Die folgende Liste enthalt eine Auswahl endlicher Gruppen kleiner Ordnung Diese Liste kann benutzt werden um herauszufinden zu welchen bekannten endlichen Gruppen eine Gruppe G isomorph ist Als erstes bestimmt man die Ordnung von G und vergleicht sie mit den unten aufgelisteten Gruppen gleicher Ordnung Ist bekannt ob G abelsch kommutativ ist so kann man einige Gruppen ausschliessen Anschliessend vergleicht man die Ordnung einzelner Elemente von G mit den Elementen der aufgelisteten Gruppen wodurch man G bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann Inhaltsverzeichnis 1 Glossar 2 Liste aller Gruppen bis Ordnung 20 3 Einfache Struktursatze 4 The SmallGroups Library 5 Einzelnachweise 6 WeblinksGlossar BearbeitenIn der nachfolgenden Liste werden folgende Bezeichnungen verwendet Z n displaystyle mathbb Z n nbsp ist die zyklische Gruppe der Ordnung n displaystyle n nbsp die auch als C n displaystyle C n nbsp oder Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z nbsp geschrieben wird D n displaystyle D n nbsp ist die Diedergruppe der Ordnung 2 n displaystyle 2n nbsp S n displaystyle S n nbsp ist die symmetrische Gruppe vom Grad n displaystyle n nbsp mit n Permutationen von n displaystyle n nbsp Elementen A n displaystyle A n nbsp ist die alternierende Gruppe vom Grad n displaystyle n nbsp mit n 2 displaystyle n 2 nbsp Permutationen von n displaystyle n nbsp Elementen fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp D i c n displaystyle mathrm Dic n nbsp ist die dizyklische Gruppe der Ordnung 4 n displaystyle 4n nbsp V 4 displaystyle V 4 nbsp ist die Klein sche Vierergruppe der Ordnung 4 displaystyle 4 nbsp Q 4 n displaystyle Q 4n nbsp ist die Quaternionengruppe der Ordnung 4 n displaystyle 4n nbsp fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp Die Notation G H displaystyle G times H nbsp wird benutzt um das direkte Produkt der Gruppen G displaystyle G nbsp und H displaystyle H nbsp zu bezeichnen Es wird angemerkt ob eine Gruppe abelsch oder einfach ist Fur Gruppen der Ordnung n lt 60 displaystyle n lt 60 nbsp sind die einfachen Gruppen genau die zyklischen Gruppen Z n displaystyle mathbb Z n nbsp mit n displaystyle n nbsp aus der Menge der Primzahlen In den Zykel Graphen der Gruppen wird das neutrale Element durch einen ausgefullten schwarzen Kreis dargestellt Ordnung 16 displaystyle 16 nbsp ist die kleinste Ordnung fur welche die Gruppenstruktur durch den Zykel Graphen nicht eindeutig bestimmt ist Die nichtabelsche modulare Gruppe und Z 8 Z 2 displaystyle mathbb Z 8 times mathbb Z 2 nbsp haben den gleichen Zykel Graphen und den gleichen modularen Untergruppenverband sind aber nicht isomorph Es ist zu beachten dass 3 Z 2 displaystyle 3 cdot mathbb Z 2 nbsp bedeutet dass es 3 Untergruppen vom Typ Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp gibt nicht die Nebenklasse von Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp Zu jeder Ordnung wird zunachst die zyklische Gruppe angegeben dann folgen gegebenenfalls weitere abelsche Gruppen und dann gegebenenfalls nichtabelsche Gruppen Liste aller Gruppen bis Ordnung 20 BearbeitenOrdnung Gruppe Echte Untergruppen 1 Eigenschaften Zykel Graph1 Z 1 S 1 A 2 displaystyle mathbb Z 1 cong S 1 cong A 2 nbsp triviale Gruppe abelsch zyklisch nbsp 2 Z 2 S 2 D 1 displaystyle mathbb Z 2 cong S 2 cong D 1 nbsp Gruppe Z2 abelsch einfach zyklisch kleinste nichttriviale Gruppe nbsp 3 Z 3 A 3 displaystyle mathbb Z 3 cong A 3 nbsp abelsch einfach zyklisch nbsp 4 Z 4 D i c 1 displaystyle mathbb Z 4 cong mathrm Dic 1 nbsp Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp abelsch zyklisch nbsp V 4 Z 2 2 D 2 displaystyle V 4 cong mathbb Z 2 2 cong D 2 nbsp Kleinsche Vierergruppe 3 Z 2 displaystyle 3 cdot mathbb Z 2 nbsp abelsch die kleinste nichtzyklische Gruppe nbsp 5 Z 5 displaystyle mathbb Z 5 nbsp abelsch einfach zyklisch nbsp 6 Z 6 Z 2 Z 3 displaystyle mathbb Z 6 cong mathbb Z 2 times mathbb Z 3 nbsp Z 3 displaystyle mathbb Z 3 nbsp Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp abelsch zyklisch nbsp S 3 D 3 displaystyle S 3 cong D 3 nbsp Symmetrische Gruppe Z 3 displaystyle mathbb Z 3 nbsp 3 Z 2 displaystyle 3 cdot mathbb Z 2 nbsp kleinste nichtabelsche Gruppe nbsp 7 Z 7 displaystyle mathbb Z 7 nbsp abelsch einfach zyklisch nbsp 8 Z 8 displaystyle mathbb Z 8 nbsp Z 4 displaystyle mathbb Z 4 nbsp Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp abelsch zyklisch nbsp Z 2 Z 4 displaystyle mathbb Z 2 times mathbb Z 4 nbsp 2 Z 4 displaystyle 2 cdot mathbb Z 4 nbsp 3 Z 2 displaystyle 3 cdot mathbb Z 2 nbsp D 2 displaystyle D 2 nbsp abelsch nbsp Z 2 3 D 2 Z 2 displaystyle mathbb Z 2 3 cong D 2 times mathbb Z 2 nbsp 7 Z 2 displaystyle 7 cdot mathbb Z 2 nbsp 7 D 2 displaystyle 7 cdot D 2 nbsp abelsch nbsp D 4 displaystyle D 4 nbsp Z 4 displaystyle mathbb Z 4 nbsp 2 D 2 displaystyle 2 cdot D 2 nbsp 5 Z 2 displaystyle 5 cdot mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch nbsp Q 8 D i c 2 displaystyle Q 8 cong mathrm Dic 2 nbsp Quaternionengruppe 3 Z 4 displaystyle 3 cdot mathbb Z 4 nbsp Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch die kleinste hamiltonsche Gruppe nbsp 9 Z 9 displaystyle mathbb Z 9 nbsp Z 3 displaystyle mathbb Z 3 nbsp abelsch zyklisch nbsp Z 3 2 displaystyle mathbb Z 3 2 nbsp 4 Z 3 displaystyle 4 cdot mathbb Z 3 nbsp abelsch nbsp 10 Z 10 Z 2 Z 5 displaystyle mathbb Z 10 cong mathbb Z 2 times mathbb Z 5 nbsp Z 5 displaystyle mathbb Z 5 nbsp Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp abelsch zyklisch nbsp D 5 displaystyle D 5 nbsp Z 5 displaystyle mathbb Z 5 nbsp 5 Z 2 displaystyle 5 cdot mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch nbsp 11 Z 11 displaystyle mathbb Z 11 nbsp abelsch einfach zyklisch nbsp 12 Z 12 Z 4 Z 3 displaystyle mathbb Z 12 cong mathbb Z 4 times mathbb Z 3 nbsp Z 6 displaystyle mathbb Z 6 nbsp Z 4 displaystyle mathbb Z 4 nbsp Z 3 displaystyle mathbb Z 3 nbsp Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp abelsch zyklisch nbsp Z 2 Z 6 Z 2 2 Z 3 D 2 Z 3 displaystyle mathbb Z 2 times mathbb Z 6 cong mathbb Z 2 2 times mathbb Z 3 cong D 2 times mathbb Z 3 nbsp 3 Z 6 displaystyle 3 cdot mathbb Z 6 nbsp Z 3 displaystyle mathbb Z 3 nbsp D 2 displaystyle D 2 nbsp 3 Z 2 displaystyle 3 cdot mathbb Z 2 nbsp abelsch nbsp D 6 D 3 Z 2 displaystyle D 6 cong D 3 times mathbb Z 2 nbsp Z 6 displaystyle mathbb Z 6 nbsp 2 D 3 displaystyle 2 cdot D 3 nbsp 3 D 2 displaystyle 3 cdot D 2 nbsp Z 3 displaystyle mathbb Z 3 nbsp 7 Z 2 displaystyle 7 cdot mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch nbsp A 4 displaystyle A 4 nbsp Gruppe A4 D 2 displaystyle D 2 nbsp 4 Z 3 displaystyle 4 cdot mathbb Z 3 nbsp 3 Z 2 displaystyle 3 cdot mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch kleinste Gruppe die zeigt dass die Umkehrung des Satzes von Lagrange nicht stimmt keine Untergruppe der Ordnung 6 nbsp D i c 3 displaystyle mathrm Dic 3 nbsp hier Verknupfungstafel Z 6 displaystyle mathbb Z 6 nbsp 3 Z 4 displaystyle 3 cdot mathbb Z 4 nbsp Z 3 displaystyle mathbb Z 3 nbsp Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch nbsp 13 Z 13 displaystyle mathbb Z 13 nbsp abelsch einfach zyklisch nbsp 14 Z 14 Z 2 Z 7 displaystyle mathbb Z 14 cong mathbb Z 2 times mathbb Z 7 nbsp Z 7 displaystyle mathbb Z 7 nbsp Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp abelsch zyklisch nbsp D 7 displaystyle D 7 nbsp Z 7 displaystyle mathbb Z 7 nbsp 7 Z 2 displaystyle 7 cdot mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch nbsp 15 Z 15 Z 3 Z 5 displaystyle mathbb Z 15 cong mathbb Z 3 times mathbb Z 5 nbsp Z 5 displaystyle mathbb Z 5 nbsp Z 3 displaystyle mathbb Z 3 nbsp abelsch zyklisch siehe Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch nbsp 16 Z 16 displaystyle mathbb Z 16 nbsp Z 8 displaystyle mathbb Z 8 nbsp Z 4 displaystyle mathbb Z 4 nbsp Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp abelsch zyklisch nbsp Z 2 4 displaystyle mathbb Z 2 4 nbsp 15 Z 2 displaystyle 15 cdot mathbb Z 2 nbsp 35 D 2 displaystyle 35 cdot D 2 nbsp 15 Z 2 3 displaystyle 15 cdot mathbb Z 2 3 nbsp abelsch nbsp Z 4 Z 2 2 displaystyle mathbb Z 4 times mathbb Z 2 2 nbsp 7 Z 2 displaystyle 7 cdot mathbb Z 2 nbsp 4 Z 4 displaystyle 4 cdot mathbb Z 4 nbsp 7 D 2 displaystyle 7 cdot D 2 nbsp Z 2 3 displaystyle mathbb Z 2 3 nbsp 6 Z 4 Z 2 displaystyle 6 cdot mathbb Z 4 times mathbb Z 2 nbsp abelsch nbsp Z 8 Z 2 displaystyle mathbb Z 8 times mathbb Z 2 nbsp 3 Z 2 displaystyle 3 cdot mathbb Z 2 nbsp 2 Z 4 displaystyle 2 cdot mathbb Z 4 nbsp D 2 displaystyle D 2 nbsp 2 Z 8 displaystyle 2 cdot mathbb Z 8 nbsp Z 4 Z 2 displaystyle mathbb Z 4 times mathbb Z 2 nbsp abelsch nbsp Z 4 2 displaystyle mathbb Z 4 2 nbsp 3 Z 2 displaystyle 3 cdot mathbb Z 2 nbsp 6 Z 4 displaystyle 6 cdot mathbb Z 4 nbsp D 2 displaystyle D 2 nbsp 3 Z 4 Z 2 displaystyle 3 cdot mathbb Z 4 times mathbb Z 2 nbsp abelsch nbsp D 8 displaystyle D 8 nbsp Z 8 displaystyle mathbb Z 8 nbsp 2 D 4 displaystyle 2 cdot D 4 nbsp 4 D 2 displaystyle 4 cdot D 2 nbsp Z 4 displaystyle mathbb Z 4 nbsp 9 Z 2 displaystyle 9 cdot mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch nbsp D 4 Z 2 displaystyle D 4 times mathbb Z 2 nbsp 4 D 4 displaystyle 4 cdot D 4 nbsp Z 4 Z 2 displaystyle mathbb Z 4 times mathbb Z 2 nbsp 2 Z 2 3 displaystyle 2 cdot mathbb Z 2 3 nbsp 13 Z 2 2 displaystyle 13 cdot mathbb Z 2 2 nbsp 2 Z 4 displaystyle 2 cdot mathbb Z 4 nbsp 11 Z 2 displaystyle 11 cdot mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch nbsp Q 16 D i c 4 displaystyle Q 16 cong mathrm Dic 4 nbsp Z 8 displaystyle mathbb Z 8 nbsp 2 Q 8 displaystyle 2 cdot Q 8 nbsp 5 Z 4 displaystyle 5 cdot mathbb Z 4 nbsp Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch nbsp Q 8 Z 2 displaystyle Q 8 times mathbb Z 2 nbsp 3 Z 2 Z 4 displaystyle 3 cdot mathbb Z 2 times mathbb Z 4 nbsp 4 Q 8 displaystyle 4 cdot Q 8 nbsp 6 Z 4 displaystyle 6 cdot mathbb Z 4 nbsp Z 2 Z 2 displaystyle mathbb Z 2 times mathbb Z 2 nbsp 3 Z 2 displaystyle 3 cdot mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch hamiltonsche Gruppe nbsp Quasi Diedergruppe Z 8 displaystyle mathbb Z 8 nbsp Q 8 displaystyle Q 8 nbsp D 4 displaystyle D 4 nbsp 3 Z 4 displaystyle 3 cdot mathbb Z 4 nbsp 2 Z 2 Z 2 displaystyle 2 cdot mathbb Z 2 times mathbb Z 2 nbsp 5 Z 2 displaystyle 5 cdot mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch nbsp Nichtabelsche nicht hamiltonsche modulare Gruppe 2 Z 8 displaystyle 2 cdot mathbb Z 8 nbsp Z 4 Z 2 displaystyle mathbb Z 4 times mathbb Z 2 nbsp 2 Z 4 displaystyle 2 cdot mathbb Z 4 nbsp Z 2 Z 2 displaystyle mathbb Z 2 times mathbb Z 2 nbsp 3 Z 2 displaystyle 3 cdot mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch nbsp Semidirektes Produkt Z 4 Z 4 displaystyle mathbb Z 4 rtimes mathbb Z 4 nbsp siehe hier 3 Z 2 Z 4 displaystyle 3 cdot mathbb Z 2 times mathbb Z 4 nbsp 6 Z 4 displaystyle 6 cdot mathbb Z 4 nbsp Z 2 Z 2 displaystyle mathbb Z 2 times mathbb Z 2 nbsp 3 Z 2 displaystyle 3 cdot mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch nbsp Die durch Pauli Matrizen erzeugte Gruppe 3 Z 2 Z 4 displaystyle 3 cdot mathbb Z 2 times mathbb Z 4 nbsp 3 D 4 displaystyle 3 cdot D 4 nbsp Q 8 displaystyle Q 8 nbsp 4 Z 4 displaystyle 4 cdot mathbb Z 4 nbsp 3 Z 2 Z 2 displaystyle 3 cdot mathbb Z 2 times mathbb Z 2 nbsp 7 Z 2 displaystyle 7 cdot mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch nbsp G 4 4 V 4 Z 4 displaystyle G 4 4 V 4 rtimes mathbb Z 4 nbsp 2 Z 2 Z 4 displaystyle 2 cdot mathbb Z 2 times mathbb Z 4 nbsp Z 2 Z 2 Z 2 displaystyle mathbb Z 2 times mathbb Z 2 times mathbb Z 2 nbsp 4 Z 4 displaystyle 4 cdot mathbb Z 4 nbsp 7 Z 2 Z 2 displaystyle 7 cdot mathbb Z 2 times mathbb Z 2 nbsp 7 Z 2 displaystyle 7 cdot mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch nbsp 17 Z 17 displaystyle mathbb Z 17 nbsp abelsch einfach zyklisch nbsp 18 Z 18 Z 9 Z 2 displaystyle mathbb Z 18 cong mathbb Z 9 times mathbb Z 2 nbsp Z 9 Z 6 Z 3 Z 2 displaystyle mathbb Z 9 mathbb Z 6 mathbb Z 3 mathbb Z 2 nbsp abelsch zyklisch nbsp Z 6 Z 3 displaystyle mathbb Z 6 times mathbb Z 3 nbsp Z 6 Z 3 Z 2 displaystyle mathbb Z 6 mathbb Z 3 mathbb Z 2 nbsp abelsch nbsp D 9 displaystyle D 9 nbsp nichtabelsch nbsp S 3 Z 3 displaystyle S 3 times mathbb Z 3 nbsp nichtabelsch nbsp Z 3 Z 3 a Z 2 displaystyle mathbb Z 3 times mathbb Z 3 rtimes alpha mathbb Z 2 nbsp mit a 1 2 0 0 2 displaystyle alpha 1 begin pmatrix 2 amp 0 0 amp 2 end pmatrix nbsp nichtabelsch nbsp 19 Z 19 displaystyle mathbb Z 19 nbsp abelsch einfach zyklisch nbsp 20 Z 20 Z 5 Z 4 displaystyle mathbb Z 20 cong mathbb Z 5 times mathbb Z 4 nbsp Z 10 Z 5 Z 4 Z 2 displaystyle mathbb Z 10 mathbb Z 5 mathbb Z 4 mathbb Z 2 nbsp abelsch zyklisch nbsp Z 10 Z 2 Z 5 Z 2 Z 2 displaystyle mathbb Z 10 times mathbb Z 2 cong mathbb Z 5 times mathbb Z 2 times mathbb Z 2 nbsp Z 5 Z 2 displaystyle mathbb Z 5 mathbb Z 2 nbsp abelsch nbsp Q 20 D i c 5 displaystyle Q 20 cong mathrm Dic 5 nbsp nichtabelsch nbsp Z 5 Z 4 displaystyle mathbb Z 5 rtimes mathbb Z 4 cong nbsp AGL1 5 nichtabelsch nbsp D 10 D 5 Z 2 displaystyle D 10 cong D 5 times mathbb Z 2 nbsp Z 10 D 5 Z 5 5 V 4 6 Z 2 displaystyle mathbb Z 10 D 5 mathbb Z 5 5 cdot V 4 6 cdot mathbb Z 2 nbsp nichtabelsch nbsp Einfache Struktursatze BearbeitenDie folgenden Aussagen sind sehr elementare Struktursatze deren Auswirkung sich deutlich in obiger Liste widerspiegelt Ist p displaystyle p nbsp eine Primzahl so ist jede Gruppe der Ordnung p displaystyle p nbsp isomorph zur zyklischen Gruppe Z p displaystyle mathbb Z p nbsp 2 Ist p displaystyle p nbsp eine Primzahl so ist jede Gruppe der Ordnung p 2 displaystyle p 2 nbsp abelsch 3 genauer isomorph zur zyklischen Gruppe Z p 2 displaystyle mathbb Z p 2 nbsp oder zum direkten Produkt Z p Z p displaystyle mathbb Z p times mathbb Z p nbsp 4 Ist p displaystyle p nbsp eine Primzahl so ist jede Gruppe der Ordnung 2 p displaystyle 2p nbsp isomorph zur zyklischen Gruppe Z 2 p displaystyle mathbb Z 2p nbsp oder zur Diedergruppe D p displaystyle D p nbsp 5 Sind p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp Primzahlen mit q lt p displaystyle q lt p nbsp und ist q displaystyle q nbsp kein Teiler von p 1 displaystyle p 1 nbsp dann ist jede Gruppe der Ordnung p q displaystyle pq nbsp isomorph zur zyklischen Gruppe Z p q displaystyle mathbb Z pq nbsp 6 The SmallGroups Library BearbeitenDas Computeralgebrasystem GAP enthalt die Programmbibliothek SmallGroups Library die eine Beschreibung von Gruppen kleiner Ordnung enthalt Diese sind alle bis auf Isomorphie aufgelistet Momentan GAP Version 4 8 8 enthalt die Bibliothek Gruppen folgender Ordnung alle der Ordnung bis 2000 displaystyle 2000 nbsp ausser den 49 487 365 422 displaystyle 49 487 365 422 nbsp Gruppen der Ordnung 1024 displaystyle 1024 nbsp bleiben 423 164 062 displaystyle 423 164 062 nbsp Gruppen alle Gruppen deren Ordnung n displaystyle n nbsp fur keine Primzahl p displaystyle p nbsp von p 3 displaystyle p 3 nbsp geteilt wird fur n 50 000 displaystyle n leq 50 000 nbsp 395 703 displaystyle 395 703 nbsp Gruppen alle der Ordnung p 7 displaystyle p 7 nbsp wobei p displaystyle p nbsp eine der Primzahlen 3 5 7 displaystyle 3 5 7 nbsp oder 11 displaystyle 11 nbsp ist 907 489 displaystyle 907 489 nbsp Gruppen alle der Ordnung p n displaystyle p n nbsp mit einer beliebigen Primzahl p displaystyle p nbsp und n 6 displaystyle n leq 6 nbsp alle der Ordnung q n p displaystyle q n p nbsp mit q n displaystyle q n nbsp teilt 2 8 3 6 5 5 displaystyle 2 8 3 6 5 5 nbsp oder 7 4 displaystyle 7 4 nbsp und p displaystyle p nbsp ist eine beliebige von q displaystyle q nbsp verschiedene Primzahl alle Gruppen deren Ordnung n displaystyle n nbsp fur keine Primzahl p displaystyle p nbsp von p 2 displaystyle p 2 nbsp geteilt wird d h n displaystyle n nbsp ist quadratfrei alle Gruppen deren Ordnung n displaystyle n nbsp in hochstens drei Primzahlen zerlegbar ist Diese Bibliothek wurde von Hans Ulrich Besche Bettina Eick und Eamonn O Brien erstellt 7 Einzelnachweise Bearbeiten In der Liste der Untergruppen werden die trivialen Untergruppen die einelementige Gruppe und die Gruppe selbst nicht aufgelistet Bertram Huppert Endliche Gruppen I Springer Verlag 1967 Kap I 2 Satz 2 10 Bertram Huppert Endliche Gruppen I Springer Verlag 1967 Kap I 6 Satz 6 10 Kurt Meyberg Algebra Teil 1 Carl Hanser Verlag 1980 ISBN 3 446 13079 9 Satz 2 2 12 Kurt Meyberg Algebra Teil 1 Carl Hanser Verlag 1980 ISBN 3 446 13079 9 Beispiel 2 2 11 e Bertram Huppert Endliche Gruppen I Springer Verlag 1967 Kap I 8 Satz 8 10 The SmallGroups library Bei www gap system org Weblinks BearbeitenThomas Keilen Endliche Gruppen PS dt GZIP 202 kB siehe 15 Klassifikation der Gruppen bis Ordnung 23 Eric W Weisstein Finite Group In MathWorld englisch Ausfuhrliche Klassifikation der Gruppen bis Ordnung 28 englisch nbsp Diese Seite wurde am 1 August 2007 in dieser Version in die Auswahl der informativen Listen und Portale aufgenommen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Liste kleiner Gruppen amp oldid 225533574
