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Satz von Legendre Diophantische Gleichungen In der Zahlentheorie einem der Teilgebiete der Mathematik ist der Satz von L

Satz von Legendre (Diophantische Gleichungen)

In der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, ist der Satz von Legendre (englisch Legendre’s theorem) über diophantische Gleichungen ein etwa um das Jahr 1785 von dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre (1752–1833) vorgelegter Lehrsatz, der die Lösbarkeit solcher Gleichungen aus ternären quadratischen Formen ohne gemischte Glieder behandelt.

Formulierung des Legendre’schen Satzes Bearbeiten

Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:

ist in ganzen Zahlen nichttrivial lösbar dann und nur dann, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Anmerkungen und Erläuterungen Bearbeiten

  1. Man bezeichnet die oben auftretende Gleichung auch als Legendre’sche Gleichung (englisch Legendre’s equation).
  2. Da stets eine Lösung der Legendre’schen Gleichung liefert (nämlich die sogenannte triviale Lösung), bedeutet die obige Fragestellung nichts anderes als die Frage nach den Bedingungen, unter denen eine nichttriviale Lösung vorliegt, also ein Tripel , sodass und die Legendre’sche Gleichung erfüllen.
  3. Der Satz von Legendre ist – wie auch der Vier-Quadrate-Satz von Lagrange – einer von mehreren Sätzen der Zahlentheorie, die sich auf den Gitterpunktsatz von Hermann Minkowski (1864–1909) zurückführen lassen.
  4. Nach den obigen Bedingungen zu den quadratischen Resten gilt also (bei Anwendung des Legendre-Jacobi-Symbols) .

Literatur Bearbeiten

  • Emil Grosswald: Representations of Integers as Sums of Squares. Springer-Verlag, New York / Berlin / Heidelberg / Tokio 1985, ISBN 0-387-96126-7 (MR0803155).
  • Richard H. Hudson, Kenneth S. Williams: On Legendre’s equation ax2 + by2 + cz2 = 0. In: Journal of Number Theory. Band 16, 1983, S. 100–105 (MR0693397).
  • Winfried Scharlau, Hans Opolka: From Fermat to Minkowski. Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development (= Undergraduate Texts in Mathematics). Springer Science+Business Media, LLC, New York 1985, ISBN 0-387-90942-7 (MR0770936).
  • Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin 2003, ISBN 3-8274-1365-6.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Emil Grosswald: Representations of Integers as Sums of Squares. 1985, S. 66 ff., S. 217.
  2. ↑ Winfried Scharlau, Hans Opolka: From Fermat to Minkowski. 2003, S. 61–63.
  3. ↑ Harald Scheid: Zahlentheorie. 2003, S. 261–263.
  4. Richard H. Hudson, Kenneth S. Williams: On Legendre’s equation ax2 + by2 + cz2 = 0. 1983, S. 100–105.
  5. Grosswald, op. cit., S. 66.
  6. Scheid, op. cit., S. 258 ff.
  7. Scharlau, Opolka, op. cit., S. 197 ff.
  8. Grosswald, op. cit., S. 217.
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In der Zahlentheorie einem der Teilgebiete der Mathematik ist der Satz von Legendre englisch Legendre s theorem uber diophantische Gleichungen ein etwa um das Jahr 1785 von dem Mathematiker Adrien Marie Legendre 1752 1833 vorgelegter Lehrsatz der die Losbarkeit solcher Gleichungen aus ternaren quadratischen Formen ohne gemischte Glieder behandelt 1 2 3 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Legendre schen Satzes 2 Anmerkungen und Erlauterungen 3 Literatur 4 EinzelnachweiseFormulierung des Legendre schen Satzes BearbeitenDer Satz lasst sich folgendermassen formulieren 1 2 3 Gegeben seien drei quadratfreie und paarweise teilerfremde ganze Zahlen a b c Z 0 displaystyle a b c in mathbb Z setminus 0 nbsp Dann gilt Die diophantische Gleichunga x 2 b y 2 c z 2 0 displaystyle ax 2 by 2 cz 2 0 nbsp dd ist in ganzen Zahlen x y z displaystyle x y z nbsp nichttrivial losbar dann und nur dann wenn folgende Bedingungen erfullt sind I a b c displaystyle a b c nbsp haben nicht alle dasselbe Vorzeichen II 1 b c displaystyle bc nbsp ist quadratischer Rest mod a displaystyle bmod a nbsp II 2 a c displaystyle ac nbsp ist quadratischer Rest mod b displaystyle bmod b nbsp II 3 a b displaystyle ab nbsp ist quadratischer Rest mod c displaystyle bmod c nbsp dd Anmerkungen und Erlauterungen BearbeitenMan bezeichnet die oben auftretende Gleichung auch als Legendre sche Gleichung englisch Legendre s equation 4 Da x y z 0 displaystyle x y z 0 nbsp stets eine Losung der Legendre schen Gleichung liefert namlich die sogenannte triviale Losung bedeutet die obige Fragestellung nichts anderes als die Frage nach den Bedingungen unter denen eine nichttriviale Losung vorliegt also ein Tripel x y z Z 3 0 0 0 displaystyle x y z in mathbb Z 3 setminus 0 0 0 nbsp sodass x y displaystyle x y nbsp und z displaystyle z nbsp die Legendre sche Gleichung erfullen 5 Der Satz von Legendre ist wie auch der Vier Quadrate Satz von Lagrange einer von mehreren Satzen der Zahlentheorie die sich auf den Gitterpunktsatz von Hermann Minkowski 1864 1909 zuruckfuhren lassen 6 7 Nach den obigen Bedingungen zu den quadratischen Resten gilt also bei Anwendung des Legendre Jacobi Symbols a b c b c a c a b 1 displaystyle left frac ab c right left frac bc a right left frac ca b right 1 nbsp 8 Literatur BearbeitenEmil Grosswald Representations of Integers as Sums of Squares Springer Verlag New York Berlin Heidelberg Tokio 1985 ISBN 0 387 96126 7 MR0803155 Richard H Hudson Kenneth S Williams On Legendre s equation ax2 by2 cz2 0 In Journal of Number Theory Band 16 1983 S 100 105 MR0693397 Winfried Scharlau Hans Opolka From Fermat to Minkowski Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development Undergraduate Texts in Mathematics Springer Science Business Media LLC New York 1985 ISBN 0 387 90942 7 MR0770936 Harald Scheid Zahlentheorie 3 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin 2003 ISBN 3 8274 1365 6 Einzelnachweise Bearbeiten a b Emil Grosswald Representations of Integers as Sums of Squares 1985 S 66 ff S 217 a b Winfried Scharlau Hans Opolka From Fermat to Minkowski 2003 S 61 63 a b Harald Scheid Zahlentheorie 2003 S 261 263 Richard H Hudson Kenneth S Williams On Legendre s equation ax2 by2 cz2 0 1983 S 100 105 Grosswald op cit S 66 Scheid op cit S 258 ff Scharlau Opolka op cit S 197 ff Grosswald op cit S 217 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Legendre Diophantische Gleichungen amp oldid 232009658