Quadratisches Reziprozitätsgesetz Das quadratische Reziprozitätsgesetz gelegentlich auch Gaußsches Reziprozitätsgesetz i

Fragestellung und Grundlagen Bearbeiten

Das quadratische Reziprozitätsgesetz motiviert sich aus der Aufgabe, schnell über die Lösbarkeit quadratischer Kongruenzen entscheiden zu können. Im Falle von Primzahlen entspricht dies einer quadratischen Gleichung über einem endlichen Körper. Für ein genaues Verständnis seiner Aussage werden die folgenden Grundlagen zusammengefasst.

Endliche Körper Bearbeiten

In der Mathematik bezeichnet ein Körper eine Menge, innerhalb der, einfach gesprochen, mit den vier Grundrechenarten gerechnet werden kann. Dabei sollen die aus der Schulmathematik bekannten Regeln des Kommutativgesetzes (Vertauschbarkeit bei „Plus“ und „Mal“), Assoziativgesetzes (Vertauschbarkeit von Klammern bei „nur Plus“ oder „nur Mal“) und Distributivgesetzes („Ausklammern“ und „Ausmultiplizieren“) gelten. Außerdem muss stets das Element (neutrales Element der Addition) und (neutrales Element der Multiplikation) Teil eines Körpers sein. Insbesondere soll durch jede Zahl ungleich der dividiert werden können. Wichtige Beispiele sind der Körper der reellen Zahlen (Bezeichnung: ) oder der Körper der rationalen Zahlen (Bezeichnung: ).

Eine wichtige Forderung ist, dass keine der erlaubten Rechenoperationen dazu führt, dass man die den Körper definierende Zahlenmenge verlässt. So ist es etwa in Körpern im Allgemeinen nicht erlaubt, Quadratwurzeln zu ziehen. Es ist ein Element von , kurz , aber ist eine irrationale Zahl, also . Ähnlich besitzt keine Quadratwurzel in den reellen Zahlen. Grundsätzlich ist das Konzept einer Quadratwurzel in einem Körper aber indirekt erklärt, da die umgekehrte Operation, nämlich die Multiplikation einer Zahl mit sich selbst, in Körpern definiert ist, wobei die Existenz eine andere Frage ist.

Eine Fragestellung aus der Algebra ist, wie Körper aussehen können, also in welchen Typen von Mengen ein „abgeschlossenes Rechnen“ möglich ist. So kann man weitere nichtrationale Zahlen zu hinzunehmen, um größere Körper zu konstruieren. Ein Beispiel ist der Körper , der aus allen Zahlen mit besteht (siehe auch: Zahlkörper, und zum Beispiel Quadratischer Zahlkörper). Rechnungen wie

sind Prototypen für die Abgeschlossenheit der vier Grundrechenarten in . Es ist , zusammen mit und , ein weiteres Beispiel für einen Körper mit unendlich vielen Elementen. Bemerkenswert ist es aber, dass auch Körper mit nur endlich vielen Elementen existieren. Das Rechnen in diesen Bereichen weicht, obwohl die Gesetze letztlich die gleichen sind, von der „klassischen Anschauung“ ab. Das beginnt damit, dass die Elemente

nicht alle verschieden sein können, da nur endlich viele Elemente hat. Da man stets hat (sonst wäre , und diesen trivialen Fall schließt man aus), gibt es damit eine kleinste natürliche Zahl , sodass

in erstmals erfüllt ist. Diese Kennzahl wird Charakteristik des Körpers genannt, also . Sie ist stets eine Primzahl, denn wäre zum Beispiel zusammengesetzt, so müsste sein, und es wäre bereits oder , also , was der Annahme wegen der Minimalität der Charakteristik direkt widerspräche.

Um das Rechnen in endlichen Körpern genau zu verstehen, ist der Umgang mit Resten bei Divisionsaufgaben notwendig. Nichttriviale Reste entstehen bei Divisionen, die nicht aufgehen. Etwa ist geteilt durch gleich mit Rest . In den einfachsten Beispielen endlicher Körper wird mit genau diesen Resten gerechnet. Dies kann anhand eines Beispiels demonstriert werden: Es gibt genau fünf mögliche Reste bei der Division durch , und diese korrespondieren zu

mit Menge der ganzen Zahlen, und (d. h. alle ganzen Vielfache der Zahl ). Dabei bedeuten die Über-Striche, dass alle Zahlen, die bei Division mit den entsprechenden Rest haben, gemeinsam bzw. gebündelt betrachtet werden. Etwa besteht

aus genau jenen Zahlen, die bei Division mit den Rest haben. Die Zahlen von bis sind ferner lediglich Repräsentanten einer ganzen Restklasse, zum Beispiel gelten die Gleichheiten

Die jeweiligen Repräsentanten ergeben bei Division durch alle denselben Rest und gehören so zur selben Restklasse. Man sieht damit, dass additive Vielfache von in diesem Beispiel für die Zugehörigkeit zur gleichen Restklasse stets keine Rolle spielen. Mit anderen Worten: Während eine ganze Zahl stets erst durch ihre Zählgröße vollständig bestimmt ist, handelt es sich bei Restklassen um reduzierte Zahlen. Nur noch der Rest ist entscheidend, nicht mehr die Größe.

Mit Restklassen modulo kann nun in den vier Grundrechenarten gerechnet werden. Dabei gelten im Grunde dieselben Regeln wie beim Rechnen in den ganzen Zahlen : Zum Beispiel ist

Wichtig ist an dieser Stelle, zu zeigen, dass dies wohldefiniert ist, dass also bei der Auswahl anderer Repräsentanten stets das gleiche Ergebnis herauskommt. Da die Differenz zweier Repräsentanten aber stets durch teilbar ist, liegt dies auf der Hand: Zum Beispiel ist (vgl. oberes Beispiel)

aber auch

Ganz ähnliche Überlegungen gelten bei der Wohldefiniertheit der Multiplikation.

Auch die Division ist innerhalb von möglich (schließt man aus), denn um allgemein dividieren zu können, ist für jedes lediglich die Existenz eines Inversen mit

vonnöten (wie etwa und im Fall der rationalen Zahlen). Für den Nachweis, dass es stets ein Inverses gibt, ist entscheidend, dass eine Primzahl ist: Teilt eine Primzahl ein Produkt zweier ganzer Zahlen, muss bereits mindestens einer der Faktoren durch diese teilbar sein. Hat man dies zur Hand, ist die Argumentation die folgende: Für ein Element , das man invertieren möchte, betrachtet man alle möglichen Vielfachen (ungleich Null):

Die Restklasse taucht in dieser Liste nicht auf, denn keine der Zahlen ist durch teilbar. Ferner sind alle Einträge der Liste paarweise verschieden, denn es ist gleichbedeutend damit, dass , ergo . Da nicht durch teilbar ist, muss durch teilbar sein. Die Differenz liegt nach Wahl der obigen Repräsentanten im Intervall , und nur die ist dort durch teilbar. Also ist . Es muss also die Restklasse irgendwo in der obigen Liste auftauchen und ein Inverses ist gefunden. Zum Beispiel ist ein Inverses zu modulo , da . Da im Wesentlichen „weiterhin in den ganzen Zahlen gerechnet wird“, bleiben Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz erhalten, womit die Restklassenmenge in der Tat einen Körper bildet.

Diese ganze Argumentation beschränkt sich nicht auf die Primzahl , sondern es kann zu jeder Primzahl ein entsprechender endlicher Körper angegeben werden:

usw. Dabei müssen die durch die Über-Striche angedeuteten Restklassen natürlich stets auf die betroffene Primzahl angewendet werden.

Modulare Arithmetik Bearbeiten

Die modulare Arithmetik bezeichnet im Wesentlichen das Rechnen mit Restklassen, und damit verbundene Themenfelder, wie etwa Gleichungen. Für eine natürliche Zahl , den „Modul“, bezeichnet man zwei ganze Zahlen und als kongruent modulo , falls deren Differenz teilt, also in Zeichen

Man schreibt in diesem Falle die Kongruenz auch als

gelesen als: „ kongruent modulo “. Zum Beispiel gilt

denn es teilt die Differenz . Sind zwei ganze Zahlen kongruent modulo , gehören sie zur selben Restklasse bei der Division durch (und umgekehrt). Man schreibt dann , und mit Restklassen kann wie gewohnt gerechnet werden (siehe vorheriger Abschnitt in Bezug auf endliche Körper). Ist eine Primzahl, so bildet die Menge der Restklassen modulo  einen Körper . Ist hingegen zusammengesetzt, handelt es sich lediglich um einen kommutativen Ring. Kommutative Ringe ähneln in ihren Eigenschaften den Körpern (algebraische Strukturen mit Addition und Multiplikation), jedoch ist nicht immer eine Division möglich. Ein Beispiel ist , also die Menge der Restklassen modulo  (es ist keine Primzahl!). Es ist hier keine Division durch möglich, denn . Aus einer „Division“ beider Seiten durch folgte dann , was nicht sein kann, da nicht durch teilbar ist. Elemente eines Rings, durch die trotzdem dividiert werden kann (dazu zählt immer die Eins), heißen auch Einheiten (des Rings). Die Einheiten des Rings der ganzen Zahlen sind , und des Rings gleich (wie gesehen, ist neben auch modulo keine Einheit, denn durch beide Elemente kann nicht dividiert werden).

Quadratische Gleichungen Bearbeiten

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form

mit einer Unbekannten . Es handelt sich also um einen Spezialfall einer algebraischen Gleichung, bei der die Unbekannte einfach mit sich selbst multipliziert werden kann. Grundsätzlich können algebraische Gleichungen, die sich auf der Anwendung der vier Grundrechenarten zusammensetzen, über Körpern studiert werden, wo all diese Rechenoperationen einen Sinn ergeben. In der Schulmathematik wird beispielsweise der Körper zugrunde gelegt. Es ist also , und man ist an Lösungen von in den reellen Zahlen interessiert. Allerdings kann die obere Gleichung, falls auch lediglich nur über den rationalen Zahlen betrachtet werden. Zum Beispiel hat die Gleichung über den reellen Zahlen die Lösungen , aber über den rationalen Zahlen keine Lösung. In Algebra und Zahlentheorie ist man vor allen Dingen an einem schnellen Verfahren interessiert, zu entscheiden, ob eine algebraische Gleichung über ihrem Körper überhaupt lösbar ist. Es bietet sich an, hier über „Kennzahlen“ zu arbeiten. Der obigen quadratischen Gleichung kann die Zahl

zugeordnet werden, die sich aus den Koeffizienten und schnell berechnen lässt. Diese wird auch als Diskriminante (lateinisch discriminare = unterscheiden) der Gleichung bezeichnet. Über die Mitternachtsformel, die potenzielle Lösungen als

identifiziert, erkennt man, dass die Gleichung genau dann Lösungen im betreffenden Körper hat, falls es Sinn macht, die Quadratwurzel aus der Diskriminante zu ziehen. Genauer gilt: Es hat

• genau dann zwei verschiedene Lösungen, falls und ein Quadrat im zugrunde liegenden Körper ist (also der Term im Körper enthalten ist und nicht gleich 0 ist),
• genau dann eine („doppelte“) Lösung, falls (denn es gilt stets , und ist immer Teil des Körpers),
• genau dann keine Lösung, falls kein Quadrat im zugrunde liegenden Körper ist.

Im Fall des Körpers sind also lediglich die Fälle , und zu unterscheiden, da eine reelle Zahl ungleich genau dann eine Quadratwurzel in hat, wenn sie positiv ist. Bei den rationalen Zahlen hingegen ist die Unterscheidung subtiler. Wie bereits oben gesehen, hat die Gleichung keine rationalen Lösungen, und in der Tat ist ihre Diskriminante zwar positiv, aber kein Quadrat einer rationalen Zahl. Dies ist ein erster Hinweis darauf, dass die Arithmetik in den reellen Zahlen einfacher ist als jene in den rationalen Zahlen.

Neben den reellen oder rationalen Zahlen, können quadratische Gleichungen des Typs

über dem Körper (mit ) studiert werden. Das quadratische Reziprozitätsgesetz kann dabei helfen, schnell zu entscheiden, ob Lösbarkeit vorliegt, oder nicht. Dabei muss der Fall Charakteristik 2 (insbesondere ) gesondert betrachtet werden, da in der Mitternachtsformel durch , also in solchen Körpern durch dividiert wird, was nicht erlaubt ist. Daher ist die Theorie quadratischer Gleichungen in solchen Körpern anders.

Quadratische Reste und das Legendre-Symbol Bearbeiten

Um zu entscheiden, ob eine quadratische Gleichung mit über mit einer Primzahl lösbar ist, reicht es aus, zu entscheiden, ob die Diskriminante ein Quadrat in ist. Der Fall spielt eine Sonderrolle, da in der Mitternachtsformel durch geteilt wird, womit man im Fall aber durch Null teilen würde, was nicht zulässig ist. Dies motiviert den Begriff des quadratischen Rests. Damit sind jene Elemente des endlichen Körpers gemeint, die ungleich Null sind und durch Quadrieren eines (anderen) Elements aus entstehen. Mit anderen Worten, eine zu teilerfremde Zahl ist genau dann quadratischer Rest modulo , falls eine Quadratzahl existiert, sodass durch teilbar ist. Aus quadratischen Resten kann im betroffenen Körper eine Quadratwurzel gezogen werden, was bei der Auflösung quadratischer Gleichungen von Bedeutung ist. Elemente aus , die nicht Null und keine quadratischen Reste sind, bezeichnet man auch als quadratische Nichtreste.

Ist zum Beispiel , so bekommt man durch Quadrieren der Restklassen modulo :

Es sind also die Elemente und die quadratischen Reste modulo . Somit ist zum Beispiel die Gleichung

nicht in lösbar, denn

ist quadratischer Nichtrest modulo , und folglich kann in der Mitternachtsformel über keine Quadratwurzel aus der Diskriminante gezogen werden. Im Gegensatz dazu ist

in lösbar, denn es ist

quadratischer Rest modulo . In der Tat ist etwa eine Lösung, denn modulo .

Bemerkenswerterweise spaltet sich die Menge der quadratischen Reste und Nichtreste in genau zwei gleich große Mengen mit der Anzahl der Elemente , wenn die Primzahl ungerade ist. Wie oben gesehen im Fall , sind es die Mengen und mit je fünf Elementen. Allgemein lassen sich die quadratischen Reste modulo , wie oben, durch Betrachtung der Elemente

vollständig bestimmen. Weitere Reste lassen sich folgender Tabelle entnehmen, die für alle Primzahlen bis vollständig ist:

Verlässt man die modulare Arithmetik und geht wieder zu den ganzen Zahlen über, so ist genau dann quadratischer Rest modulo einer Primzahl , falls eine Quadratzahl existiert, sodass durch teilbar ist.

Aus mathematischer Sicht ist es sinnvoll, die quadratischen Reste von den Nichtresten zu „trennen“. Dabei wird der eine besondere Rolle zugeordnet. Zu diesem Zweck definiert man das Legendre-Symbol, benannt nach Adrien-Marie Legendre. Dieses ist eine mathematische Funktion mit Definitionsbereich und Zielmenge , die einem quadratischen Rest den Wert („positiv“), einem Nichtrest („negativ“) und der den Wert zuordnet. In Symbolen setzt man:

Hierbei bedeutet den größten gemeinsamen Teiler. Es ist nicht als Bruch zu verstehen. In der Literatur wird deshalb gelegentlich auch die Notation genutzt, um Verwechslungen zu vermeiden. Auf natürliche Weise kann das Legendre-Symbol auch als Funktion auf den ganzen Zahlen aufgefasst werden, die dann, wegen ihrer ursprünglichen Definition auf Restklassen, -periodisch ist. Es ist dann und letzterer Ausdruck wird am häufigsten verwendet.

Es gelten die folgenden sehr wichtigen Regeln:

• Das Produkt zweier quadratischer Reste ist wieder ein quadratischer Rest.
• Das Produkt eines quadratischen Rests und eines quadratischen Nichtrests ist ein quadratischer Nichtrest.
• Das Produkt zweier quadratischer Nichtreste ist ein quadratischer Rest.

Anstatt in Resten und Nichtresten zu denken, kann durch diese Regeln auch zu und übergegangen werden. Analog werden in dieser Sichtweise die Regeln , und respektiert. Das Legendre-Symbol dient nun als ein „Übersetzer“ zum Beispiel der Regel „Nichtrest mal Nichtrest gleich Rest“ in „negativ mal negativ gleich positiv“. Insbesondere folgt, dass das Legendre-Symbol vollständig multiplikativ ist, es gilt also für alle die Rechenregel

Aussage des quadratischen Reziprozitätsgesetzes Bearbeiten

Im Folgenden bezeichnet mit einer ganzen Zahl und einer Primzahl das Legendre-Symbol. Das quadratische Reziprozitätsgesetz gibt für zwei verschiedene ungerade Primzahlen und eine einfache Formel, die beiden Größen und ineinander umzurechnen. Damit kann die Frage, ob ein quadratischer Rest modulo  ist, durch Beantwortung der „reziproken“ Frage, ob ein quadratischer Rest modulo  ist, ggf. schnell beantwortet werden.

Das quadratische Reziprozitätsgesetz besagt, dass für zwei verschiedene ungerade Primzahlen  und  gilt:  Erklärung zu : Der Faktor  ist genau dann eine gerade Zahl, wenn die ungerade Zahl  bei Division durch  den Rest  hat. Zum Beispiel ist  (gerade), aber  (ungerade), und es hat  den Rest  bzw.  den Rest  bei Division durch . Ein Produkt  aus ganzen Zahlen ist schließlich genau dann gerade, wenn mindestens ein Faktor gerade ist, und  ist demnach genau dann positiv, wenn mindestens einer der Faktoren  oder  gerade ist. 

Zudem existieren zwei sog. Ergänzungssätze, die eine direkte Berechnung der Werte bzw. für ungerade Primzahlen ermöglichen.

1. Ergänzungssatz: Für jede ungerade Primzahl  gilt:  

2. Ergänzungssatz: Für jede ungerade Primzahl  gilt:  Erklärung zu : Es gilt nach der dritten binomischen Formel . Da  ungerade ist, ist einer der Faktoren  durch  teilbar, und der andere durch . Somit ist  stets eine ganze Zahl. Mit  kann aber erreicht werden, dass der Faktor  sogar durch  teilbar ist, womit  eine gerade Zahl ist. In den Fällen  kann dies nicht erreicht werden, und  ist ungerade. 

Sind und zwei verschiedene ungerade Primzahlen, so gilt folglich:

Denn aus folgt bereits .

Geschichte Bearbeiten

Die ersten Andeutungen des quadratischen Reziprozitätsgesetzes finden sich in den Arbeiten von Pierre de Fermat. Fermats Ergebnisse über die Darstellung ganzer Zahlen als Summe zweier Quadrate führten direkt zu dem Problem der Bestimmung des quadratischen Charakters von , also dem Auffinden von Fermat konnte diejenigen ungeraden Primzahlen charakterisieren, die sich als Summe gewisser Kombinationen aus Quadratzahlen schreiben lassen. So zeigte er

Zum Beispiel zeigen die Gleichungen

die ersten ungeraden Primzahlen, die als Summe zweier Quadrate geschrieben werden können. Es handelt sich dabei genau um die Primzahlen, die bei Division durch den Rest besitzen. Fermat untersuchte allgemeiner auch die Darstellung von Primzahlen durch quadratische Formen der Form , wobei . Er behauptete etwa, dass

deutete mögliche Beweise allerdings nur an. Wenn , kann also gezeigt werden, dass eine Primzahl , die teilt, dabei aber weder noch teilt, selbst die Form für ein Paar von ganzen Zahlen und hat. Aus dieser Tatsache kann gefolgert werden, dass genau dann durch die quadratischen Formen oder dargestellt werden kann, wenn bzw. ein quadratischer Rest von ist. Zum Beispiel ist die Primzahl von der Form , denn

In der Tat ist ein quadratischer Rest modulo , denn es teilt die Zahl . Aus diesem Grund waren auch die expliziten Ausdrücke und schon bei Fermat von Bedeutung.

Erstmals entdeckt wurde das quadratische Reziprozitätsgesetz von Leonhard Euler, der es durch empirische Nachforschungen als richtig befand, jedoch keinen Beweis vorlegen konnte. Leopold Kronecker hat darauf verwiesen, dass es unter anderem schnell aus einer Vermutung Eulers aus dessen Schrift Theoremata circa divisores numerorum in hac forma contentorum (1744–1746) folgt. Anschließend widmete Euler sich über zwei Jahrzehnte anderen Themen. Erst die Forschungen von Joseph-Louis Lagrange in den Jahren 1773 bis 1775, insbesondere seine Arbeiten zu einer allgemeinen Theorie der binären quadratischen Formen, bewegten Euler schließlich dazu, sich wieder mit dem Studium der quadratischen Reste detailliert zu befassen. Lagrange wollte die Forschung zu den von Fermat und Euler angestoßenen mathematischen Ideen weiter vorantreiben. Durch explizite Bestimmung von , und für ungerade Primzahlen , konnte er die Primzahlen mit Darstellung sowie charakterisieren. Zum Schluss seiner Ausführungen fasste Lagrange dann alles zusammen, was er über quadratische Reziprozität sagen konnte. Er formulierte seine Resultate stets in Termen des sog. Euler-Kriteriums

das eine Verallgemeinerung des kleinen Satzes von Fermat darstellt. Er hielt fest, dass für eine Primzahl von der Form der Wert bereits durch teilbar und für solche der Form entsprechend durch teilbar ist. Lagrange gilt damit als Entdecker des 2. Ergänzungssatzes. In seinem Paper Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos, das 1783 posthum veröffentlicht wurde, gab Euler schließlich eine Formulierung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, die der heute am häufigsten verwendeten sehr nahe kommt. In moderner Notation lautete sie:

Dies besagt, dass der Wert des Legendre-Symbols nur von der Restklasse modulo  abhängt, und dass der Wert für alle Primzahlen gleich ist, die bei Division durch denselben Rest bzw. haben. Es konnte elementar gezeigt werden, dass diese von Euler formulierte Version äquivalent zum quadratischen Reziprozitätsgesetz ist.

Noch im selben Jahrhundert wurde das quadratische Reziprozitätsgesetz von Adrien-Marie Legendre wiederentdeckt und 1785 in seiner Arbeit Recherches d’Analyse Indéterminée veröffentlicht. Legendre konnte es mit Hilfe seines in dieser Arbeit publizierten Beweises des Satzes von Legendre in Spezialfällen zeigen. Sein Satz befasst sich mit hinreichenden und notwendigen Bedingungen für die Existenz von ganzzahligen Lösungen einer Gleichung

Er konnte unter Betrachtung der speziellen Gleichung

mit Primzahlen und zeigen, dass falls ein quadratischer Rest modulo  ist, auch quadratischer Rest modulo  ist. Legendre war ferner nachweislich von Lagrange beeinflusst, jedoch formulierte er den zweiten Ergänzungssatz auf andere Weise. So sprach er nicht über „Teilbarkeit von durch “, sondern benutzte die Notation , wobei er jedoch die Leser warnte, dass diese Gleichheit nur bis auf Vielfache von zu verstehen sei. Nach diesen Ausführungen zum Spezialfall des 2. Ergänzungssatzes formulierte Legendre die, abgesehen von der Notation, heute geläufige Fassung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes:

Der Beweis von Legendre enthielt jedoch Lücken. Offenbar unzufrieden über die bisherigen Ergebnisse, veröffentlichte Legendre 1798 eine weit ambitioniertere Arbeit mit dem Titel Essai sur la Théorie des Nombres, in der er unter anderem die bis heute geläufige Notation für das Legendre-Symbol einführte. Im Kapitel mit dem Titel „Satz, der ein Gesetz der Reziprozität enthält, das zwischen zwei beliebigen Primzahlen besteht“, formulierte Legendre schließlich die Regel

von der die heutige Notation abstammt. Jedoch beinhaltete der Essai lediglich eine Wiederholung des unvollständigen Beweises von 1785. Dieser beruhte auf der Annahme, es gebe zu jeder Primzahl der Form eine andere Primzahl der Form , sodass ( p q ) wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele