In der Mathematik sind Quasi Diedergruppen gewisse endliche nicht abelsche Gruppen der Ordnung 2 n displaystyle 2 n wobei n 4 displaystyle n geq 4 ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Anzahl Elemente 3 Beispiel 4 Siehe auch 5 LiteraturDefinition BearbeitenEine Quasi Diedergruppe ist eine Gruppe die von zwei Elementen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp der Form a b a 2 n 1 b 2 1 b a b a 2 n 2 1 displaystyle langle a b mid a 2 n 1 b 2 1 bab a 2 n 2 1 rangle nbsp mit n 4 displaystyle n geq 4 nbsp erzeugt wird Anzahl Elemente BearbeitenAus b a b a 2 n 2 1 displaystyle bab a 2 n 2 1 nbsp folgt wegen b 2 1 displaystyle b 2 1 nbsp dass b a a 2 n 2 1 b displaystyle ba a 2 n 2 1 b nbsp Also kann jedes endliche Produkt der Erzeuger a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp der Quasi Diedergruppe durch Anwendung dieser Regel auf die Form a i b j displaystyle a i b j nbsp gebracht werden Wegen a 2 n 1 b 2 1 displaystyle a 2 n 1 b 2 1 nbsp folgt Die Quasi Diedergruppe hat 2n Elemente 1 a a 2 a 2 n 1 b b a b a 2 b a 2 n 1 displaystyle 1 a a 2 ldots a 2 n 1 b ba ba 2 ldots ba 2 n 1 nbsp Beispiel BearbeitenDie kleinste Quasi Diedergruppe hat die Ordnung 16 displaystyle 16 nbsp und wird von zwei Elementen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp erzeugt die die Gleichungen a 8 b 2 1 displaystyle a 8 b 2 1 nbsp und b a b a 3 displaystyle bab a 3 nbsp erfullen Da b 2 1 displaystyle b 2 1 nbsp folgt aus der letzten Gleichung nach Rechtsmultiplikation mit b displaystyle b nbsp dass b a a 3 b displaystyle ba a 3 b nbsp Also kann man in einer beliebigen Folge von a displaystyle a nbsp s und b displaystyle b nbsp s jedes vor einem a displaystyle a nbsp stehende b displaystyle b nbsp hinter das a displaystyle a nbsp bringen wenn man dieses durch a 3 displaystyle a 3 nbsp ersetzt Daraus folgt dann dass alle Elemente dieser Gruppe von der Form 1 a a 2 a 7 b a b a 7 b displaystyle 1 a a 2 ldots a 7 b ab ldots a 7 b nbsp sind Ferner lassen sich mit obigen Gleichungen samtliche Multiplikationen in der Gruppe bestimmen Als Beispiel betrachten wir die beiden Produkte aus a 2 displaystyle a 2 nbsp und a 3 b displaystyle a 3 b nbsp a 2 a 3 b a 5 b displaystyle a 2 cdot a 3 b a 5 b nbsp denn a 2 a 3 a 5 displaystyle a 2 a 3 a 5 nbsp a 3 b a 2 a 3 a 3 b a a 3 a 3 a 3 b a 9 b a b displaystyle a 3 b cdot a 2 a 3 a 3 ba a 3 a 3 a 3 b a 9 b ab nbsp zweimal b displaystyle b nbsp nach rechts bringen und a 8 1 displaystyle a 8 1 nbsp verwenden Insgesamt erhalten wir die folgende Verknupfungstafel displaystyle cdot nbsp 1 displaystyle 1 nbsp a displaystyle a nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp a 3 displaystyle a 3 nbsp a 4 displaystyle a 4 nbsp a 5 displaystyle a 5 nbsp a 6 displaystyle a 6 nbsp a 7 displaystyle a 7 nbsp b displaystyle b nbsp a b displaystyle ab nbsp a 2 b displaystyle a 2 b nbsp a 3 b displaystyle a 3 b nbsp a 4 b displaystyle a 4 b nbsp a 5 b displaystyle a 5 b nbsp a 6 b displaystyle a 6 b nbsp a 7 b displaystyle a 7 b nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp a displaystyle a nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp a 3 displaystyle a 3 nbsp a 4 displaystyle a 4 nbsp a 5 displaystyle a 5 nbsp a 6 displaystyle a 6 nbsp a 7 displaystyle a 7 nbsp b displaystyle b nbsp a b displaystyle ab nbsp a 2 b displaystyle a 2 b nbsp a 3 b displaystyle a 3 b nbsp a 4 b displaystyle a 4 b nbsp a 5 b displaystyle a 5 b nbsp a 6 b displaystyle a 6 b nbsp a 7 b displaystyle a 7 b nbsp a displaystyle a nbsp a displaystyle a nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp a 3 displaystyle a 3 nbsp a 4 displaystyle a 4 nbsp a 5 displaystyle a 5 nbsp a 6 displaystyle a 6 nbsp a 7 displaystyle a 7 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp a b displaystyle ab nbsp a 2 b displaystyle a 2 b nbsp a 3 b displaystyle a 3 b nbsp a 4 b displaystyle a 4 b nbsp a 5 b displaystyle a 5 b nbsp a 6 b displaystyle a 6 b nbsp a 7 b displaystyle a 7 b nbsp b displaystyle b nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp a 3 displaystyle a 3 nbsp a 4 displaystyle a 4 nbsp a 5 displaystyle a 5 nbsp a 6 displaystyle a 6 nbsp a 7 displaystyle a 7 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp a displaystyle a nbsp a 2 b displaystyle a 2 b nbsp a 3 b displaystyle a 3 b nbsp a 4 b displaystyle a 4 b nbsp a 5 b displaystyle a 5 b nbsp a 6 b displaystyle a 6 b nbsp a 7 b displaystyle a 7 b nbsp b displaystyle b nbsp a b displaystyle ab nbsp a 3 displaystyle a 3 nbsp a 3 displaystyle a 3 nbsp a 4 displaystyle a 4 nbsp a 5 displaystyle a 5 nbsp a 6 displaystyle a 6 nbsp a 7 displaystyle a 7 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp a displaystyle a nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp a 3 b displaystyle a 3 b nbsp a 4 b displaystyle a 4 b nbsp a 5 b displaystyle a 5 b nbsp a 6 b displaystyle a 6 b nbsp a 7 b displaystyle a 7 b nbsp b displaystyle b nbsp a b displaystyle ab nbsp a 2 b displaystyle a 2 b nbsp a 4 displaystyle a 4 nbsp a 4 displaystyle a 4 nbsp a 5 displaystyle a 5 nbsp a 6 displaystyle a 6 nbsp a 7 displaystyle a 7 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp a displaystyle a nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp a 3 displaystyle a 3 nbsp a 4 b displaystyle a 4 b nbsp a 5 b displaystyle a 5 b nbsp a 6 b displaystyle a 6 b nbsp a 7 b displaystyle a 7 b nbsp b displaystyle b nbsp a b displaystyle ab nbsp a 2 b displaystyle a 2 b nbsp a 3 b displaystyle a 3 b nbsp a 5 displaystyle a 5 nbsp a 5 displaystyle a 5 nbsp a 6 displaystyle a 6 nbsp a 7 displaystyle a 7 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp a displaystyle a nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp a 3 displaystyle a 3 nbsp a 4 displaystyle a 4 nbsp a 5 b displaystyle a 5 b nbsp a 6 b displaystyle a 6 b nbsp a 7 b displaystyle a 7 b nbsp b displaystyle b nbsp a b displaystyle ab nbsp a 2 b displaystyle a 2 b nbsp a 3 b displaystyle a 3 b nbsp a 4 b displaystyle a 4 b nbsp a 6 displaystyle a 6 nbsp a 6 displaystyle a 6 nbsp a 7 displaystyle a 7 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp a displaystyle a nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp a 3 displaystyle a 3 nbsp a 4 displaystyle a 4 nbsp a 5 displaystyle a 5 nbsp a 6 b displaystyle a 6 b nbsp a 7 b displaystyle a 7 b nbsp b displaystyle b nbsp a b displaystyle ab nbsp a 2 b displaystyle a 2 b nbsp a 3 b displaystyle a 3 b nbsp a 4 b displaystyle a 4 b nbsp a 5 b displaystyle a 5 b nbsp a 7 displaystyle a 7 nbsp a 7 displaystyle a 7 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp a displaystyle a nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp a 3 displaystyle a 3 nbsp a 4 displaystyle a 4 nbsp a 5 displaystyle a 5 nbsp a 6 displaystyle a 6 nbsp a 7 b displaystyle a 7 b nbsp b displaystyle b nbsp a b displaystyle ab nbsp a 2 b displaystyle a 2 b nbsp a 3 b displaystyle a 3 b nbsp a 4 b displaystyle a 4 b nbsp a 5 b displaystyle a 5 b nbsp a 6 b displaystyle a 6 b nbsp b displaystyle b nbsp b displaystyle b nbsp a 3 b displaystyle a 3 b nbsp a 6 b displaystyle a 6 b nbsp a b displaystyle ab nbsp a 4 b displaystyle a 4 b nbsp a 7 b displaystyle a 7 b nbsp a 2 b displaystyle a 2 b nbsp a 5 b displaystyle a 5 b nbsp 1 displaystyle 1 nbsp a 3 displaystyle a 3 nbsp a 6 displaystyle a 6 nbsp a displaystyle a nbsp a 4 displaystyle a 4 nbsp a 7 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6 b displaystyle a 6 b nbsp a b displaystyle ab nbsp a 4 b displaystyle a 4 b nbsp a 7 displaystyle a 7 nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp a 5 displaystyle a 5 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp a 3 displaystyle a 3 nbsp a 6 displaystyle a 6 nbsp a displaystyle a nbsp a 4 displaystyle a 4 nbsp Siehe auch BearbeitenDiedergruppe Liste kleiner GruppenLiteratur BearbeitenBertram Huppert Endliche Gruppen Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen Bd 134 ISSN 0072 7830 Band 1 Springer Berlin u a 1967 S 90 93 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quasi Diedergruppe amp oldid 152878856
