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Z2 Gruppe Die zyklische Gruppe vom Grad 2 Z 2 displaystyle mathbb Z 2 oder C 2 displaystyle C 2 ist die kleinste nichttr

Z2 (Gruppe)

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ( oder ) ist die kleinste nichttriviale Gruppe in der Gruppentheorie und damit die kleinste endliche einfache Gruppe. Sie ist isomorph zur symmetrischen Gruppe , zur ersten Diedergruppe und zur orthogonalen Gruppe im Eindimensionalen.

Eigenschaften Bearbeiten

Da die Gruppe abelsch ist, schreibt man die Verknüpfung gerne additiv mit 0 als neutralem Element und 1 als dem zweiten Element der Gruppe. Diese Schreibweise wird durch Herkunft als Faktorgruppe der additiven Gruppe der ganzen Zahlen nahegelegt. Die Verknüpfungstafel dieser Gruppe lautet:

0 1
0 0 1
1 1 0

Die Operation dieser Gruppe kann mannigfaltig interpretiert werden, wie zum Beispiel als XOR-Verknüpfung. Eine multiplikative Sicht ergibt sich daraus, dass die Gruppe der invertierbaren Elemente des endlichen Körpers isomorph zu ist, man erhält folgende multiplikative Verknüpfungstafel, bei 1 das neutrale Element ist:

1 2
1 1 2
2 2 1

Eine weitere Realisierung erhält man als Einheitengruppe des Ringes . Diese ist und man erhält die Verknüpfungstafel

1 −1
1 1 −1
−1 −1 1

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ist die einzige Gruppe mit der Ordnung 2.

ℤ2 als Untergruppe Bearbeiten

Darstellungen Bearbeiten

Jede nichttriviale Darstellung der bildet das nichttriviale Element auf eine Involution ab, umgekehrt definiert jede lineare Involution eine Darstellung der .

Im Fall reeller Vektorräume ist jede lineare Involution eine Spiegelung, die Darstellungen der entsprechen also den Spiegelungen an Untervektorräumen beliebiger Dimension.

ℤ2 als Körper Bearbeiten

Die Gruppe mit der oben angegebenen Verknüpfung + ist die additive Gruppe eines Körpers. Die dazu nötige Multiplikation auf ist durch die Verknüpfungstafel

0 1
0 0 0
1 0 1

gegeben. Beachte, dass mit dieser Multiplikation keine Gruppe bildet. Die beiden Verknüpfungen und zusammen machen zu einem Körper, den man dann nach dem englischen Wort field für Körper gerne mit oder bezeichnet.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die zyklische Gruppe vom Grad 2 Z 2 displaystyle mathbb Z 2 oder C 2 displaystyle C 2 ist die kleinste nichttriviale Gruppe in der Gruppentheorie und damit die kleinste endliche einfache Gruppe Sie ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S 2 displaystyle S 2 zur ersten Diedergruppe D 1 displaystyle D 1 und zur orthogonalen Gruppe O 1 displaystyle O 1 im Eindimensionalen Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 ℤ2 als Untergruppe 3 Darstellungen 4 ℤ2 als Korper 5 Siehe auch 6 WeblinksEigenschaften BearbeitenDa die Gruppe abelsch ist schreibt man die Verknupfung gerne additiv mit 0 als neutralem Element und 1 als dem zweiten Element der Gruppe Diese Schreibweise wird durch Herkunft als Faktorgruppe Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp der additiven Gruppe der ganzen Zahlen Z displaystyle mathbb Z nbsp nahegelegt Die Verknupfungstafel dieser Gruppe lautet displaystyle nbsp 0 10 0 11 1 0Die Operation dieser Gruppe kann mannigfaltig interpretiert werden wie zum Beispiel als XOR Verknupfung Eine multiplikative Sicht ergibt sich daraus dass die Gruppe 1 2 displaystyle 1 2 nbsp der invertierbaren Elemente des endlichen Korpers Z 3 0 1 2 displaystyle mathbb Z 3 0 1 2 nbsp isomorph zu Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp ist man erhalt folgende multiplikative Verknupfungstafel bei 1 das neutrale Element ist displaystyle cdot nbsp 1 21 1 22 2 1Eine weitere Realisierung erhalt man als Einheitengruppe des Ringes Z displaystyle mathbb Z nbsp Diese ist 1 1 Z displaystyle 1 1 subset mathbb Z nbsp und man erhalt die Verknupfungstafel displaystyle cdot nbsp 1 11 1 1 1 1 1Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ist die einzige Gruppe mit der Ordnung 2 ℤ2 als Untergruppe BearbeitenDas direkte Produkt der zyklischen Gruppe vom Grad 2 mit sich selbst ergibt die Kleinsche Vierergruppe Z 2 Z 2 V 4 displaystyle mathbb Z 2 times mathbb Z 2 V 4 nbsp Das direkte Produkt abzahlbar vieler dieser Gruppen ergibt die Cantorgruppe Die symmetrische Gruppe S 3 displaystyle S 3 nbsp enthalt drei zur Gruppe Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp isomorphe echte Untergruppen Darstellungen BearbeitenJede nichttriviale Darstellung der Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp bildet das nichttriviale Element auf eine Involution ab umgekehrt definiert jede lineare Involution eine Darstellung der Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp Im Fall reeller Vektorraume ist jede lineare Involution eine Spiegelung die Darstellungen der Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp entsprechen also den Spiegelungen an Untervektorraumen beliebiger Dimension ℤ2 als Korper BearbeitenDie Gruppe Z 2 0 1 displaystyle mathbb Z 2 0 1 nbsp mit der oben angegebenen Verknupfung ist die additive Gruppe eines Korpers Die dazu notige Multiplikation auf Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp ist durch die Verknupfungstafel displaystyle cdot nbsp 0 10 0 01 0 1gegeben Beachte dass Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp mit dieser Multiplikation keine Gruppe bildet Die beiden Verknupfungen displaystyle nbsp und displaystyle cdot nbsp zusammen machen Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp zu einem Korper den man dann nach dem englischen Wort field fur Korper gerne mit F 2 displaystyle F 2 nbsp oder F 2 displaystyle mathbb F 2 nbsp bezeichnet Siehe auch BearbeitenListe kleiner GruppenWeblinks BearbeitenGruppen kleiner Ordnung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Z2 Gruppe amp oldid 236024667