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Quadratische Ergänzung Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Umformen von Termen in denen eine Variable quadr

Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Umformen von Termen, in denen eine Variable quadratisch vorkommt, so dass ein quadriertes Binom entsteht und die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann. Dieses Verfahren kann zum Beispiel zur Lösung von quadratischen Gleichungen oder zur Bestimmung der Scheitelform (und damit auch des Scheitelpunkts, also des Extremwerts) von quadratischen Funktionen verwendet werden.

Animation, die den Vorgang der quadratischen Ergänzung darstellt. (Details, animierte GIF-Version)

In der analytischen Geometrie gehört dieses Verfahren zu den Methoden, mit denen Gleichungen von Quadriken auf eine Normalform gebracht werden können. Dabei werden quadratische Terme in mehreren Variablen (quadratische Formen) umgeformt.

Beispiele Bearbeiten

Bestimmung der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion Bearbeiten

Gegebene quadratische Funktion:
Ausklammern des Leitkoeffizienten:

Der eingeklammerte Term wird jetzt in eine Form gebracht, so dass die erste binomische Formel angewendet werden kann. Dabei wird als „nahrhafte Null“ bezeichnet, oder als „Nullergänzung“.

Quadratische Ergänzung:
Bildung des Quadrats:
Ausmultiplizieren:
Scheitelform der Funktion:
Ablesen des Scheitelpunkts:

Ergänzung: Mit ist also die -Koordinate des Scheitelpunkts. Für die zugehörige -Koordinate gilt dann .

Beispiel Bearbeiten

Gegebene quadratische Funktion:
Ausklammern des Leitkoeffizienten:

Wegen wird die „nahrhafte Null“ eingefügt:

Quadratische Ergänzung:
Bildung des Quadrats:
Ausmultiplizieren:
Scheitelform der Funktion:
Ablesen des Scheitelpunkts:

Lösung einer quadratischen Gleichung Bearbeiten

(Es sind die allgemeinen Regeln zum Lösen von Gleichungen zu beachten.)

Gegebene quadratische Gleichung:
Normierung:

Die linke Seite der Gleichung wird jetzt in eine Form gebracht, so dass die zweite binomische Formel angewendet werden kann. wird auch auf der rechten Seite der Gleichung addiert:

Quadratische Ergänzung:
Bildung des Quadrats:
Wurzelziehen:
Auflösen der Betragsfunktion: oder
Lösungsmenge:

Bestimmung einer Stammfunktion Bearbeiten

Das unbestimmte Integral

soll berechnet werden. Die quadratische Ergänzung im Nenner liefert

Für das Integral bedeutet dies:

Beim letzten Umformungsschritt oben wurde das folgende bekannte Integral eingesetzt, welches man einer Tabelle von Stammfunktionen entnehmen kann:

Normalform einer Quadrik Bearbeiten

Die Quadrik

soll auf affine Normalform gebracht werden. Quadratische Ergänzung in der Variablen (d. h. wird als Parameter angesehen) und anschließende quadratische Ergänzung in ergibt

Mit der Substitution , wird also die Gleichung der Quadrik auf die Kreisgleichung transformiert.

Alternativen Bearbeiten

  • Die Scheitelform einer quadratischen Funktion kann auch mit Hilfe der Differentialrechnung (durch Bestimmung der Nullstelle der ersten Ableitung) gewonnen werden.
  • Zum Lösen von quadratischen Gleichungen gibt es bereits fertige Lösungsformeln, in die man nur noch einsetzen muss. Die Herleitung dieser Formeln geschieht aber doch wieder unter Verwendung der quadratischen Ergänzung.

Literatur Bearbeiten

  • F.A. Willers, K.G. Krapf: Elementar-Mathematik: Ein Vorkurs zur Höheren Mathematik. 14. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-86564-0, S. 84–86

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die quadratische Erganzung ist ein Verfahren zum Umformen von Termen in denen eine Variable quadratisch vorkommt so dass ein quadriertes Binom entsteht und die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann Dieses Verfahren kann zum Beispiel zur Losung von quadratischen Gleichungen oder zur Bestimmung der Scheitelform und damit auch des Scheitelpunkts also des Extremwerts von quadratischen Funktionen verwendet werden source source source source source Animation die den Vorgang der quadratischen Erganzung darstellt Details animierte GIF Version In der analytischen Geometrie gehort dieses Verfahren zu den Methoden mit denen Gleichungen von Quadriken auf eine Normalform gebracht werden konnen Dabei werden quadratische Terme in mehreren Variablen quadratische Formen umgeformt Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 1 1 Bestimmung der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion 1 1 1 Beispiel 1 2 Losung einer quadratischen Gleichung 1 3 Bestimmung einer Stammfunktion 1 4 Normalform einer Quadrik 2 Alternativen 3 Literatur 4 WeblinksBeispiele BearbeitenBestimmung der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion Bearbeiten Gegebene quadratische Funktion y a x 2 b x c displaystyle y ax 2 bx c nbsp Ausklammern des Leitkoeffizienten y a x 2 b a x c displaystyle y a left x 2 frac b a x right c nbsp Der eingeklammerte Term wird jetzt in eine Form x 2 2 d x d 2 d 2 displaystyle x 2 2dx d 2 d 2 nbsp gebracht so dass die erste binomische Formel angewendet werden kann Dabei wird d 2 d 2 displaystyle d 2 d 2 nbsp als nahrhafte Null bezeichnet oder als Nullerganzung Quadratische Erganzung y a x 2 b a x b 2 a 2 b 2 a 2 c displaystyle y a left x 2 frac b a x left frac b 2a right 2 left frac b 2a right 2 right c nbsp Bildung des Quadrats y a x b 2 a 2 b 2 a 2 c displaystyle y a left left x frac b 2a right 2 left frac b 2a right 2 right c nbsp Ausmultiplizieren y a x b 2 a 2 a b 2 4 a 2 c displaystyle y a left x frac b 2a right 2 frac ab 2 4a 2 c nbsp Scheitelform der Funktion y a x b 2 a 2 c b 2 4 a displaystyle y a left x frac b 2a right 2 left c frac b 2 4a right nbsp Ablesen des Scheitelpunkts S b 2 a c b 2 4 a displaystyle S left frac b 2a right left c frac b 2 4a right nbsp Erganzung Mit x S b 2 a displaystyle x S b 2a nbsp ist also x S displaystyle x S nbsp die x displaystyle x nbsp Koordinate des Scheitelpunkts Fur die zugehorige y displaystyle y nbsp Koordinate y S displaystyle y S nbsp gilt dann y S c a x S 2 displaystyle y S c a cdot x S 2 nbsp Beispiel Bearbeiten Gegebene quadratische Funktion y 2 x 2 12 x 13 displaystyle y 2x 2 12x 13 nbsp Ausklammern des Leitkoeffizienten y 2 x 2 6 x 13 displaystyle y 2 x 2 6x 13 nbsp Wegen 6 2 2 9 displaystyle tfrac 6 2 2 9 nbsp wird die nahrhafte Null 9 9 displaystyle 9 9 nbsp eingefugt Quadratische Erganzung y 2 x 2 6 x 9 9 13 displaystyle y 2 x 2 6x 9 9 13 nbsp Bildung des Quadrats y 2 x 3 2 9 13 displaystyle y 2 x 3 2 9 13 nbsp Ausmultiplizieren y 2 x 3 2 18 13 displaystyle y 2 x 3 2 18 13 nbsp Scheitelform der Funktion y 2 x 3 2 5 displaystyle y 2 x 3 2 5 nbsp Ablesen des Scheitelpunkts S 3 5 displaystyle S 3 5 nbsp Losung einer quadratischen Gleichung Bearbeiten Es sind die allgemeinen Regeln zum Losen von Gleichungen zu beachten Gegebene quadratische Gleichung 2 x 2 12 x 32 displaystyle 2x 2 12x 32 nbsp Normierung x 2 6 x 16 displaystyle x 2 6x 16 nbsp Die linke Seite der Gleichung wird jetzt in eine Form x 2 2 d x d 2 displaystyle x 2 2dx d 2 nbsp gebracht so dass die zweite binomische Formel angewendet werden kann d 2 displaystyle d 2 nbsp wird auch auf der rechten Seite der Gleichung addiert Quadratische Erganzung x 2 6 x 9 16 9 displaystyle x 2 6x 9 16 9 nbsp Bildung des Quadrats x 3 2 25 displaystyle x 3 2 25 nbsp Wurzelziehen x 3 5 displaystyle x 3 pm 5 nbsp Auflosen der Betragsfunktion x 3 5 displaystyle x 3 5 nbsp oder x 3 5 displaystyle x 3 5 nbsp Losungsmenge L 2 8 displaystyle mathbb L 2 8 nbsp Bestimmung einer Stammfunktion Bearbeiten Das unbestimmte Integral 1 4 x 2 8 x 13 d x displaystyle int frac 1 4x 2 8x 13 mathrm d x nbsp soll berechnet werden Die quadratische Erganzung im Nenner liefert 4 x 2 8 x 13 4 x 1 2 9 displaystyle 4x 2 8x 13 dotsb 4 x 1 2 9 nbsp Fur das Integral bedeutet dies 1 4 x 2 8 x 13 d x 1 4 1 x 1 2 3 2 2 d x 1 4 2 3 arctan 2 x 1 3 C displaystyle begin aligned int frac 1 4x 2 8x 13 mathrm d x amp frac 1 4 int frac 1 x 1 2 frac 3 2 2 mathrm d x amp frac 1 4 cdot frac 2 3 arctan frac 2 x 1 3 C end aligned nbsp Beim letzten Umformungsschritt oben wurde das folgende bekannte Integral eingesetzt welches man einer Tabelle von Stammfunktionen entnehmen kann 1 x 2 a 2 d x 1 a arctan x a C displaystyle int frac 1 x 2 a 2 mathrm d x frac 1 a arctan frac x a C nbsp Normalform einer Quadrik Bearbeiten Die Quadrik Q x y R 2 q x y 0 displaystyle Q x y in mathbb R 2 mid q x y 0 nbsp mit q x y x 2 4 x y 5 y 2 6 x 14 y 9 displaystyle q x y x 2 4xy 5y 2 6x 14y 9 nbsp soll auf affine Normalform gebracht werden Quadratische Erganzung in der Variablen x displaystyle x nbsp d h y displaystyle y nbsp wird als Parameter angesehen und anschliessende quadratische Erganzung in y displaystyle y nbsp ergibt q x y x 2 4 y 6 x 5 y 2 14 y 9 x 2 4 y 6 x 2 y 3 2 2 y 3 2 5 y 2 14 y 9 x 2 y 3 2 2 y 3 2 5 y 2 14 y 9 x 2 y 3 2 y 2 2 y x 2 y 3 2 y 2 2 y 1 2 1 2 x 2 y 3 2 y 1 2 1 displaystyle begin aligned q x y amp x 2 4y 6 x 5y 2 14y 9 amp x 2 4y 6 x 2y 3 2 2y 3 2 5y 2 14y 9 amp x 2y 3 2 2y 3 2 5y 2 14y 9 amp x 2y 3 2 y 2 2y amp x 2y 3 2 y 2 2y 1 2 1 2 amp x 2y 3 2 y 1 2 1 end aligned nbsp Mit der Substitution u x 2 y 3 displaystyle u x 2y 3 nbsp v y 1 displaystyle v y 1 nbsp wird also die Gleichung der Quadrik Q displaystyle Q nbsp auf die Kreisgleichung u 2 v 2 1 displaystyle u 2 v 2 1 nbsp transformiert Alternativen BearbeitenDie Scheitelform einer quadratischen Funktion kann auch mit Hilfe der Differentialrechnung durch Bestimmung der Nullstelle der ersten Ableitung gewonnen werden Zum Losen von quadratischen Gleichungen gibt es bereits fertige Losungsformeln in die man nur noch einsetzen muss Die Herleitung dieser Formeln geschieht aber doch wieder unter Verwendung der quadratischen Erganzung Literatur BearbeitenF A Willers K G Krapf Elementar Mathematik Ein Vorkurs zur Hoheren Mathematik 14 Auflage Springer 2013 ISBN 978 3 642 86564 0 S 84 86Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Quadratische Erganzung Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Darstellung von MathWorld englisch Darstellung von Mathe Online at deutsch Darstellung von PlanetMath englisch Erklarung interaktive Beispiele und Ubungen Quadratische Erganzung In Serlo Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quadratische Erganzung amp oldid 233992136