklassen dieser Untergruppe heissen Quadratklassen von G displaystyle G nbsp Das ist der Spezialfall der allgemeinen Definition wenn dort M A G displaystyle M A G nbsp gesetzt wird Wenn die Quadratabbildung surjektiv ist gibt es nur eine Quadratklasse die dann die ganze Gruppe umfasst Dieser Fall tritt fur endliche Gruppen genau dann ein wenn die Abbildung injektiv ist und also nach dem Satz von Lagrange und den Sylow Satzen genau dann wenn die Ordnung der Gruppe ungerade ist und daher kein Element eine gerade Ordnung hat Allgemeiner ist die Anzahl der Quadratklassen der Index G G 2 displaystyle G G 2 nbsp der Quadrate in G displaystyle G nbsp Quadratklassen in kommutativen Ringen BearbeitenKorper Bearbeiten In einem Korper K displaystyle K cdot nbsp wird meist die quadratische Aquivalenz bezuglich der multiplikativen Gruppe K displaystyle K cdot nbsp als die quadratische Aquivalenz bezeichnet Die Aquivalenzklasse im weiteren Sinn von 0 besteht nur aus dem Nullelement alle anderen sind Quadratklassen von K displaystyle K nbsp im Sinne der allgemeinen Definition und von K displaystyle K cdot nbsp im engeren Sinne und im Sinn der gruppentheoretischen Definition Integritatsbereich Bearbeiten In einem Integritatsbereich R displaystyle R cdot nbsp mit Einselement wird in der Regel wie in einem Korper quadratische Aquivalenz bezuglich des kurzbaren kommutativen Monoids R 0 displaystyle R setminus lbrace 0 rbrace cdot nbsp als die quadratische Aquivalenz bezeichnet Auch hier sind alle Aquivalenzklassen ausser 0 displaystyle lbrace 0 rbrace nbsp Teilmengen von A R 0 displaystyle A R setminus lbrace 0 rbrace nbsp und damit Quadratklassen von R displaystyle R nbsp im engeren Sinn Zudem ist hier die quadratische Aquivalenz mit der Einbettung des Integritatsbereiches in seinen Quotientenkorper Quot R displaystyle operatorname Quot R nbsp vertraglich Zwei Elemente des Integritatsbereiches sind genau dann quadratisch aquivalent im Ring wenn sie genauer die Bilder dieser Elemente unter der Einbettung auch im Quotientenkorper dort auch im Sinne der gruppentheoretischen Definition quadratisch aquivalent sind Daruber hinaus enthalt jede Quadratklasse des Quotientenkorpers ganze Elemente also eingebettete Bilder von Elementen des Integritatsbereichs R displaystyle R nbsp Beispiele BearbeitenDer Korper der reellen Zahlen enthalt genau zwei Quadratklassen namlich die Menge der positiven und die der negativen reellen Zahlen Dies gilt allgemeiner fur jeden euklidischen Korper Der Korper der komplexen Zahlen enthalt nur eine Quadratklasse namlich C C 0 displaystyle mathbb C mathbb C setminus lbrace 0 rbrace nbsp Das gilt entsprechend fur jeden algebraisch abgeschlossenen Korper Der Integritatsbereich der ganzen Zahlen Z displaystyle mathbb Z nbsp enthalt unendlich viele Quadratklassen Zwei ganze Zahlen ausser 0 sind genau dann quadratisch aquivalent wenn ihr Produkt eine Quadratzahl also quadratisch aquivalent zu 1 ist Ein Reprasentantensystem bilden die quadratfreien Zahlen Der Restklassenkorper K Z p Z displaystyle K mathbb Z p mathbb Z nbsp enthalt nur eine Quadratklasse falls p 2 displaystyle p 2 nbsp ist und genau zwei Quadratklassen falls p displaystyle p nbsp eine ungerade Primzahl ist Fur die Geometrie ist weiterhin folgende Unterscheidung wichtig Ist die ungerade Primzahl p displaystyle p nbsp von der Form p 4 k 1 k N displaystyle p 4 cdot k 1 k in mathbb N nbsp dann sind 1 und 1 quadratisch aquivalent fur p 4 k 3 k N 0 displaystyle p 4 cdot k 3 k in mathbb N 0 nbsp liegen sie in unterschiedlichen Quadratklassen Siehe dazu Quadratischer Rest Quadratisches Reziprozitatsgesetz und fur eine geometrische Anwendung praeuklidische Ebene Alle endlichen Korper F 2 n displaystyle mathbb F 2 n nbsp mit der Charakteristik 2 besitzen genau eine Quadratklasse Daher ist jede reinquadratische Gleichung X 2 c 0 displaystyle X 2 c 0 nbsp in diesen Korpern losbar und hat durch den Frobeniushomomorphismus genau eine doppelt zahlende Losung Ein nichtkommutatives Beispiel ergibt sich fur die Quaternionengruppe Q 8 1 i j k displaystyle Q 8 lbrace pm 1 pm i pm j pm k rbrace nbsp Obwohl diese Gruppe nicht kommutativ ist sind die 4 Nebenklassen des Zentrums Z Q 8 Q 8 2 1 displaystyle Z Q 8 Q 8 2 lbrace pm 1 rbrace nbsp Quadratklassen der Gruppe bezuglich der Gruppe A Q 8 displaystyle A Q 8 nbsp selbst im Sinne der allgemeinen Definition Da diese Gruppe auch multiplikative Gruppe eines Quasikorpers ist der in Ternarkorper Beispiele der Ordnung 9 beschriebene Quasikorper J 9 displaystyle J 9 nbsp sind diese Quadratklassen in der Synthetischen Geometrie von Interesse Fur den Quasikorper J 9 displaystyle J 9 nbsp ist 0 Z Q 8 displaystyle lbrace 0 rbrace cup Z Q 8 nbsp zugleich der Kern Literatur BearbeitenMartin Aigner Dieter Jungnickel Hrsg Geometries and groups Proceedings of a colloquium held at the Freie Universitat Berlin May 1981 Springer Berlin Heidelberg New York 1981 ISBN 3 540 11166 2 Oleg Tomovich Izboldin Jean Pierre Tignol Hrsg Geometric methods in the algebraic theory of quadratic forms summer school Lens 2000 Springer Berlin Heidelberg New York Hong Kong London Milan Paris Tokyo 2000 ISBN 3 540 20728 7 Lecture notes in mathematics Vol 1835 Helmut Hasse Uber die Darstellbarkeit von Zahlen durch quadratische Formen im Korper der rationalen Zahlen In Journal fur die reine und angewandte Mathematik 1923 Volltext beim Gottinger Digitalisierungszentrum Hanfried Lenz Quadratische Formen und Kollineationsgruppen In Archiv der Mathematik Band 18 Hannover 1962 S 110 119 doi 10 1007 BF01650054 Armin Leutbecher Zahlentheorie Eine Einfuhrung in die Algebra Springer Berlin Heidelberg New York 1996 ISBN 3 540 58791 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quadratklasse amp oldid 217983954