Endliche Gruppen treten im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie auf. Eine Gruppe heißt endliche Gruppe, wenn eine endliche Menge ist, also eine endliche Anzahl von Elementen hat.
Axiome Bearbeiten
Die Annahme der Endlichkeit ermöglicht ein vereinfachtes Axiomensystem:
Ein Paar mit einer endlichen Menge und einer inneren zweistelligen Verknüpfung heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:
- Assoziativität: Für alle Gruppenelemente gilt ,
- Kürzungsregel: Aus oder folgt .
Aus der Kürzungsregel folgt, dass die Links- und Rechtsmultiplikationen und injektiv sind, woraus wegen der Endlichkeit auch die Surjektivität folgt. Daher gibt es ein mit , was zur Existenz des neutralen Elementes führt, und dann ein mit , was die Existenz der inversen Elemente zeigt.
Endliche Untergruppe Bearbeiten
Die allgemeine Bedingung, dass eine nichtleere Menge eine Untergruppe der Gruppe ist,
vereinfacht sich ebenfalls, da S2 aus S1 folgt: Wenn endlich ist, muss jedes Element von eine endliche Ordnung besitzen, woraus folgt. Das bedeutet aber, dass bereits in ist. Eine nichtleere endliche Teilmenge einer beliebigen Gruppe ist also genau dann eine Untergruppe, wenn für alle auch in liegt.
Einfache Gruppen Bearbeiten
Jede endliche Gruppe ist zusammengesetzt aus einer endlichen Anzahl von endlichen einfachen Gruppen. Jedoch kann diese Zusammensetzung kompliziert sein. Trotz Kenntnis der Bausteine (der einfachen Gruppen) ist man noch weit davon entfernt, alle endlichen Gruppen zu kennen.
Obwohl die endlichen einfachen Gruppen seit 1982 als vollständig klassifiziert galten, schlossen Mathematiker um Aschbacher die Klassifikation erst im Jahre 2002 mit einem 1200 Seiten langen Beweis ab:
- Fast alle dieser Gruppen lassen sich einer von 18 Familien endlicher einfacher Gruppen zuordnen.
- Es existieren 26 Ausnahmen. Diese Gruppen werden als sporadische Gruppen bezeichnet.
Beispiele Bearbeiten
- Endliche Gruppen sind etwa die zyklischen Gruppen bis auf die unendliche zyklische Gruppe oder die Permutationsgruppen (siehe: Symmetrische Gruppe, Alternierende Gruppe) endlicher Mengen.
- Diedergruppen und Quasi-Diedergruppen
- Zu den sporadischen Gruppen zählen die Conway-Gruppe, das Babymonster und die Monstergruppe (mit fast 1054 Elementen die größte sporadische Gruppe).
Anwendungen Bearbeiten
Symmetrien von Körpern, namentlich in der Molekülphysik, werden durch Punktgruppen beschrieben; Symmetrien von Kristallen durch 230 verschiedene Raumgruppen.
Siehe auch Bearbeiten
Weblinks Bearbeiten
- Eric W. Weisstein: Finite Group. In: MathWorld (englisch).
Literatur Bearbeiten
- Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen. Eine Einführung. Springer-Verlag, ISBN 3-540-60331-X, doi:10.1007/978-3-642-58816-7.
- Bertram Huppert: Endliche Gruppen. Band 1, Springer Verlag 1967.
- B. Huppert, N. Blackburn: Finite Groups. Band 2, 3, Springer-Verlag, 1982.
- Daniel Gorenstein: Finite Groups. Harper and Row, 1968.
- Michael Aschbacher: Finite Group Theory. Cambridge University Press, 1986.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Van der Waerden: Algebra I. Springer, 1971, 8. Auflage, S. 15–17.
- Aschbacher, Smith: The classification of quasithin groups. AMS.