Dieser Artikel behandelt quadratische Funktionen mit einer Variablen Fur quadratische Funktionen mit mehreren Variablen siehe quadratische Form Eine quadratische Funktion auch ganzrationale Funktion zweiten Grades ist eine Funktion die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt also von der FormDie Normalparabel der Graph der Quadratfunktion f x a x 2 b x c displaystyle f x ax 2 bx c mit a 0 displaystyle a neq 0 ist Der Graph ist die Parabel mit der Gleichung y a x 2 b x c displaystyle y ax 2 bx c Fur a 0 displaystyle a 0 ergibt sich eine lineare Funktion Die Funktionen der Form f x a x 2 displaystyle f x ax 2 mit a 0 displaystyle a neq 0 also b c 0 displaystyle b c 0 heissen spezielle quadratische Funktionen Die Funktion f displaystyle f mit f x x 2 displaystyle f x x 2 heisst Quadratfunktion Inhaltsverzeichnis 1 Quadratfunktion und spezielle quadratische Funktion 2 Allgemeine quadratische Funktion 2 1 Parameter a 2 2 Parameter c 2 3 Parameter b 2 4 Scheitelpunkt 2 4 1 Bestimmung der Scheitelpunktform mit quadratischer Erganzung 2 4 2 Bestimmung des Scheitelpunkts mit Hilfe der Ableitung 2 4 3 Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen 2 5 Schnittpunkt mit der y Achse 2 6 Nullstellen einer quadratischen Funktion 2 7 Umkehrfunktion 2 8 Nullstellen und Linearfaktoren 2 9 Schnittpunkt von Parabel und Gerade 2 10 Schnittpunkt zweier Parabeln 3 Quadratisches Polynom 4 Literatur 5 WeblinksQuadratfunktion und spezielle quadratische Funktion BearbeitenDie Funktion f displaystyle f nbsp mit der Zuordnungsvorschrift x x 2 displaystyle x mapsto x 2 nbsp heisst Quadratfunktion Ihr Graph ist eine nach oben geoffnete zur y Achse symmetrische Parabel deren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt die Normalparabel Eine Funktionen der Form f x a x 2 displaystyle f x ax 2 nbsp mit a 0 displaystyle a neq 0 nbsp heisst spezielle quadratische Funktion Ihr Graph ist eine zur y displaystyle y nbsp Achse symmetrische Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung Diese entsteht aus der Normalparabel durch Strecken oder Stauchen in Richtung der y displaystyle y nbsp Achse und gegebenenfalls Spiegeln an der x displaystyle x nbsp Achse a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp Die Parabel ist nach oben geoffnet a lt 0 displaystyle a lt 0 nbsp Die Parabel ist nach unten geoffnet a lt 1 displaystyle a lt 1 nbsp Der Graph ist in Richtung der y displaystyle y nbsp Achse gestaucht d h in der Lange zusammengedruckt wodurch er breiter erscheint und flacher ist a gt 1 displaystyle a gt 1 nbsp Der Graph ist in Richtung der y displaystyle y nbsp Achse gestreckt d h in die Lange gezogen wodurch er schmaler erscheint und steiler ist Fur a 1 displaystyle a 1 nbsp ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der x displaystyle x nbsp Achse gespiegelt nbsp Spiegelung bei Vorzeichenwechsel a displaystyle a nbsp nbsp Stauchung bei a lt 1 displaystyle a lt 1 nbsp nbsp Streckung bei a gt 1 displaystyle a gt 1 nbsp Allgemeine quadratische Funktion BearbeitenDie Zuordnungsvorschrift der allgemeinen quadratischen Funktion ist x a x 2 b x c displaystyle x mapsto ax 2 bx c nbsp Die Koeffizienten a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp bestimmen den Wertebereich und die Form des Graphen Parameter a Bearbeiten Wie der Wert von a displaystyle a nbsp die Form des Graphen verandert kann man am besten erkennen wenn man b 0 displaystyle b 0 nbsp und c 0 displaystyle c 0 nbsp setzt Man erhalt dann eine gestreckte oder gestauchte und gegebenenfalls an der x displaystyle x nbsp Achse gespiegelte Normalparabel a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp Der Graph ist nach oben geoffnet a lt 0 displaystyle a lt 0 nbsp Der Graph ist nach unten geoffnet a lt 1 displaystyle a lt 1 nbsp Der Graph ist in Richtung der y displaystyle y nbsp Achse gestaucht d h in der Lange zusammengedruckt wodurch er breiter erscheint und flacher ist a gt 1 displaystyle a gt 1 nbsp Der Graph ist in Richtung der y displaystyle y nbsp Achse gestreckt d h in die Lange gezogen wodurch er schmaler erscheint und steiler ist Fur a 1 displaystyle a 1 nbsp ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der x displaystyle x nbsp Achse gespiegelt Parameter c Bearbeiten Es gilt f 0 c displaystyle f 0 c nbsp Der Parameter c displaystyle c nbsp ist also der y displaystyle y nbsp Wert des Schnittpunkts der Parabel mit der y displaystyle y nbsp Achse Eine Veranderung des Parameters c displaystyle c nbsp bewirkt eine Verschiebung in y displaystyle y nbsp Richtung Wird c displaystyle c nbsp um eins erhoht dann wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben Wird c displaystyle c nbsp um eins verringert wird der Graph dagegen um eine Einheit nach unten verschoben Parameter b Bearbeiten Der Parameter b displaystyle b nbsp gibt die Steigung der Parabel im Schnittpunkt mit der y displaystyle y nbsp Achse an Insbesondere kann man am Vorzeichen von b displaystyle b nbsp erkennen ob die y displaystyle y nbsp Achse mit dem fallenden oder dem ansteigenden Ast der Parabel geschnitten wird Hieraus lassen sich wiederum Ruckschlusse uber die Zahl und die mogliche Lage von Nullstellen ziehen Eine Veranderung des Parameters b displaystyle b nbsp bewirkt eine Verschiebung sowohl in x displaystyle x nbsp als auch in y displaystyle y nbsp Richtung Wird b displaystyle b nbsp um eins erhoht dann wird der Graph um 1 2 a displaystyle 1 2a nbsp Einheiten nach links und 2 b 1 4 a displaystyle 2b 1 4a nbsp nach unten verschoben Wird b displaystyle b nbsp um eins verringert wird der Graph dagegen um 1 2 a displaystyle 1 2a nbsp Einheiten nach rechts und 2 b 1 4 a displaystyle 2b 1 4a nbsp nach oben verschoben Scheitelpunkt Bearbeiten Der Scheitelpunkt ist massgeblich fur die Lage der Parabel und reprasentiert entweder das absolute Minimum falls a displaystyle a nbsp positiv ist oder das absolute Maximum wenn a displaystyle a nbsp negativ ist Die Koordinaten des Scheitelpunkts lassen sich direkt ablesen wenn der Funktionsterm in der Scheitelpunktform vorliegt f x a x x s 2 y s displaystyle f x a left x x s right 2 y s nbsp Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten S x s y s displaystyle S x s y s nbsp Der Graph ist achsensymmetrisch zu einer Parallele zur y displaystyle y nbsp Achse durch x s displaystyle x s nbsp Zur Bestimmung des Scheitelpunkts bzw der Scheitelpunktform gibt es mehrere Methoden Bestimmung der Scheitelpunktform mit quadratischer Erganzung Bearbeiten Die Scheitelpunktform kann aus der Darstellung f x a x 2 b x c displaystyle f x ax 2 bx c nbsp durch quadratische Erganzung bestimmt werden Beispiel Bestimmung der Scheitelform der quadratischen Funktion f x 2 x 2 4 x 5 displaystyle f x 2x 2 4x 5 nbsp y 2 x 2 4 x 5 displaystyle y 2x 2 4x 5 nbsp Die ursprungliche Funktionsgleichungy 2 x 2 2 x 5 displaystyle y 2 left x 2 2x right 5 nbsp Der Faktor a displaystyle a nbsp vor dem x 2 displaystyle x 2 nbsp wurde ausgeklammert wobei das konstante Glied 5 ausgeschlossen bleibt y 2 x 2 2 x 1 1 5 displaystyle y 2 left x 2 2x 1 1 right 5 nbsp Es wird eine quadratische Erganzung zu x 2 2 x displaystyle x 2 2x nbsp durchgefuhrt y 2 x 1 2 1 5 displaystyle y 2 left left x 1 right 2 1 right 5 nbsp Durch die quadratische Erganzung ist es leicht moglich mithilfe der binomischen Formeln aus einem Teil des Terms ein Quadrat herauszuziehen y 2 x 1 2 2 5 displaystyle y 2 left x 1 right 2 2 5 nbsp Nun wurde noch die Klammer mit dem Faktor 2 wieder aufgelost um den Term zu vereinfachen y 2 x 1 2 3 displaystyle y 2 left x 1 right 2 3 nbsp In der Endform lasst sich nun der Scheitelpunkt S 1 3 displaystyle S 1 3 nbsp ablesen Bestimmung des Scheitelpunkts mit Hilfe der Ableitung Bearbeiten Eine weitere Moglichkeit zur Berechnung des Scheitelpunktes bietet die Differentialrechnung Da der Scheitelpunkt immer eine lokale Extremstelle Maximum bzw Minimum ist liefert die Nullstelle der ersten Ableitung der Funktion den x displaystyle x nbsp Wert des Scheitelpunktes f x a x 2 b x c f x 2 a x b displaystyle f x ax 2 bx c Rightarrow f x 2ax b nbsp f x s 0 2 a x s b 0 x s b 2 a displaystyle f x s 0 Leftrightarrow 2ax s b 0 Leftrightarrow x s frac b 2a nbsp Durch Einsetzen ergibt sich der y displaystyle y nbsp Wert y s f x s a b 2 a 2 b b 2 a c 4 a c b 2 4 a displaystyle y s f x s a left frac b 2a right 2 b left frac b 2a right c frac 4ac b 2 4a nbsp Beispiel Bestimmung des Scheiteilpunkts der quadratischen Funktion f x 2 x 2 4 x 5 displaystyle f x 2x 2 4x 5 nbsp f x 2 x 2 4 x 5 displaystyle f x 2x 2 4x 5 nbsp Die ursprungliche Funktionsgleichungf x 4 x 4 displaystyle f x 4x 4 nbsp Die 1 Ableitung der Funktion4 x 4 0 x S 1 displaystyle 4x 4 0 Rightarrow x S 1 nbsp Bestimmung der Nullstelle der 1 Ableitung durch Gleichsetzen mit nully S f 1 2 1 2 4 1 5 displaystyle y S f 1 2 cdot 1 2 4 cdot 1 5 nbsp x S displaystyle x S nbsp einsetzen in f x displaystyle f x nbsp y S 3 displaystyle y S 3 nbsp y S displaystyle y S nbsp berechnenDer Scheitelpunkt hat also die Koordinaten S 1 3 displaystyle S 1 3 nbsp Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen Bearbeiten Sind die Nullstellen x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 nbsp der quadratischen Funktion bekannt dann lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen x s x 1 x 2 2 y s f x s a 4 x 2 x 1 2 displaystyle x s frac x 1 x 2 2 quad y s f x s frac a 4 x 2 x 1 2 nbsp Schnittpunkt mit der y Achse Bearbeiten Wegen f 0 c displaystyle f 0 c nbsp hat der Schnittpunkt des Graphen mit der y displaystyle y nbsp Achse die Koordinaten 0 c displaystyle 0 c nbsp Nullstellen einer quadratischen Funktion Bearbeiten Die Nullstellen einer quadratischen Funktion ergeben sich durch Losung der Gleichung f x 0 displaystyle f x 0 nbsp das heisst der quadratischen Gleichung a x 2 b x c 0 displaystyle ax 2 bx c 0 nbsp Diese lassen sich mit Hilfe der abc Formel berechnen x 1 2 b b 2 4 a c 2 a displaystyle x 1 2 frac b pm sqrt b 2 4ac 2a nbsp Nimmt der Ausdruck unter der Wurzel Diskriminante einen negativen Wert an so bedeutet dies dass keine reellen Nullstellen existieren Umkehrfunktion Bearbeiten Weil die Parabel nur fur die Bereiche x x s displaystyle x leq x s nbsp und x x s displaystyle x geq x s nbsp monoton ist ergibt sich fur jeden Bereich jeden Ast der Parabel eine Umkehrfunktion welche zusammen ausgedruckt werden kann mit x 1 2 a y 4 a c b 2 b 2 a displaystyle x 1 2 pm frac sqrt ay 4ac b 2 mp b 2a nbsp b b 2 4 a c y 2 a displaystyle frac b pm sqrt b 2 4a c y 2a nbsp mit reellen Werten fur y 4 a c b 2 4 a displaystyle y geq frac 4ac b 2 4a nbsp bei a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp oder y 4 a c b 2 4 a displaystyle y leq frac 4ac b 2 4a nbsp bei a lt 0 displaystyle a lt 0 nbsp Nullstellen und Linearfaktoren Bearbeiten Sind x 1 displaystyle x 1 nbsp und x 2 displaystyle x 2 nbsp die Nullstellen der quadratischen Funktion f x a x 2 b x c displaystyle f x ax 2 bx c nbsp so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben f x a x x 1 x x 2 displaystyle f x a cdot x x 1 cdot x x 2 nbsp Schnittpunkt von Parabel und Gerade Bearbeiten f x displaystyle f x nbsp sei die Funktionsgleichung einer Parabel und g x displaystyle g x nbsp die einer Geraden Ansatz gleichsetzen der Funktionsgleichungen f x g x displaystyle f x g x Rightarrow nbsp quadratische Gleichung Falls nun D gt 0 displaystyle D gt 0 Rightarrow nbsp Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten Sekante D 0 displaystyle D 0 Rightarrow nbsp Die Parabel und die Gerade beruhren sich in einem Punkt Tangente D lt 0 displaystyle D lt 0 Rightarrow nbsp Die Parabel und die Gerade haben keinen Schnittpunkt Passante Schnittpunkt zweier Parabeln Bearbeiten f x g x displaystyle f x g x nbsp seien die Funktionsgleichungen zweier Parabeln Ansatz gleichsetzen der Funktionsgleichungen f x g x displaystyle f x g x Rightarrow nbsp quadratische Gleichung Falls nun D gt 0 displaystyle D gt 0 Rightarrow nbsp Die Parabeln schneiden sich in zwei Punkten D 0 displaystyle D 0 Rightarrow nbsp Die Parabeln beruhren sich in einem Punkt D lt 0 displaystyle D lt 0 Rightarrow nbsp Die Parabeln haben keinen Schnittpunkt f x g x displaystyle f x g x nbsp ist eine lineare Gleichung displaystyle Rightarrow nbsp Die Parabeln haben einen Schnittpunkt Quadratisches Polynom BearbeitenSei R displaystyle R nbsp ein beliebiger Ring Als quadratische Polynome uber R displaystyle R nbsp bezeichnet man Ausdrucke der Form a x 2 b x c R x displaystyle ax 2 bx c in R x nbsp mit a b c R displaystyle a b c in R nbsp und a 0 displaystyle a not 0 nbsp Formal handelt es sich um Elemente des Polynomringes vom Grad 2 sie definieren Abbildungen von R displaystyle R nbsp nach R displaystyle R nbsp Im Fall R R displaystyle R mathbb R nbsp handelt es sich im obigen Sinne um quadratische Funktionen Falls R displaystyle R nbsp ein algebraisch abgeschlossener Korper ist zerfallt jedes quadratische Polynom als Produkt zweier Linearfaktoren Allgemeiner sind quadratische Polynome in n displaystyle n nbsp Variablen Ausdrucke der Form i j 1 n a i j x i x j i 1 n b i x i c R x 1 x n displaystyle sum i j 1 n a i j x i x j sum i 1 n b i x i c in R x 1 ldots x n nbsp wobei nicht alle a i j displaystyle a i j nbsp Null sein sollen Diese Polynome definieren Abbildungen von R n displaystyle R n nbsp nach R displaystyle R nbsp Ihre Nullstellenmengen im R n displaystyle R n nbsp werden als Quadriken bezeichnet im Fall n 2 displaystyle n 2 nbsp auch als Kegelschnitte Literatur BearbeitenKarin Hantschel Lutz Schreiner Michael Bornemann Wiebke Salzmann Wissen Uben Testen Mathematik 9 Klasse Bibliographisches Institut 2017 ISBN 9783411912315 S 27 34 Heinz Rapp Mathematik fur die Fachschule Technik Springer 2015 ISBN 9783834809148 S 156 170Weblinks BearbeitenMaterialien zum selbststandigen Arbeiten fur Schuler Quadratische FunktionenNormdaten Sachbegriff GND 4343047 8 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quadratische Funktion amp oldid 237111503
